湖北省恩施土家族苗族自治州2027年高考数学倒计时模拟卷（含答案解析）

这是一份湖北省恩施土家族苗族自治州2027年高考数学倒计时模拟卷（含答案解析）
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数（其中为自然对数的底数）有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．设函数（，为自然对数的底数）,定义在上的函数满足，且当时，．若存在，且为函数的一个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．设，，则（ ）
A．B．C．D．
4．抛物线的准线与轴的交点为点，过点作直线与抛物线交于、两点，使得是的中点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．1D．
5．若2m＞2n＞1，则（ ）
A．B．πm﹣n＞1
C．ln（m﹣n）＞0D．
6．设是虚数单位，则“复数为纯虚数”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充分不必要条件
7．已知函数，，若成立，则的最小值为（ ）
A．0B．4C．D．
8．已知函数是上的偶函数，且当时，函数是单调递减函数，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
9．已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象( )
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
10．直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，则的最小值是
A．10B．9C．8D．7
11．已知点(m,8)在幂函数的图象上，设，则（ ）
A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．a＜c＜b
12．若，则“”是 “”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．对于任意的正数，不等式恒成立，则的最大值为_____.
14．设，满足约束条件，则的最大值为______.
15．已知函数图象上一点处的切线方程为，则_______．
16．在中，角、、所对的边分别为、、，若，，则的取值范围是_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，平面ABC，，．
（1）求证：平面ACD；
（2）设，表示三棱锥B-ACE的体积，求函数的解析式及最大值．
18．（12分）每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”．
(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；
(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示抽到“很幸福”的人数,求的分布列及．
19．（12分）在数列和等比数列中，，，.
（1）求数列及的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
20．（12分）在综合素质评价的某个维度的测评中，依据评分细则，学生之间相互打分，最终将所有的数据合成一个分数，满分100分，按照大于或等于80分的为优秀，小于80分的为合格，为了解学生的在该维度的测评结果，在毕业班中随机抽出一个班的数据.该班共有60名学生，得到如下的列联表：
已知在该班随机抽取1人测评结果为优秀的概率为.
（1）完成上面的列联表；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与测评结果有关系？
（3）现在如果想了解全校学生在该维度的表现情况，采取简单随机抽样方式在全校学生中抽取少数一部分来分析，请你选择一个合适的抽样方法，并解释理由.
附：
21．（12分）曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
(2)若直线与曲线，的交点分别为、（、异于原点），当斜率时，求的最小值.
22．（10分）如图，在斜三棱柱中，平面平面，，，，均为正三角形，E为AB的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求斜三棱柱截去三棱锥后剩余部分的体积．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
求出导函数，确定函数的单调性，确定函数的最值，根据零点存在定理可确定参数范围．
【详解】
，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴在上只有一个极大值也是最大值，显然时，，时，，
因此要使函数有两个零点，则，∴．
故选：B．
本题考查函数的零点，考查用导数研究函数的最值，根据零点存在定理确定参数范围．
2、D
【解析】
先构造函数，由题意判断出函数的奇偶性，再对函数求导，判断其单调性，进而可求出结果.
【详解】
构造函数，
因为，
所以，
所以为奇函数，
当时，，所以在上单调递减，
所以在R上单调递减.
因为存在，
所以，
所以，
化简得，
所以，即
令，
因为为函数的一个零点，
所以在时有一个零点
因为当时，，
所以函数在时单调递减，
由选项知，，
又因为，
所以要使在时有一个零点，
只需使，解得，
所以a的取值范围为，故选D.
本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.
3、D
【解析】
集合是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可
【详解】
，
，
则
故选
本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题．
4、B
【解析】
设点、，设直线的方程为，由题意得出，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合可求得的值，由此可得出直线的斜率.
【详解】
由题意可知点，设点、，设直线的方程为，
由于点是的中点，则，
将直线的方程与抛物线的方程联立得，整理得，
由韦达定理得，得，，解得，
因此，直线的斜率为.
故选：B.
本题考查直线斜率的求解，考查直线与抛物线的综合问题，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
5、B
【解析】
根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析.
