2025-2026学年海南省三亚市高考冲刺数学模拟试题（含答案解析）

这是一份2025-2026学年海南省三亚市高考冲刺数学模拟试题（含答案解析），共8页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，设是等差数列的前n项和，且，则，设，，则的值为等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知三棱柱( )
A．B．C．D．
2．如图所示的程序框图，若输入，，则输出的结果是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，且的图象经过第一、二、四象限，则，，的大小关系为( )
A．B．
C．D．
4．将一张边长为的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )
A．B．C．D．
5．已知为等腰直角三角形，，，为所在平面内一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．设是等差数列的前n项和，且，则( )
A．B．C．1D．2
7．设，，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
8．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为( )
A．7B．15C．31D．63
9．已知抛物线和点，直线与抛物线交于不同两点，，直线与抛物线交于另一点．给出以下判断：
①以为直径的圆与抛物线准线相离；
②直线与直线的斜率乘积为；
③设过点，，的圆的圆心坐标为，半径为，则．
其中，所有正确判断的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
10．设，均为非零的平面向量，则“存在负数，使得”是“”的
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
11．已知集合，，若，则（ ）
A．或B．或C．或D．或
12．集合，，则=( )
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中，的系数为_______（用数字作答）.
14．平面向量与的夹角为，，，则__________．
15．若变量，满足约束条件，则的最大值为__________．
16．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，，若线段的垂直平分线与轴交点的横坐标为，则的值为_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）（选修4-4：坐标系与参数方程）
在平面直角坐标系，已知曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，的距离之积．
18．（12分）已知是递增的等差数列，，是方程的根.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19．（12分）已知实数x，y，z满足，证明：.
20．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若锐二面角的余弦值为，求直线与平面所成的角.
21．（12分）已知数列满足：对一切成立.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
22．（10分）某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年如图所示两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装.
其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立）.若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元.若客户在使用过程中单独购买滤芯则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中表1是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图.
表1：一级滤芯更换频数分布表
图2：二级滤芯更换频数条形图

以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.
（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率；
（2）记表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求的分布列及数学期望；
（3）记分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若，且，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝＝13，即R＝
2．B
【解析】
列举出循环的每一步，可得出输出结果.
【详解】
，，不成立，，；
不成立，，；
不成立，，；
成立，输出的值为.
故选：B.
本题考查利用程序框图计算输出结果，一般要将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题.
3．C
【解析】
根据题意，得，，则为减函数，从而得出函数的单调性，可比较和，而，比较，即可比较.
【详解】
因为，且的图象经过第一、二、四象限，
所以，，
所以函数为减函数，函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为，
所以，
又，，
则|，
即，
所以.
故选：C.
本题考查利用函数的单调性比较大小，还考查化简能力和转化思想.
4．B
【解析】
设折成的四棱锥的底面边长为，高为，则，故由题设可得，所以四棱锥的体积，应选答案B．
5．D
【解析】
以AB,AC分别为x轴和y轴建立坐标系，结合向量的坐标运算，可求得点的坐标，进而求得，由平面向量的数量积可得答案.
【详解】
如图建系，则，，，
由，易得，则.
故选：D
本题考查平面向量基本定理的运用、数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
6．C
【解析】
利用等差数列的性质化简已知条件，求得的值.
【详解】
由于等差数列满足，所以，，.
故选：C
本小题主要考查等差数列的性质，属于基础题.
7．D
【解析】
利用倍角公式求得的值，利用诱导公式求得的值，利用同角三角函数关系式求得的值，进而求得的值，最后利用正切差角公式求得结果.
【详解】
，，
，，
，，，
，
故选：D.
该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.
8．B
【解析】
试题分析：由程序框图可知：①，；②，；③，；④，；
⑤，. 第⑤步后输出，此时，则的最大值为15，故选B.
考点：程序框图.
9．D
【解析】
对于①，利用抛物线的定义，利用可判断；
对于②，设直线的方程为，与抛物线联立，用坐标表示直线与直线的斜率乘积，即可判断；
对于③，将代入抛物线的方程可得，，从而，，利用韦达定理可得，再由，可用m表示，线段的中垂线与轴的交点（即圆心）横坐标为，可得a，即可判断.
【详解】
如图，设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，则圆心为线段的中点．
设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，
显然，，三点不共线，
则．所以①正确．
由题意可设直线的方程为，
代入抛物线的方程，有．
设点，的坐标分别为，，
则，．
所以．
则直线与直线的斜率乘积为．所以②正确．
将代入抛物线的方程可得，，从而，．根据抛物线的对称性可知，
，两点关于轴对称，所以过点，，的圆的圆心在轴上．
由上，有，，
则．
所以，线段的中垂线与轴的交点（即圆心）横坐标为，所以．
于是，，
代入，，得，
所以．
所以③正确．
故选：D
本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.
10．B
【解析】
根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论．
【详解】
因为，均为非零的平面向量，存在负数，使得，
所以向量，共线且方向相反，
所以，即充分性成立；
反之，当向量，的夹角为钝角时，满足，但此时，不共线且反向，所以必要性不成立．
所以“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件．
故选B．
判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确．
11．B
【解析】
因为,所以,所以或.
若，则,满足.
若，解得或.若，则，满足.若，显然不成立，综上或，选B.
12．C
【解析】
先化简集合A,B，结合并集计算方法，求解，即可．
【详解】
解得集合，
所以，故选C．
本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B，难度较小．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．60
【解析】
根据二项式定理展开式通项，即可求得的系数.
【详解】
因为，
所以，
则所求项的系数为.
故答案为：60
本题考查了二项展开式通项公式的应用，指定项系数的求法，属于基础题.
14．
【解析】
由平面向量模的计算公式，直接计算即可.
【详解】
因为平面向量与的夹角为，所以，
所以;
故答案为
本题主要考查平面向量模的计算，只需先求出向量的数量积，进而即可求出结果，属于基础题型.
15．
【解析】
根据约束条件可以画出可行域，从而将问题转化为直线在轴截距最大的问题的求解，通过数形结合的方式可确定过时，取最大值，代入可求得结果.
【详解】
由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：

