2027年忻州市高考压轴卷数学试卷（含答案解析）

这是一份2027年忻州市高考压轴卷数学试卷（含答案解析）试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，已知集合，，则，圆心为且和轴相切的圆的方程是，设等差数列的前项和为，若，则，已知复数等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙､丙､丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．若数列为等差数列，且满足，为数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知集合，，则
A．B．
C．D．
5．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
6．圆心为且和轴相切的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
7．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．10B．9C．8D．7
8．已知复数（为虚数单位，），则在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
10．若等差数列的前项和为，且，，则的值为（ ）．
A．21B．63C．13D．84
11．在中，，，，点满足，则等于（ ）
A．10B．9C．8D．7
12．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知在等差数列中，，，前n项和为，则________.
14．某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看电影，则该同学在家学习的概率为____________.
15．若实数，满足不等式组，则的最小值为______.
16．函数的定义域为____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知三棱柱中，，是的中点，，.
（1）求证：；
（2）若侧面为正方形，求直线与平面所成角的正弦值.
18．（12分）在以ABCDEF为顶点的五面体中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EFAB，点G为CD中点，平面EAD⊥平面ABCD.
（1）证明：BD⊥EG；
（2）若三棱锥，求菱形ABCD的边长.
19．（12分）设函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若的解集为，，求证：．
20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线：（为参数，），曲线：（为参数）.若曲线和相切.
（1）在以为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，求曲线的普通方程；
（2）若点，为曲线上两动点，且满足，求面积的最大值.
21．（12分）如图，内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，平面ABC，，．
（1）求证：平面ACD；
（2）设，表示三棱锥B-ACE的体积，求函数的解析式及最大值．
22．（10分）已知椭圆的右焦点为，过作轴的垂线交椭圆于点（点在轴上方），斜率为的直线交椭圆于两点，过点作直线交椭圆于点，且，直线交轴于点.
（1）设椭圆的离心率为，当点为椭圆的右顶点时，的坐标为，求的值.
（2）若椭圆的方程为，且，是否存在使得成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
化简复数为的形式，然后判断复数的对应点所在象限，即可求得答案.
【详解】
对应的点的坐标为在第二象限
故选：B.
本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.
2、B
【解析】
将所有可能的情况全部枚举出来,再根据古典概型的方法求解即可.
【详解】
设乙,丙,丁分别领到x元,y元,z元,记为,则基本事件有,,,,,,,,,,共10个,其中符合乙获得“最佳手气”的有3个,故所求概率为,
故选：B.
本题主要考查了枚举法求古典概型的方法,属于基础题型.
3、B
【解析】
利用等差数列性质，若，则 求出，再利用等差数列前项和公式得
【详解】
解：因为 ，由等差数列性质，若，则得，
．
为数列的前项和，则．
故选：．
本题考查等差数列性质与等差数列前项和.
(1)如果为等差数列，若，则 ．
(2)要注意等差数列前项和公式的灵活应用，如.
4、D
【解析】
因为，，
所以，，故选D．
5、B
【解析】
直接代入检验，排除其中三个即可．
【详解】
由题意，排除D，，排除A，C．同时B也满足，，，
故选：B．
本题考查由数列的项选择通项公式，解题时可代入检验，利用排除法求解．
6、A
【解析】
求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程.
【详解】
圆心为且和轴相切的圆的半径为，因此，所求圆的方程为.
故选：A.
本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.
7、B
【解析】
根据题意，解得，，得到答案.
【详解】
，解得，，故.
故选：.
本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.
8、B
【解析】
分别比较复数的实部、虚部与0的大小关系，可判断出在复平面内对应的点所在的象限.
【详解】
因为时，所以，，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.
故选：B.
本题考查复数的几何意义，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
9、C
【解析】
根据椭圆的定义可得，，再利用余弦定理即可得到结论.
【详解】
由题意，，，又，则，
由余弦定理可得.
故.
故选：C.
本题考查椭圆的定义，考查余弦定理，考查运算能力，属于基础题.
10、B
【解析】
由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求，，然后结合等差数列的求和公式即可求解．
【详解】
解：因为，，
所以，解可得，，，
则．
故选：B．
本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础题．
11、D
【解析】
利用已知条件，表示出向量 ,然后求解向量的数量积．
【详解】
在中，，，，点满足，可得
则==
本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量．
12、C
【解析】
根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.
【详解】
由图可知，ABD选项可以围成三棱柱，C选项不是三棱柱展开图.
故选：C
本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、39
【解析】
设等差数列公差为d,首项为,再利用基本量法列式求解公差与首项,进而求得即可.
【详解】
设等差数列公差为d,首项为,根据题意可得,解得,所以.
故答案为：39
本题考查等差数列的基本量计算以及前n项和的公式,属于基础题.
