2024-2025学年河北省唐山市遵化市高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河北省唐山市遵化市高二（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|−2≤x≤2}，则A∩B=( )
A. [−1,1]B. [−2,2]C. {0,2}D. {−2,0,2}
2.已知抛物线y=116x2，则抛物线的焦点到准线的距离为( )
A. 116B. 18C. 8D. 16
3.已知首项为负数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=3，S6=63，则a4=( )
A. 8B. 16C. 24D. 48
4.“旅游胜地，大美遵化”，2025年暑假来临之际，甲、乙、丙、丁、戊五位同学决定一起环游遵化.到遵化的顾客，一般都会选择东陵、汤泉、禅林寺这三个地方游览，如果在某日上午8：00～9：00之间，他们每人只能去一个地方，东陵一定有人去，则不同游览方案的种数为( )
A. 243B. 211C. 125D. 60
5.如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r，
若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a，则ra=( )
A. 22B. 34C. 2− 2D. 32( 2−1)
6.已知α+β=5π4，则(1+tanα)⋅(1+tanβ)=( )
A. −1B. −2C. 2D. 3
7.已知a=20.3，b=0.20.3，c=0.20.6，则( )
A. b>a>cB. a>c>bC. b>c>aD. a>b>c
8.若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为θ，且sinθ=45，则它的离心率为( )
A. 54B. 2516C. 53D. 259
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(多选)下列各式中，值为 32的是( )
A. 1−cs 120°2B. cs2π12−sin2π12
C. cs 15°sin 45°−sin 15°cs 45°D. tan 15°1−tan215°
10.下列有关复数的说法中(其中i为虚数单位)，正确的是( )
A. 2+i>1+i
B. 复数z=3−2i的虚部为2i
C. 复数z为实数的充要条件是z=z−
D. 已知复数z满足|z|=2，则复数z对应点的集合是以O为圆心，以2为半径的圆
11.已知定义域为R的函数f(x)在(−1,0]上单调递增，f(1+x)=f(1−x)，且图像关于(2,0)对称，则f(x)( )
A. f(0)=f(−2)B. 周期T=2
C. 在(2,3)单调递减D. 满足f(2021)>f(2022)>f(2023)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为______．
13.已知平面内的向量a在向量b上的投影向量为12b，且|a|=|b|=1，则|a−2b|的值为______．
14.已知△ABC的面积为 3，A=2π3,BA⋅BC=6，则AC= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=13x3+ax2−6x+2在x=2处取得极值．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在[−4,3]上的最小值和最大值．
16.(本小题15分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=3n2−5n(n∈N∗)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若等比数列{bn}满足b1=a2，b2=a4，求数列{2an−3bn}的前n项和Tn．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，BC//AD，BC=CD=12AD=1，AD⊥CD，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(1)求证：CE//平面PAB；
(2)若三棱锥P−ABD的体积为23，求PA与平面PBC所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
为了测试一种新药对某种疾病的治疗效果，研究人员对一地区某种动物种群(数量较大)进行试验，从该试验种群中随机抽查了80只，得到如下的样本数据(单位：只)：
(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该药物与预防该疾病有关？
(2)从该地区此动物群中任取一只，记A表示此动物发病，A−表示此动物没发病，B表示此动物使用药物，定义事件A的优势R1=P(A)1−P(A)，在事件B发生的条件下A的优势R2=P(A|B)1−P(A|B)，证明：R2R1=P(B|A)P(B|A−)，并利用表中数据求出R2R1值.
(3)若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中使用药物的只数为X，求随机变量X的分布列、数学期望．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
19.(本小题17分)
阿基米德(公元前287年−公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积.已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面积为2π，椭圆的焦距为2 3．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)已知直线y=m与椭圆C有两个不同的交点M，N，A，B分别为椭圆的上、下顶点，设D为直线AN上一点，且直线BD，BM的斜率的积为−14，证明：点D在x轴上．
参考答案
1.D
2.C
3.C
4.B
5.D
6.C
7.D
8.C
9.AB
10.CD
11.ACD
12.π2
13. 3
14.2
15.解：(1)f(x)=13x3+ax2−6x+2，
f′(x)=x2+2ax−6，
若函数f(x)在x=2处取得极值，
则f′(2)=4+4a−6=0，解得a=12，
故f(x)=13x3+12x2−6x+2，则f′(x)=x2+x−6，
令f′(x)>0，解得x>2或x