山西省运城市2026-2027学年高考数学五模试卷（含答案解析）

这是一份山西省运城市2026-2027学年高考数学五模试卷（含答案解析）试卷主要包含了答题时请按要求用笔，世纪产生了著名的“”猜想，若复数等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线：，直线与分别相交于点，与的准线相交于点，若，则（ ）
A．3B．C．D．
2．已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．设实数、满足约束条件，则的最小值为（ ）
A．2B．24C．16D．14
4．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）
A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形
5．已知复数和复数，则为
A．B．C．D．
6．已知条件，条件直线与直线平行，则是的( )
A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
7．世纪产生了著名的“”猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果是奇数，则将它乘加，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到.如图是验证“”猜想的一个程序框图，若输入正整数的值为，则输出的的值是（ ）
A．B．C．D．
8．若双曲线的焦距为，则的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
9．若复数（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
10．若复数z满足,则复数z在复平面内对应的点在( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
11．已知函数，给出下列四个结论：①函数的值域是；②函数为奇函数；③函数在区间单调递减；④若对任意，都有成立，则的最小值为；其中正确结论的个数是（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数，若函数的所有零点依次记为，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．安排名男生和名女生参与完成项工作，每人参与一项，每项工作至少由名男生和名女生完成，则不同的安排方式共有________种（用数字作答）.
14．在中，角所对的边分别为，为的面积，若，，则的形状为__________，的大小为__________．
15．展开式中的系数为_______________．
16．已知点是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，若，则线段中点的纵坐标为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某校共有学生2000人，其中男生900人，女生1100人，为了调查该校学生每周平均体育锻炼时间，采用分层抽样的方法收集该校100名学生每周平均体育锻炼时间（单位：小时）.
（1）应抽查男生与女生各多少人？
（2）根据收集100人的样本数据，得到学生每周平均体育锻炼时间的频率分布表：
若在样本数据中有38名男学生平均每周课外体育锻炼时间超过2小时，请完成每周平均体育锻炼时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关”？
附：K2.
18．（12分）已知等差数列满足，公差，等比数列满足，，．
求数列，的通项公式；
若数列满足，求的前项和．
19．（12分）设，，，.
（1）若的最小值为4，求的值；
（2）若，证明：或.
20．（12分）设数列的前列项和为，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：.
21．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆C的长轴长为4.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线与椭圆C交于两点，是否存在实数k使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
22．（10分）已知矩阵，.
求矩阵；
求矩阵的特征值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据抛物线的定义以及三角形的中位线，斜率的定义表示即可求得答案.
【详解】
显然直线过抛物线的焦点
如图，过A,M作准线的垂直，垂足分别为C，D，过M作AC的垂线，垂足为E
根据抛物线的定义可知MD=MF，AC=AF，又AM=MN，所以M为AN的中点，所以MD为三角形NAC的中位线，故MD=CE=EA=AC
设MF=t，则MD=t，AF=AC=2t，所以AM=3t，在直角三角形AEM中，ME=
所以
故选：C
本题考查求抛物线的焦点弦的斜率，常见于利用抛物线的定义构建关系，属于中档题.
2、B
【解析】
由题意可知函数为上为减函数，可知函数为减函数，且，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
由题意知函数是上的减函数，于是有，解得，
因此，实数的取值范围是．
故选：B.
本题考查利用分段函数的单调性求参数，一般要分析每支函数的单调性，同时还要考虑分段点处函数值的大小关系，考查运算求解能力，属于中等题.
3、D
【解析】
做出满足条件的可行域，根据图形即可求解.
【详解】
做出满足的可行域，如下图阴影部分，
根据图象，当目标函数过点时，取得最小值，
由，解得，即，
所以的最小值为.
故选：D.
本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.
4、C
【解析】
试题分析：画出截面图形如图
显然A正三角形，B正方形：D正六边形，可以画出五边形但不是正五边形；故选C．
考点：平面的基本性质及推论．
5、C
【解析】
利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出．
【详解】
z1z2＝（cs23°+isin23°）•（cs37°+isin37°）＝cs60°+isin60°＝．
故答案为C．
熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键，复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.
6、C
【解析】
先根据直线与直线平行确定的值，进而即可确定结果.
【详解】
因为直线与直线平行，
所以，解得或；即或；
所以由能推出；不能推出；
即是的充分不必要条件.
故选C
本题主要考查充分条件和必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型.
7、C
【解析】
列出循环的每一步，可得出输出的的值.
【详解】
，输入，，不成立，是偶数成立，则；
，不成立，是偶数成立，则；
，不成立，是偶数成立，则；
，不成立，是偶数不成立，则；
，不成立，是偶数成立，则；
，不成立，是偶数成立，则；
，不成立，是偶数成立，则；
，不成立，是偶数成立，则；
，成立，跳出循环，输出的值为.
故选：C.
本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.
8、B
【解析】
根据焦距即可求得参数，再根据点到直线的距离公式即可求得结果.
【详解】
因为双曲线的焦距为，
故可得，解得，不妨取；
又焦点，其中一条渐近线为，
由点到直线的距离公式即可求的.
故选：B.
本题考查由双曲线的焦距求方程，以及双曲线的几何性质，属综合基础题.
9、B
【解析】
根据复数的除法法则计算，由共轭复数的概念写出.
【详解】
,
,
故选：B
本题主要考查了复数的除法计算，共轭复数的概念，属于容易题.
10、A
【解析】
化简复数，求得，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.
【详解】
由题意，复数z满足，可得，
所以复数在复平面内对应点的坐标为位于第一象限
故选：A.
本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
11、C
【解析】
化的解析式为可判断①，求出的解析式可判断②，由得，结合正弦函数得图象即可判断③，由
得可判断④.