14、
【解析】
采用列举法计算古典概型的概率.
【详解】
抛掷一枚硬币两次共有4种情况，即（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
在家学习只有1种情况，即（正，正），故该同学在家学习的概率为.
故答案为：
本题考查古典概型的概率计算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.
15、5
【解析】
根据题意，画出图像，数形结合，将目标转化为求动直线纵截距的最值，即可求解
【详解】
画出不等式组，表示的平面区域如图阴影区域所示，
令，则.分析知，当，时，取得最小值，且.
本题考查线性规划问题，属于基础题
16、
【解析】
由题意得，解得定义域为．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）取的中点，连接，，证明平面得出，再得出；
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，计算，即可得出答案．
【详解】
（1）证明：取的中点，连接，，
，，，
，
，故，
又，，平面，
平面，
，
，分别是，的中点，，
．
（2）解：四边形是正方形，，
又，，平面，
平面，
在平面内作直线的垂线，以为原点，以，，为所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，1，，，2，，，0，，
，1，，，2，，，1，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令可得：，，，
，．
直线与平面所成角的正弦值为，．
本题主要考查了线面垂直的判定与性质，考查空间向量与空间角的计算，属于中档题．
18、（1）详见解析；（2）.
【解析】
（1）取中点，连，可得，结合平面EAD⊥平面ABCD，可证
平面ABCD，进而有，再由底面是菱形可得，可得，
可证得平面，即可证明结论；
（2）设底面边长为，由EFAB，AB＝2EF，，求出体积，建立的方程，即可求出结论.
【详解】
（1）取中点，连，
底面ABCD为菱形，，
，平面EAD⊥平面ABCD，
平面平面平面，
平面平面，
底面ABCD为菱形，，
为中点，，
平面，
平面平面，；
（2）设菱形ABCD的边长为，则，
，
，
，
，所以菱形ABCD的边长为.
本题考查线线垂直的证明和椎体的体积，注意空间中垂直关系之间的相互转化，体积问题要熟练应用等体积方法，属于中档题.
19、（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）当时，将所求不等式变形为，然后分、、三段解不等式，综合可得出原不等式的解集；
（2）先由不等式的解集求得实数，可得出，将代数式变形为，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，进而可证得结论.
【详解】
（1）当时，不等式为，且.
当时，由得，解得，此时；
当时，由得，该不等式不成立，此时；
当时，由得，解得，此时.
综上所述，不等式的解集为；
（2）由，得，即或，
不等式的解集为，故，解得，，
， ，，
当且仅当，时取等号，．
本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
20、（1）；（2）
【解析】
（1）消去参数，将圆的参数方程，转化为普通方程，再由圆心到直线的距离等于半径，可求得圆的普通方程，最后利用求得圆的极坐标方程.
（2）利用圆的参数方程以及辅助角公式，由此求得的面积的表达式，再由三角函数最值的求法，求得三角形面积的最大值.
【详解】
（1）由题意得：，：
因为曲线和相切，所以，即：；
（2）设，
所以
所以当时，面积最大值为
本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查直角坐标方程转化为极坐标方程，考查利用参数的方法求三角形面积的最值，属于中档题.
21、（1）见解析（2），最大值．
【解析】
（1）先证明，，故平面ADC．由，即得证；
（2）可证明平面ABC，结合条件表示出，利用均值不等式，即得解.
【详解】
（1）证明：∵四边形DCBE为平行四边形，
∴，．
∵平面ABC，平面ABC，∴．
∵AB是圆O的直径，∴，
且，平面ADC，
∴平面ADC．
∵，∴平面ADC．
（2）解∵平面ABC，，
∴平面ABC．
在中，，．
在中，∵，∴，
∴，
∴．
∵，
当且仅当，即时取等号，
∴当时，体积有最大值．
本题考查了线面垂直的证明和三棱锥的体积，考查了学生逻辑推理，空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
22、（1）；（2）不存在，理由见解析
【解析】
（1）写出，根据，斜率乘积为-1，建立等量关系求解离心率；
（2）写出直线AB的方程，根据韦达定理求出点B的坐标，计算出弦长，根据垂直关系同理可得，利用等式即可得解.
【详解】
（1）由题可得，过点作直线交椭圆于点，且，直线交轴于点.
点为椭圆的右顶点时，的坐标为，
即，
，
化简得：，
即，解得或（舍去），
所以；
（2）椭圆的方程为，
由（1）可得，
联立得：，
设B的横坐标，根据韦达定理，
即，，
所以，
同理可得
若存在使得成立，
则，
化简得：，，此方程无解，
所以不存在使得成立.
此题考查求椭圆离心率，根据直线与椭圆的位置关系解决弦长问题，关键在于熟练掌握解析几何常用方法，尤其是韦达定理在解决解析几何问题中的应用.