2025~2026学年广东省深圳市盐田高级中学高二下册期末考试数学试题【含答案】

这是一份2025~2026学年广东省深圳市盐田高级中学高二下册期末考试数学试题【含答案】，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的序号填在括号内，每小题5分，共40分）
1. 样本数据2，8，14，16，20的平均数为（ ）
A. 8B. 9C. 12D. 18
2. 已知集合，，则中元素个数为（ ）
A. 0B. 3C. 5D. 8
3. “”是“函数在上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
5. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B. C. D.
6. 在等差数列中， ，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，若恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 设分别是椭圆C：的左、右焦点，圆与椭圆C在第一象限内的交点为，延长与椭圆C交于点，若，则椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分）
9. 函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. 是的极值点
B. 是 的极大值点
C. 的单调递减区间是
D.
10. 已知函数，则（ ）
A. 的定义域为
B. 在单调递减
C. 的图像关于直线对称
D. 有最大值
11. 在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台是一个侧棱相等、高为2的“刍童”，其中，则（ ）
A. 该“刍童”的表面积为
B. 该“刍童”中平面
C. 该“刍童”外接球的球心到平面的距离为
D. 该“刍童”侧棱与平面所成角的正弦值为
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 已知命题 “”，则的否定为______．
13. 已知 ，则函数的解析式为_________.
14. 设是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足.
（1）函数的对称中心为______________；
（2）现已知当直线和的图象交于、、三点时，的图象在点、点处的切线总平行，则过点可作的___________条切线.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分）
15. 某校“足球社团”为了解学生对足球的喜欢是否与性别有关，现采用问卷调查，得到如下列联表：
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生性别与喜欢足球有关联？
（2）现从喜欢足球的学生中按性别比例进行分层抽样，抽取8人组成志愿服务队.再从志愿服务队中抽取3人进行宣传报导活动，记抽到3人中的男生人数为，求随机变量的分布列和期望.
附：，其中.
16. 如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，．
（1）求证：平面ABC；
（2）若，D为的中点，求与平面所成角的正弦值．
17. 记数列的前项和为，已知，．
（1）证明：是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和；
（3）求的最大值．
18. 已知函数.
（1）若曲线在处的切线方程为，求实数和的值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若，且对任意，,都有，求的取值范围．
19. 在平面直角坐标系中，抛物线上一点到焦点的距离为.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过焦点的直线与抛物线交于、两点，
（i）当直线的倾斜角为时，求的面积；
（ii）直线分别与直线，交于点，，以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点坐标；否则，请说明理由.
数学
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的序号填在括号内，每小题5分，共40分）
1. 样本数据2，8，14，16，20的平均数为（ ）
A. 8B. 9C. 12D. 18
答案：C
解析：
思路：由平均数的计算公式即可求解.
解答过程：样本数据的平均数为.
故选：C.
2. 已知集合，，则中元素个数为（ ）
A. 0B. 3C. 5D. 8
答案：C
解析：
思路：根据补集的定义即可求出．
解答过程：因为，所以， 中的元素个数为，
故选：C．
3. “”是“函数在上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：A
解析：
解答过程：由幂函数的性质可知，当时，函数在上单调递增；
若函数在上单调递增，则，不能推出.
所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.
4. 若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据分段函数在上单调递增的要求：各分段分别单调递增、分段点处左段函数值不大于右段函数值，列不等式组求解.
解答过程：若为上的单调递增函数，需同时满足以下条件：
当时，指数函数单调递增，因此；
当时，一次函数单调递增，
因此斜率，解得；
在分段点处，左端函数值不大于右端函数值，
即，整理得，解得；
取三个不等式解集的交集，可得，即的取值范围为.
5. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：A、B、D项，结合特殊点即可排除；C项，求出奇偶性和单调性，即可判断.
解答过程：由题意，
由题意及图得，函数为奇函数，且当时，，
对A选项，当时，，与图象不符，故A错误；
对B选项，当时，，与图象不符，故B错误；
对D选项，当时，，与图象不符，故D错误；
对C选项，在中，
，即该函数为奇函数，
，与图象相符，故C正确.
6. 在等差数列中， ，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：利用等差数列下标和性质，代入条件化简求出，再将用通项展开化简得，代入即可算出结果．
解答过程：设数列的公差为，
因为是等差数列，所以，
由 ，可得 ，解得，
所以．
7. 已知函数，若恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：利用已知条件，把复杂不等式转化为简单函数，求导，利用导数分析单调性和极值，进而求出的取值范围．
解答过程：已知函数对恒成立，
则，
令，求导得，
单调递增，
，由单调性得，即，
令，求导得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
在处取得极大值：，
要使恒成立，只需满足，
的取值范围是．
8. 设分别是椭圆C：的左、右焦点，圆与椭圆C在第一象限内的交点为，延长与椭圆C交于点，若，则椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：由圆过点知，设，根据椭圆定义得，；在直角三角形中应用勾股定理可解得与的关系，再在直角三角形中利用勾股定理建立与的方程，从而求出离心率.