【详解】
由题意，，所以，故①正确；
为偶函数，故②错误；当
时，，单调递减，故③正确；若对任意，都有
成立，则为最小值点，为最大值点，则的最小值为
，故④正确.
故选：C.
本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的问题.
12、C
【解析】
令，求出在的对称轴，由三角函数的对称性可得，将式子相加并整理即可求得的值.
【详解】
令，得，即对称轴为.
函数周期，令，可得.则函数在上有8条对称轴.
根据正弦函数的性质可知，
将以上各式相加得：
故选:C.
本题考查了三角函数的对称性，考查了三角函数的周期性，考查了等差数列求和.本题的难点是将所求的式子拆分为的形式.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1296
【解析】
先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，然后从4个女生选2个一组，将4人分成三组，然后全排列即可.
【详解】
由于每项工作至少由名男生和名女生完成，则先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，所以男生的排法共有，同理女生的排法共有，故不同的安排共有种.
故答案为：1296
本题主要考查了排列组合的应用，考查了学生应用数学解决实际问题的能力.
14、等腰三角形
【解析】
∵
∴根据正弦定理可得，即
∴
∴
∴的形状为等腰三角形
∵
∴
∴
由余弦定理可得
∴，即
∵
∴
故答案为等腰三角形，
15、
【解析】
把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数．
【详解】
解：，
故它的展开式中的系数为，
故答案为：．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
16、2
【解析】
运用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，然后求解结果.
【详解】
抛物线的标准方程为：，则抛物线的准线方程为，设，，则，所以，则线段中点的纵坐标为.
故答案为：
本题考查了抛物线的定义，由抛物线定义将点到焦点距离转化为点到准线距离，需要熟练掌握定义，并能灵活运用，本题较为基础.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）男生人数为人，女生人数55人.（2）列联表答案见解析，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关.
【解析】
（1）求出男女比例，按比例分配即可；
（2）根据题意结合频率分布表，先求出二联表中数值，再结合公式计算，利用表格数据对比判断即可
【详解】
（1）因为男生人数：女生人数＝900：1100＝9：11，
所以男生人数为，女生人数100﹣45＝55人，
（2）由频率频率直方图可知学生每周平均体育锻炼时间超过2小时的人数为：（1×0.3+1×0.25+1×0.15+1×0.05）×100＝75人，
每周平均体育锻炼时间超过2小时的女生人数为37人，
联表如下：
因为3.892＞3.841，
所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关.
本题考查分层抽样，独立性检验，熟记公式，正确计算是关键，属于中档题.
18、，；.
【解析】
由，公差，有，，成等比数列，所以，解得.进而求出数列，的通项公式；
当时，由，所以，当时，由，，可得，进而求出前项和．
【详解】
解：由题意知，，公差，有1，，成等比数列，
所以，解得．
所以数列的通项公式．
数列的公比，其通项公式．
当时，由，所以．
当时，由，，
两式相减得，
所以．
故
所以的前项和
，．
又时，，也符合上式，故.
本题主要考查等差数列和等比数列的概念，通项公式，前项和公式的应用等基础知识；考查运算求解能力，方程思想，分类讨论思想，应用意识，属于中档题．
19、（1）2；（2）见解析
【解析】
（1）将化简为，再利用基本不等式即可求出最小值为4，便可得出的值；
（2）根据，即，得出，利用基本不等式求出最值，便可得出的取值范围.
【详解】
解：（1）由题可知，，，，
，
∴.
（2）∵，
∴，
∴，
∴，即：或.
本题考查基本不等式的应用，利用基本不等式和放缩法求最值，考查化简计算能力.
20、（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）由已知可得，构造等比数列即可求出通项公式；
（2）当时，由，可求，时，由，可证，验证时，不等式也成立，即可得证.
【详解】
（1）由可得，，
即，
所以，
解得，
（2）当时，，
,
当时，，
综上，
由可得递增，
，时
；
所以，
综上：
故.
本题主要考查了递推数列求通项公式，利用放缩法证明不等式，涉及等比数列的求和公式，属于难题.
21、（1）；（2）存在，当时，以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O.
【解析】
（1）设椭圆的焦半距为，利用离心率为，椭圆的长轴长为1．列出方程组求解，推出，即可得到椭圆的方程．
（2）存在实数使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点．设点，，，，将直线的方程代入，化简，利用韦达定理，结合向量的数量积为0，转化为：．求解即可．
【详解】
解：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得，解得，
所以，故所求椭圆C的方程为
（2）存在实数k使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O.理由如下：
设点，，将直线的方程代入，
并整理，得.（*）
则，
因为以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以，即.
又，于是，
解得，
经检验知：此时（*）式的，符合题意.
所以当时，以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O
本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质，直线与椭圆位置关系的综合应用，考查计算能力以及转化思想的应用，属于中档题.
22、；，.
【解析】
由题意，可得，利用矩阵的知识求解即可.
矩阵的特征多项式为，令，求出矩阵的特征值.
【详解】
设矩阵，则，
所以，解得，，，，
所以矩阵；
矩阵的特征多项式为，
令，解得，，
即矩阵的两个特征值为，.
本题考查矩阵的知识点，属于常考题.
时间（小时）
[0,1]
(1,2]
(2,3]
(3,4]
(4,5]
(5,6]
频率
0.05
0.20
0.30
0.25
0.15
0.05
男生
女生
总计
每周平均体育锻炼时间不超过2小时
每周平均体育锻炼时间超过2小时
总计
P（K2≥k0）
0.100
0.050
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
男生
女生
总计
每周平均体育锻炼时间不超过2小时
7
18
25
每周平均体育锻炼时间超过2小时
38
37
75
总计
45
55
100