2025~2026学年河北省唐山市遵化市高级中学高一下册学业水平测试数学试题【含答案】

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数的模为（ ）
A. B. C. D.
2. 若把一个高为10cm的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（ ）．
A. 平行于轴且大小为10cmB. 平行于轴且大小为5cm
C. 与轴成且大小为10cmD. 与轴成且大小为5cm
3. 已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图为扇形，扇形圆心角为，则圆锥的表面积为（ ）
A. πB. 2πC. 3πD. 4π
4. 在四边形中，若，且，则这个四边形是
A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 等腰梯形
5. 已知物体放在一个倾角为的斜面上处于静止状态，则它所受到的重力和摩擦力的大小之比为（ ）
A. B. C. D.
6. 碌碡（liùzhóu）是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动．若人推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为（ ）
A. B. C. D.
7. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（ ）
A. B. C. D.
8. 在正方形ABCD中，M是BC的中点．若，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题中，正确的命题是（ ）
A. 如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行
B. 如果直线，满足，，则
C. 如果直线，和平面满足，，，那么
D. 如果平面的同侧有两点，到平面的距离相等，则
10. 设，是复数，则下列命题中的真命题有（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
11. 我们知道正.余弦定理推导的向量法，是在中的向量关系的基础上平方或同乘的方法构造数量积，进而得到长度与角度之间的关系.如图，直线与的边，分别相交于点，，设，，，，则下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为______.
13. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则___________.
14. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ________ m.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，，
（1）若，求的值；
（2）若，求向量与的夹角的余弦值.
16. 已知复数.
（1）求z的共轭复数；
（2）若，求实数a，b的值.
17. 如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.

（1）以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积；
（2）求该三棱柱的外接球的表面积.
18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且，且.
（1）求角；
（2）若，，求的面积.
19. 如图，直三棱柱中，，，，P为线段上的动点．
（1）当P为线段上的中点时，求三棱锥的体积；
（2）当P在线段上移动时，求的最小值．
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数的模为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：由题意，所以，
故向量对应的复数为，其模为.
2. 若把一个高为10cm的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（ ）．
A. 平行于轴且大小为10cmB. 平行于轴且大小为5cm
C. 与轴成且大小为10cmD. 与轴成且大小为5cm
答案：A
解析：
解答过程：圆柱中平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致，
所以圆柱的高应画成平行于轴且大小为10cm.
3. 已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图为扇形，扇形圆心角为，则圆锥的表面积为（ ）
A. πB. 2πC. 3πD. 4π
答案：D
解析：
思路：利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，求得圆锥的母线长，从而可得侧面积，再求出底面圆的面积，从而可得圆锥的表面积.
解答过程：由扇形的弧长等于底面周长可得：
，解得：，
扇形面积，底面面积，
圆锥的表面积为.
故选：D.
4. 在四边形中，若，且，则这个四边形是
A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 等腰梯形
答案：D
解析：
解答过程：由可知四边形的对边平行且不相等，由可知四边形的对角线相等，故该四边形是等腰梯形，应选答案D．
5. 已知物体放在一个倾角为的斜面上处于静止状态，则它所受到的重力和摩擦力的大小之比为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：设物体所受重力大小为，斜面倾角.
∵ 物体处于静止状态，即平衡状态，沿斜面方向合力为0，
∴ 静摩擦力大小等于重力沿斜面向下的分力，即.
代入，可得.
∴ 重力与摩擦力的大小之比为.
6. 碌碡（liùzhóu）是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动．若人推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：碌碡的高就是木柄所绕圆盘的半径，由此可建立等量关系得出结论．
解答过程：由题意可设圆柱形碌碡的高为，其底面圆的直径为，则有，所以，
故选：B．
7. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可.
解答过程：由题意,
即，
所以
故选：A.
8. 在正方形ABCD中，M是BC的中点．若，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
答案：B
解析：
思路：建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.
解答过程：在正方形ABCD中，以点A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，