解答过程：如图，连接，
线段是圆O的直径，所以，
设，所以，
在直角三角形中，，整理得，
在直角三角形中，，
，得，即．
故选：A.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分）
9. 函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. 是的极值点
B. 是 的极大值点
C. 的单调递减区间是
D.
答案：BC
解析：
思路：由导函数图象可得单调性，据此可判断各选项正误.
解答过程：观察导函数的图象，当或时，，当且仅当时取等号，
当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减.
对于AB，是的极大值点，不是的极值点，故A错误，B正确；
对于C，如图可得的单调递减区间是 ，故C正确；
对于D，因函数在上单调递增，则，故D错误.
10. 已知函数，则（ ）
A. 的定义域为
B. 在单调递减
C. 的图像关于直线对称
D. 有最大值
答案：ACD
解析：
思路：根据对数函数的定义域判断A，应用对数及二次函数复合的单调性及最值判断B,D，根据二次函数的对称性判断复合函数的对称性判断C.
解答过程：，解得，
即的定义域为，A选项正确．
，令，则．
二次函数的图象的对称轴为直线，
又的定义域为的图象关于直线对称．C选项正确．
由复合函数单调性法则知，在上单调递增，在上单调递减，B选项错误．
当时，有最大值，，D选项正确．
11. 在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台是一个侧棱相等、高为2的“刍童”，其中，则（ ）
A. 该“刍童”的表面积为
B. 该“刍童”中平面
C. 该“刍童”外接球的球心到平面的距离为
D. 该“刍童”侧棱与平面所成角的正弦值为
答案：ACD
解析：
思路：如图，由题设建立空间直角坐标系，对于A，由棱台表面积计算公式结合题设可得答案；对于B，由与不垂直可判断选项正误；对于C，设外接球球心为，然后由可判断选项正误；对于D，由题设结合空间向量知识可判断选项正误.
解答过程：设上下两底面的中心分别为，的中点为，的中点为，
由题意面，设分别为的中点，则，
而面，所以，所以两两垂直，
所以以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：
对于A，因为，
过点作于点，则，
，所以，
同理过点作于点，则，
，所以，
所以侧面面积之和为，
而上下底面之和为，
所以该“刍童”的表面积为，故A正确；
对于B，由题意知四边形为矩形，，
，但，这表明了与不垂直，
所以不垂直平面（否则由线面垂直的性质得，导出矛盾），故B错误；
对于C，由对称性可知该“刍童”外接球的球心在直线上，不妨设它为，
而，所以，
由，即得，，
解得，所以该“刍童”外接球的球心到平面的距离为，故C正确；
对于D，因为，
所以，
又平面，故取平面的法向量为，
不妨设该“刍童”侧棱与平面所成角为，
则该“刍童”侧棱与平面所成角的正弦值为，故D正确．
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 已知命题 “”，则的否定为______．
答案：
解析：
解答过程：由命题否定的性质得.
13. 已知 ，则函数的解析式为_________.
答案：，
解析：
思路：使用换元法求解即可，设，那么，再代入即可求得函数的解析式.
解答过程：设，那么，则
，
所以，.
14. 设是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足.
（1）函数的对称中心为______________；
（2）现已知当直线和的图象交于、、三点时，的图象在点、点处的切线总平行，则过点可作的___________条切线.
答案： ①. ②.
解析：
思路：（1）解方程求得，求出的值，即可得出函数的对称中心坐标；
（2）分析出函数的对称中心为，可得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，可得出函数的解析式，设出切点坐标，利用导数求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可得出关于的方程，解方程即可得出结论.
解答过程：（1），则，，
由，可得，且，
故函数的对称中心为；
（2）的图象在点、点处的切线总平行，
所以，点、关于的对称中心对称，故点为函数的对称中心，
又因为直线恒过定点，
所以，函数的对称中心为，即点，
因为，则，，
所以，，解得，即，则.
所以，函数在处的切线方程为，
即，
将点代入切线方程得，整理得，
即，解得或.
故过点的函数的图象的切线有条.
