辽宁省沈阳市2027年高考仿真卷数学试题（含答案解析）

这是一份辽宁省沈阳市2027年高考仿真卷数学试题（含答案解析）试卷主要包含了已知双曲线，已知的面积是,, ,则等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
2．设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
3．已知、分别是双曲线的左、右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点、，过点作轴的垂线，垂足恰为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．已知的共轭复数是，且（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知函数的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线（）的渐近线方程为，则（ ）
A．B．C．D．
8．一个四面体所有棱长都是4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
9．已知的面积是,, ,则（ ）
A．5B．或1C．5或1D．
10．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（ ）

A．B．C．D．
11．已知双曲线的右焦点为F，过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF的中点恰好在双曲线C上，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．集合的真子集的个数是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知命题：，，那么是__________.
14．工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是________．
15．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“憋臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥.某“憋臑”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知几何体高为，则该几何体外接球的表面积为__________．
16．已知二项式的展开式中的常数项为，则__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，正方形所在平面外一点满足，其中分别是与的中点.
（1）求证：；
（2）若，且二面角的平面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值.
18．（12分）如图，D是在△ABC边AC上的一点，△BCD面积是△ABD面积的2倍，∠CBD=2∠ABD=2θ．
（Ⅰ）若θ=，求的值；
（Ⅱ）若BC=4，AB=2，求边AC的长．
19．（12分）椭圆：（）的离心率为，它的四个顶点构成的四边形面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是直线上任意一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求证：直线恒过一个定点.
20．（12分）设，，，.
（1）若的最小值为4，求的值；
（2）若，证明：或.
21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，为椭圆上一动点（异于左右顶点），面积的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆相交于点两点，问轴上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（10分）如图，在三棱柱中， 平面ABC.
（1）证明：平面平面
（2）求二面角的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
分别解出集合然后求并集.
【详解】
解：，
故选：D
考查集合的并集运算，基础题.
2、D
【解析】
令，可得.
在坐标系内画出函数的图象（如图所示）.
当时，.由得.
设过原点的直线与函数的图象切于点，
则有，解得.
所以当直线与函数的图象切时.
又当直线经过点时，有，解得.
结合图象可得当直线与函数的图象有3个交点时，实数的取值范围是.
即函数在区间上有三个零点时，实数的取值范围是.选D.
点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解.
3、B
【解析】
设点位于第二象限，可求得点的坐标，再由直线与直线垂直，转化为两直线斜率之积为可得出的值，进而可求得双曲线的离心率.
【详解】
设点位于第二象限，由于轴，则点的横坐标为，纵坐标为，即点，
由题意可知，直线与直线垂直，，，
因此，双曲线的离心率为.
故选：B.
本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出、、的等量关系，考查计算能力，属于中等题.
4、D
【解析】
设，整理得到方程组，解方程组即可解决问题．
【详解】
设，
因为，所以，
所以，解得：，
所以复数在复平面内对应的点为，此点位于第四象限.
故选D
本题主要考查了复数相等、复数表示的点知识，考查了方程思想，属于基础题．
5、C
【解析】
根据线面平行的性质定理和判定定理判断与的关系即可得到答案.
【详解】
若，根据线面平行的性质定理，可得；
若，根据线面平行的判定定理，可得.
故选：C.
本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.
6、B
【解析】
根据三角函数的两角和差公式得到，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果.
【详解】
函数