【详解】
若2m＞2n＞1＝20，∴m＞n＞0，∴πm﹣n＞π0＝1，故B正确；
而当m，n时，检验可得，A、C、D都不正确，
故选：B．
此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系，需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.
6、D
【解析】
结合纯虚数的概念，可得，再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项.
【详解】
若复数为纯虚数，则，所以，若，不妨设，此时复数，不是纯虚数，所以“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件.
故选：D
本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题.
7、A
【解析】
令，进而求得，再转化为函数的最值问题即可求解.
【详解】
∵∴（），∴，
令：，，在上增，
且，所以在上减，在上增，
所以，所以的最小值为0.故选：A
本题主要考查了导数在研究函数最值中的应用，考查了转化的数学思想，恰当的用一个未知数来表示和是本题的关键，属于中档题.
8、D
【解析】
利用对数函数的单调性可得，再根据的单调性和奇偶性可得正确的选项.
【详解】
因为，，
故.
又，故.
因为当时，函数是单调递减函数，
所以.
因为为偶函数，故，
所以.
故选：D.
本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系，本题属于中档题.
9、A
【解析】
根据函数图像平移原则，即可容易求得结果.
【详解】
因为，
故要得到，只需将向左平移个单位长度.
故选：A.
本题考查函数图像平移前后解析式的变化，属基础题.
10、B
【解析】
根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得；再由基本不等式可求得的最小值．
【详解】
由抛物线标准方程可知p=2
因为直线l过抛物线的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知

所以

因为 为线段长度，都大于0，由基本不等式可知
，此时
所以选B
本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题．
11、B
【解析】
先利用幂函数的定义求出m的值，得到幂函数解析式为f（x）＝x3，在R上单调递增，再利用幂函数f（x）的单调性，即可得到a，b，c的大小关系.
【详解】
由幂函数的定义可知，m﹣1＝1，∴m＝2，
∴点（2，8）在幂函数f（x）＝xn上，
∴2n＝8，∴n＝3，
∴幂函数解析式为f（x）＝x3，在R上单调递增，
∵，1＜lnπ＜3，n＝3，
∴，
∴a＜b＜c，
故选：B.
本题主要考查了幂函数的性质，以及利用函数的单调性比较函数值大小，属于中档题.
12、A
【解析】
本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】
当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据均为正数，等价于恒成立，令，转化为恒成立，利用基本不等式求解最值.
【详解】
由题均为正数，不等式恒成立，等价于
恒成立，
令则，
当且仅当即时取得等号，
故的最大值为.
故答案为：
此题考查不等式恒成立求参数的取值范围，关键在于合理进行等价变形，此题可以构造二次函数求解，也可利用基本不等式求解.
14、29
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为以原点为圆心的圆，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.
【详解】
由约束条件作出可行域如图：
联立，解得，
目标函数是以原点为圆心，以为半径的圆，
由图可知，此圆经过点A时，半径最大，此时也最大，
最大值为.
所以本题答案为29.
线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
15、1
【解析】
求出导函数，由切线方程得切线斜率和切点坐标，从而可求得．
【详解】
由题意，
∵函数图象在点处的切线方程为，
∴，解得，
∴．
故答案为：1．
本题考查导数的几何意义，求出导函数是解题基础，
16、
【解析】
计算出角的取值范围，结合正弦定理可求得的取值范围.
【详解】
，则，所以，，
由正弦定理，.
因此，的取值范围是.
故答案为：.
本题主要考查了正弦定理，正弦函数图象和性质，考查了转化思想，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析（2），最大值．
【解析】
（1）先证明，，故平面ADC．由，即得证；
（2）可证明平面ABC，结合条件表示出，利用均值不等式，即得解.
【详解】
（1）证明：∵四边形DCBE为平行四边形，
∴，．
∵平面ABC，平面ABC，∴．
∵AB是圆O的直径，∴，
且，平面ADC，
∴平面ADC．
∵，∴平面ADC．
（2）解∵平面ABC，，
∴平面ABC．
在中，，．
在中，∵，∴，
∴，
∴．
∵，
当且仅当，即时取等号，
∴当时，体积有最大值．
本题考查了线面垂直的证明和三棱锥的体积，考查了学生逻辑推理，空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
18、 (Ⅰ). (Ⅱ)见解析.