将化为，则最大时，直线在轴截距最大；
由直线平移可知，当过时，在轴截距最大，
由得：，.
故答案为：.
本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在轴截距的最值的求解问题，通过数形结合的方式可求得结果.
16．1
【解析】
设，写出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得，由抛物线定义得焦点弦长，求得，再写出的垂直平分线方程，得，从而可得结论．
【详解】
抛物线的焦点坐标为，直线的方程为，
据得.设，
则.
线段垂直平分线方程为，令，则，所以，
所以.
故答案为：1．
本题考查抛物线的焦点弦问题，根据抛物线的定义表示出焦点弦长是解题关键．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）曲线：，直线的直角坐标方程；（2）1.
【解析】
试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线化为普通方程，再根据 将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据题意设直线参数方程，代入C方程，利用参数几何意义以及韦达定理得点到，的距离之积
试题解析：（1）曲线化为普通方程为：，
由，得，
所以直线的直角坐标方程为．
（2）直线的参数方程为（为参数），
代入化简得：，
设两点所对应的参数分别为，则，
．
18．（1）;（2）.
【解析】
（1）方程的两根为，由题意得，在利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前项和公式即可求出．
【详解】
方程x2－5x＋6＝0的两根为2，3.
由题意得a2＝2，a4＝3.
设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，故d＝，从而得a1＝.
所以{an}的通项公式为an＝n＋1.
（2）设的前n项和为Sn，
由（1）知＝，
则Sn＝＋＋…＋＋，
Sn＝＋＋…＋＋，
两式相减得
Sn＝＋－
＝＋－，
所以Sn＝2－.
考点：等差数列的性质；数列的求和．
【方法点晴】
本题主要考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前项和公式、一元二次方程的解法等知识点的综合应用，解答中方程的两根为，由题意得，即可求解数列的通项公式，进而利用错位相减法求和是解答的关键，着重考查了学生的推理能力与运算能力，属于中档试题．
19．见解析
【解析】
已知条件，需要证明的是，要想利用柯西不等式，需要的值，发现，则可以用柯西不等式.
【详解】
，
.
由柯西不等式得，
.
.
.
本题考查柯西不等式的应用，属于基础题.
20．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）由余弦定理解得，即可得到，由面面垂直的性质可得平面，即可得到，从而得证；
（Ⅱ）在平面中，过点作于点，则平面，如图所示建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法得到二面角的余弦，即可得到的关系，从而得解；
【详解】
解：（Ⅰ）证明：在中，，解得，
则，从而
因为平面平面，平面平面
所以平面，
又因为平面，
所以，
因为，，平面，平面，所以平面；
（Ⅱ） 解：在平面中，过点作于点，则平面，如图所示建立空间直角坐标系，设，其中，则
设平面的法向量为，则
，即，
令，则
又平面的一个法向量，则
从而，故
则直线与平面所成的角为，大小为.
本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质定理的应用，利用空间向量法解决立体几何问题，属于中档题.
21．（1）；（2）
【解析】
（1）先通过求得，再由得，和条件中的式子作差可得答案；
（2）变形可得，通过裂项求和法可得答案.
【详解】
（1）①，
当时，，
，
当时，②，
①②得：，
，
适合，
故；
（2），
.
本题考查法求数列的通项公式，考查裂项求和，是基础题.
22．（1）0.024；（2）分布列见解析，；（3）
【解析】
（1）由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16，则该套净水系统中一个一级过滤器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，而由一级滤芯更换频数分布表和二级滤芯更换频数条形图可知，一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6，二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2，再由乘法原理可求出概率；
（2）由二级滤芯更换频数条形图可知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4，5，6的概率分别为0.2，0.4，0.4，而的可能取值为8，9，10，11，12，然后求出概率，可得到的分布列及数学期望；
（3）由，且，可知若，则，或若，则，再分别计算两种情况下的所需总费用的期望值比较大小即可.
【详解】
（1）由题意知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16，则该套净水系统中一个一级过滤器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16”为事件，
因为一个一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6，二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2，所以.
（2）由柱状图知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4，5，6的概率分别为0.2，0.4，0.4，由题意的可能取值为8，9，10，11，12，
从而，
，
.
所以的分布列为
（个）.
或用分数表示也可以为
（个）.
（3）解法一：记表示该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用（单位：元）
因为，且，
1°若，则，
（元）；
2°若，则，
（元）.
因为，故选择方案：.
解法二：记分别表示该客户的净水系统在使用期内购买一级滤芯和二级滤芯所需费用（单位：元）
1°若，则，
的分布列为
该客户的净水系统在使用期内购买的各级滤芯所需总费用为（元）；
2°若，则，
的分布列为
（元）.
因为
所以选择方案：.
此题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型，考查运算求解能力，属于中档题.
一级滤芯更换的个数
8
9
频数
60
40
8
9
10
11
12
0.04
0.16
0.32
0.32
0.16
8
9
10
11
12
1280
1680
0.6
0.4
880
1080
0.84
0.16
800
1000
1200
0.52
0.32
0.16