则函数的最大值为2，
存在实数，使得对任意实数总有成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即
故答案为：B.
这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合.
7、A
【解析】
根据双曲线方程（），确定焦点位置，再根据渐近线方程得到求解.
【详解】
因为双曲线（），
所以，又因为渐近线方程为，
所以，
所以.
故选：A.
本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
8、A
【解析】
将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可．
【详解】
解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同，
∵四面体所有棱长都是4，
∴正方体的棱长为，
设球的半径为，
则，解得，
所以，
故选：A．
本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的关键在于，巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化，属于中档题．
9、B
【解析】
∵，,
∴
①若为钝角，则，由余弦定理得，
解得；
②若为锐角，则，同理得.
故选B.
10、C
【解析】
先根据组合数计算出所有的情况数，再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况，由此可求解出对应的概率.
【详解】
所有的情况数有：种，
3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有：
，共种，
所以目标事件的概率.
故选：C.
本题考查概率与等差数列的综合，涉及到背景文化知识，难度一般.求解该类问题可通过古典概型的概率求解方法进行分析；当情况数较多时，可考虑用排列数、组合数去计算.
11、A
【解析】
设，则MF的中点坐标为，代入双曲线的方程可得的关系，再转化成关于的齐次方程，求出的值，即可得答案.
【详解】
双曲线的右顶点为，右焦点为，
M所在直线为，不妨设，
∴MF的中点坐标为.代入方程可得，
∴，∴，∴（负值舍去）.
故选：A.
本题考查双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造的齐次方程.
12、C
【解析】
根据含有个元素的集合，有个子集，有个真子集，计算可得；
【详解】
解：集合含有个元素，则集合的真子集有（个），
故选：C
考查列举法的定义，集合元素的概念，以及真子集的概念，对于含有个元素的集合，有个子集，有个真子集，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、真命题
【解析】
由幂函数的单调性进行判断即可.
【详解】
已知命题：，，因为在上单调递增，则，所以是真命题，
故答案为：真命题
本题主要考查了判断全称命题的真假，属于基础题.
14、60
【解析】
分析：首先将选定第一个钉，总共有6种方法，假设选定1号，之后分析第二步，第三步等，按照分类加法计数原理，可以求得共有10种方法，利用分步乘法计数原理，求得总共有种方法.
详解：根据题意，第一个可以从6个钉里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会相等的，若第一个选1号钉的时候，第二个可以选3,4,5号钉，依次选下去，可以得到共有10种方法，所以总共有种方法，故答案是60.
点睛：该题考查的是有关分类加法计数原理和分步乘法计数原理，在解题的过程中，需要逐个的将对应的过程写出来，所以利用列举法将对应的结果列出，而对于第一个选哪个是机会均等的，从而用乘法运算得到结果.
15、
【解析】
三视图还原如下图：，由于每个面是直角，显然外接球球心O在AC的中点.所以，，填。
【点睛】三视图还原，当出现三个尖点在一个位置时，我们常用“揪尖法”。外接球球心到各个顶点的距离相等，而直角三角形斜边上的中点到各顶点的距离相等，所以本题的球心为AC中点。
16、2
【解析】
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数的值．
【详解】
二项式的展开式中的通项公式为，
令，求得，可得常数项为，，
故答案为：．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）先证明EF平面，即可求证；
（2）根据二面角的余弦值，可得平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系,利用向量计算线面角即可.
【详解】
（1）连接，交于点，
连结.则，
故面.
又面，
因此.
（2）由（1）知即为二面角的平面角，
且.
在中应用余弦定理，得，
于是有，
即，从而有平面.
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,
则，
于是，，
设平面的法向量为，
则，即，解得
于是平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为，因此.
本题主要考查了线面垂直，线线垂直的证明，二面角，线面角的向量求法，属于中档题.
18、（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）利用三角形面积公式以及并结合正弦定理，可得结果.
（Ⅱ）根据，可得，然后使用余弦定理，可得结果.
【详解】
（Ⅰ），所以
所以；
（Ⅱ），
所以，
所以，，
所以，
所以边．
本题考查三角形面积公式，正弦定理以及余弦定理的应用，关键在于识记公式，属中档题.
19、（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）根据椭圆的基本性质列出方程组，即可得出椭圆方程；
（2）设点，，，由，，结合斜率公式化简得出，，即，满足，由的任意性，得出直线恒过一个定点.
【详解】
（1）依题意得，解得
即椭圆：；
（2）设点，，
其中，
由，得，
即，
注意到，
于是，
因此，满足
由的任意性知，，，即直线恒过一个定点.
本题主要考查了求椭圆的方程，直线过定点问题，属于中档题.
20、（1）2；（2）见解析
【解析】
（1）将化简为，再利用基本不等式即可求出最小值为4，便可得出的值；
（2）根据，即，得出，利用基本不等式求出最值，便可得出的取值范围.
【详解】
解：（1）由题可知，，，，
，
∴.
（2）∵，
∴，
∴，
∴，即：或.
本题考查基本不等式的应用，利用基本不等式和放缩法求最值，考查化简计算能力.
21、（1）；（2）见解析
【解析】
（1）由面积最大值可得，又，以及，解得，即可得到椭圆的方程，（2）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，设，，线段的中点为，根据韦达定理求出点的坐标，再根据，，即可求出的值，可得点的坐标.
【详解】
（1）面积的最大值为，则：
又，，解得：，
椭圆的方程为：
（2）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形
设，，线段的中点为
由，消去可得：
，解得：
∴，
，
依题意有，
由可得：，可得：
由可得：
，
代入上式化简可得：
则：，解得：
当时，点满足题意；当时，点满足题意
故轴上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形
本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，斜率公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.
22、（1）证明见解析 （2）
【解析】
（1）证明平面即平面平面得证；（2）分别以所在直线为x轴，y轴.轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，再利用向量方法求二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：因为平面ABC，所以
因为.所以.即
又.所以平面
因为平面.所以平面平面
（2）解：由题可得两两垂直，所以分别以所在直线为x轴，y轴.轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，则，所以
设平面的一个法向量为，
由.得
令，得
又平面，所以平面的一个法向量为.

所以二面角的余弦值为.
本题主要考查空间几何位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.