【解析】
(Ⅰ)人中很幸福的有人，可以先计算其逆事件，即人都认为不很幸福的概率，再用减去人都认为不很幸福的概率即可；(Ⅱ)根据题意,随机变量，列出分布列，根据公式求出期望即可．
【详解】
(Ⅰ)设事件抽出的人至少有人是“很幸福”的，则表示人都认为不很幸福
(Ⅱ)根据题意，随机变量，的可能的取值为
；；
；
所以随机变量的分布列为：
所以的期望
本题考查了离散型随机变量的概率分布列，数学期望的求解，概率分布中的二项分布问题，属于常规题型．
19、（1），（2）
【解析】
(1)根据与可求得,再根据等比数列的基本量求解即可.
(2)由(1)可得,再利用错位相减求和即可.
【详解】
解：
（1）依题意,,
设数列的公比为q,由,可知,
由,得,又,则,
故,
又由,得.
（2）依题意.
,①
则,②
①-②得,
即,故.
本题主要考查了等比数列的基本量求解以及错位相减求和等.属于中档题.
20、（1）见解析；（2）在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“性别与测评结果有关系”（3）见解析.
【解析】
（1）由已知抽取的人中优秀人数为20，这样结合已知可得列联表；
（2）根据列联表计算，比较后可得；
（3）由于性别对结果有影响，因此用分层抽样法．
【详解】
解：（1）
（2）由于，
因此在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“性别与测评结果有关系”.
（3）由（2）可知性别有可能对是否优秀有影响，所以采用分层抽样按男女生比例抽取一定的学生，这样得到的结果对学生在该维度的总体表现情况会比较符合实际情况.
本题考查独立性检验，考查分层抽样的性质．考查学生的数据处理能力．属于中档题．
21、（1）的极坐标方程为；曲线的直角坐标方程.（2）
【解析】
(1)消去参数，可得曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的互化，即可求解.
(2)解法1：设直线的倾斜角为，把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程，求得，再把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程，得，得出，利用基本不等式，即可求解；
解法2：设直线的极坐标方程为，分别代入曲线，的极坐标方程，得， ，得出，即可基本不等式，即可求解.
【详解】
(1) 由题曲线的参数方程为（为参数），消去参数，
可得曲线的直角坐标方程为，即，
则曲线的极坐标方程为，即，
又因为曲线的极坐标方程为，即，
根据，代入即可求解曲线的直角坐标方程.
(2)解法1：设直线的倾斜角为，
则直线的参数方程为（为参数，），
把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得：，
解得，，，
把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得：，
解得，，，
，
，即，，，
，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为.
解法2：设直线的极坐标方程为），
代入曲线的极坐标方程，得，，
把直线的参数方程代入曲线的极坐标方程得：，
，即，，
曲线的参，即，
，，，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为.
本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程点互化，以及直线参数方程的应用和极坐标方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
22、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）要证明线面平行，需先证明线线平行，所以连接，交于点M，连接ME，证明；
（Ⅱ）由题意可知点到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离，根据体积公式剩余部分的体积是.
【详解】
（Ⅰ）如图，连接，交于点M，连接ME，则．
因为平面，平面，所以平面．
（Ⅱ）因为平面ABC，所以点到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离．
如图，设O是AC的中点，连接，OB．因为为正三角形，所以，
又平面平面，平面平面，所以平面ABC．
所以点到平面ABC的距离，故三棱锥的体积为
．
而斜三棱柱的体积为．
所以剩余部分的体积为．
本题考查证明线面平行，计算体积，意在考查推理证明，空间想象能力，计算能力，属于中档题型，一般证明线面平行的方法1.证明线线平行，则线面平行，2.证明面面平行，则线面平行，关键是证明线线平行，一般构造平行四边形，则对边平行，或是构造三角形中位线.
优秀
合格
总计
男生
6
女生
18
合计
60
0.25
0.10
0.025
1.323
2.706
5.024
优秀
合格
总计
男生
6
22
28
女生
14
18
32
合计
20
40
60