令，则，，
，因，
于是得，解得，
所以的值为.
故选：B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题中，正确的命题是（ ）
A. 如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行
B. 如果直线，满足，，则
C. 如果直线，和平面满足，，，那么
D. 如果平面的同侧有两点，到平面的距离相等，则
答案：CD
解析：
解答过程：对选项A：∵ 若直线平面，则与内直线的位置关系为平行或异面，并非和内所有直线都平行，∴ A错误.
对选项B：∵ 若，，则的位置关系可能为平行、相交或异面，∴ B错误.
对选项C：∵ ，由线面平行的性质可知，存在直线，满足，
又，故，结合，，根据线面平行的判定定理，可得，∴ C正确.
对选项D：过分别作平面的垂线，垂足分别为，
由在同侧，且到的距离相等，得且，
∴ 四边形为平行四边形，故，
又，，故，∴ D正确.
10. 设，是复数，则下列命题中的真命题有（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
答案：ABC
解析：
思路：对于A，由得到，故，从而得到结论；对于B，根据共轭复数的定义求解；对于C，设，，，，，，根据复数的模的定义得解；对于D，根据复数的模的定义求解．
解答过程：对于A，若，则，，所以为真；
对于B，若，则和互为共轭复数，所以为真；
对于C，设，，，，，，
若，则，，，
所以为真；
对于D，若，，
则为真，而，，所以为假．
故选：ABC.
11. 我们知道正.余弦定理推导的向量法，是在中的向量关系的基础上平方或同乘的方法构造数量积，进而得到长度与角度之间的关系.如图，直线与的边，分别相交于点，，设，，，，则下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：ABD
解析：
思路：利用余弦定理可判断A；利用正弦定理和正弦的和差公式可判断B；利用特殊值可判断C错误；设，在两边同乘向量，根据数量积定义即可判断D.
解答过程：对A，由余弦定理知，，
，
上述三个等式相加得，A正确；
对B，因为，
所以，B正确；
对C，当时，式子左边，右边，
由得，
此时，只有当时，等式才成立，由于角的任意性，所以等式不一定恒成立，C错误；
对D，设，则，
则，
因为，所以，
即，
整理得，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为______.
答案：8π
解析：
思路：先求出截面圆半径，再求球半径，最后根据球表面积公式得结果.
解答过程：因为与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，所以该截面圆的半径为1，
因此球的半径为，故该球的表面积S=4πR2=8π
故答案为：8π
方法提示：本题考查球表面积公式以及球截面，考查基本分析求解能力，属基础题.
13. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则___________.
答案：3
解析：
思路：由题知与其共轭复数均为方程的根，进而由韦达定理即可得答案.
解答过程：∵实系数一元二次方程的一个虚根为，
∴其共轭复数也是方程的根.
由根与系数的关系知，，
∴ ，.
故答案为：
方法提示：本题考查方程复数根的特点的应用，熟练掌握实系数方程的虚根成对原理（需明确两根为共轭复数）和根与系数的关系是解题的关键，属于基础题.
14. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ________ m.
答案：
解析：
解答过程：试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.
考点：正弦定理及运用．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，，
（1）若，求的值；
（2）若，求向量与的夹角的余弦值.
答案：（1）；（2）.
解析：
思路：（1）由向量平行的坐标表示可构造方程求得，由此得到；
（2）由向量垂直的坐标表示可构造方程求得，由向量夹角公式可计算求得结果.
解答过程：（1），由可得：，解得：，
；3
（2），由可得：，解得：，
.
16. 已知复数.
（1）求z的共轭复数；
（2）若，求实数a，b的值.
答案：（1）（2），.
解析：
思路：（1）根据复数的四则运算法则化简计算z，即可求出；
（2）根据复数相等的条件计算即可求值.
解答过程：（1）
∴
（2），即，
∴，
解得，.
方法提示：本题主要考查了复数的四则运算，共轭复数的概念，复数相等，属于中档题.
17. 如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.

（1）以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积；
（2）求该三棱柱的外接球的表面积.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）求出三棱柱的体积，得到的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案；
（2）将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积.
（1）因为底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm，
所以底面三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm，4cm，
又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，
所以.

设圆柱底面圆的半径为，
则，
圆柱体积.
所以剩下的几何体的体积.
（2）由（1）直三棱柱可补形为棱长分别为3cm，4cm，2cm的长方体，
它的外接球的球半径满足，即.
所以，该直三棱柱的外接球的表面积为.

18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且，且.
（1）求角；
（2）若，，求的面积.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）由向量垂直得数量积为0，由数量积坐标表示及正弦定理可得角；
（2）根据余弦定理，及，，，配方可求解出，再利用三角形的面积公式求解即可.
（1）∵，∴，
由正弦定理得，是三角形内角，，
∴，，是三角形内角，∴；
（2）由余弦定理得：，
又，，，
所以，解得，
则的面积.
19. 如图，直三棱柱中，，，，P为线段上的动点．
（1）当P为线段上的中点时，求三棱锥的体积；
（2）当P在线段上移动时，求的最小值．
答案：（1）
（2）．
解析：
思路：（1）由余弦定理求出，即可求出的面积，再由等体积法求解即可；
（2）根据平面展开图可确定的最小值即长，由三角形余弦定理求解即可.
（1）由已知可得，
由余弦定理有，得到．
在中，有，
．
（2）将绕旋转到与同一平面（如图所示），
连接交于点，此时取得最小值，最小值即长．
在中，，，，
故，故，即，
又易知，故，
由余弦定理得，所以，
（或者在中由勾股定理得）
故的最小值为．