故答案为：（1）；（2）.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分）
15. 某校“足球社团”为了解学生对足球的喜欢是否与性别有关，现采用问卷调查，得到如下列联表：
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生性别与喜欢足球有关联？
（2）现从喜欢足球的学生中按性别比例进行分层抽样，抽取8人组成志愿服务队.再从志愿服务队中抽取3人进行宣传报导活动，记抽到3人中的男生人数为，求随机变量的分布列和期望.
附：，其中.
答案：（1）喜欢足球与性别之间有关联
（2）分布列：
解析：
思路：（1）根据题意，由的公式代入计算，即可求解；
（2）根据题意，由超几何的概率计算公式，代入计算，即可得到分布列，从而得到期望.
（1）零假设为：喜欢足球与性别之间无关联.
根据列联表，由得，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为喜欢足球与性别之间有关联.
（2）在分层抽样中，喜欢足球的男生有6人，女生有2人，则的可能取值为
且，
则的分布列为
则
16. 如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，．
（1）求证：平面ABC；
（2）若，D为的中点，求与平面所成角的正弦值．
答案：（1）由题可知，，．
在中，，
所以，
在三棱柱中，所以，
因为平面平面 且平面平面，
所以平面
（2）解析：
思路：（1）由勾股定理的逆定理可得，进而利用面面垂直的性质可证结论；
（2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和直线的一个方向向量，利用向量法可求得与平面所成角的正弦值．
（1）略.
（2）因为，所以 ，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
由题意，得，， ， ，且D为的中点，即 ，
则 ， ， ，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以 ，
设与平面所成角为 ，则，
所以与平面所成角的正弦值.
17. 记数列的前项和为，已知，．
（1）证明：是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和；
（3）求的最大值．
答案：（1）当且时，由已知 ，得 .
两式相减得 ，
整理得 ， 因为时，两边同除以得 ，
又，故是首项为2、公差为2的等差数列；其通项公式为.
（2） （3）最大值为
解析：
思路：(1)利用与的递推关系证明为等差数列并求通项；
(2)再用裂项相消法求的前项和；
(3)借助于基本不等式求目标分式的最大值.
（1）证明略；因为是首项为2、公差为2的等差数列，则其通项公式为 ，
（2）由（1）得 ，
其前项和为 ，其中
（3）由等差数列的前项和公式得 ，
代入目标式，得 ，因为，分子分母同除以得，
由基本不等式， ，当且仅当即时取等号，
因此 ，故，
即的最大值为，时取得最大值.
18. 已知函数.
（1）若曲线在处的切线方程为，求实数和的值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若，且对任意，,都有，求的取值范围．
答案：（1）
（2）见解析 （3）
解析：
思路：（1）求导得，利用曲线在处的切线方程为，求实数和的值；
（2）求导数，根据导函数的正负讨论函数的单调性；
（3）由（2）可将不等式变形为，构造函数，只需在（0，+∞）为减函数，根据即可求解.
（1）求导得
因为在处的切线方程为，
所以，，得
因为 ，故,得.
（2）当时，在恒成立，所以在上是减函数.
当时，或（舍去），令，
令，
故在上是增函数，在上是减函数；
（3）由（2）知，若，在上是减函数，不妨设，则
即即，
只要满足在为减函数，
，
即在恒成立，
，，所以.
19. 在平面直角坐标系中，抛物线上一点到焦点的距离为.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过焦点的直线与抛物线交于、两点，
（i）当直线的倾斜角为时，求的面积；
（ii）直线分别与直线，交于点，，以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点坐标；否则，请说明理由.
答案：（1）；
（2）（i）；（ii）过定点坐标为或.
解析：
思路：（1）由抛物线的定义可得；
（2）（i）根据已知得出直线的方程，与抛物线联立，求面积；
（ii）设，联立方程根据韦达定理得出，的关系，进而表示出的方程，求出的坐标，得出圆的方程，进而可得出定点坐标.
（1）由已知可得，抛物线的焦点坐标为，
根据抛物线的定义，得，解得，
所以抛物线的标准方程为.
（2）（i）由题意，直线的方程为：，
联立方程组，得，
设，，则，，
.
（ii）以为直径的圆过定点，定点坐标为或，
依题意可设直线，
联立，消得，恒成立，
则，，
又，，
令，则，即，同理可得，
设圆上任意一点为，因为为直径，所以，
所以，即，
整理可得，，
令，可得或，
所以以为直径的圆过定点，定点坐标为或.
性别
足球
合计
喜欢
不喜欢
男生
30
20
50
女生
10
20
30
合计
40
40
80
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
足球
合计
喜欢
不喜欢
男生
30
20
50
女生
10
20
30
合计
40
40
80
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
1
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