自贡市2026-2027学年高考数学一模试卷（含答案解析）

这是一份自贡市2026-2027学年高考数学一模试卷（含答案解析）试卷主要包含了方程在区间内的所有解之和等于，设是虚数单位，，，则，下列四个结论中正确的个数是等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知角的终边经过点,则
A．B．
C．D．
2．已知，，则（ ）
A．B．C．3D．4
3．方程在区间内的所有解之和等于( )
A．4B．6C．8D．10
4．若，则“”是“的展开式中项的系数为90”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；
②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；
④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．
其中正确的个数为（ ）
A．B．C．D．
6．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：
甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；
乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；
丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；
事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ）
A．甲走桃花峪登山线路B．乙走红门盘道徒步线路
C．丙走桃花峪登山线路D．甲走天烛峰登山线路
7．设是虚数单位，，，则（ ）
A．B．C．1D．2
8．已知实数，满足约束条件，则目标函数的最小值为
A．B．
C．D．
9．已知圆关于双曲线的一条渐近线对称，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
10．下列四个结论中正确的个数是
（1）对于命题使得，则都有；
（2）已知，则
（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为；
（4）“”是“”的充分不必要条件.
A．1B．2C．3D．4
11．已知实数，满足，则的最大值等于( )
A．2B．C．4D．8
12．已知复数，满足，则（ ）
A．1B．C．D．5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为______.
14．已知集合，则____________.
15．在直三棱柱内有一个与其各面都相切的球O1，同时在三棱柱外有一个外接球.若,，,则球的表面积为
______.
16．内角，，的对边分别为，，，若，则__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的短轴长为，左右焦点分别为，，点是椭圆上位于第一象限的任一点，且当时，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆上点与点关于原点对称，过点作垂直于轴，垂足为，连接并延长交于另一点，交轴于点.
（ⅰ）求面积最大值；
（ⅱ）证明：直线与斜率之积为定值.
18．（12分）已知函数，为实数，且．
（Ⅰ）当时，求的单调区间和极值；
（Ⅱ）求函数在区间，上的值域（其中为自然对数的底数）．
19．（12分）已知.
（1）解关于x的不等式：；
（2）若的最小值为M，且，求证：.
20．（12分）已知函数
（1）若，不等式的解集；
（2）若，求实数的取值范围.
21．（12分）椭圆：的离心率为，点 为椭圆上的一点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若斜率为的直线过点，且与椭圆交于两点，为椭圆的下顶点，求证：对于任意的实数，直线的斜率之积为定值.
22．（10分） “绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习．甲组一共有人，其中男生人，女生人，乙组一共有人，其中男生人，女生人，现要从这人的两个兴趣小组中抽出人参加学校的环保知识竞赛.
（1）设事件为 “选出的这个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件发生的概率；
（2）用表示抽取的人中乙组女生的人数，求随机变量的分布列和期望
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
因为角的终边经过点,所以,则,
即.故选D．
2、A
【解析】
根据复数相等的特征，求出和，再利用复数的模公式，即可得出结果.
【详解】
因为，所以，
解得
则.
故选：A.
本题考查相等复数的特征和复数的模，属于基础题.
3、C
【解析】
画出函数和的图像，和均关于点中心对称，计算得到答案.
【详解】
，验证知不成立，故，
画出函数和的图像，
易知：和均关于点中心对称，图像共有8个交点，
故所有解之和等于.
故选：.
本题考查了方程解的问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数关于点中心对称是解题的关键.
4、B
【解析】
求得的二项展开式的通项为,令时,可得项的系数为90,即,求得,即可得出结果.
【详解】
若则二项展开式的通项为,令,即,则项的系数为,充分性成立;当的展开式中项的系数为90,则有,从而,必要性不成立.
故选:B.
本题考查二项式定理、充分条件、必要条件及充要条件的判断知识,考查考生的分析问题的能力和计算能力,难度较易.
5、C
【解析】
利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可．
【详解】
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高分，平均成绩为低于分，①错误；
②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内，②正确；
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；
④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确．
故选：C．
本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．
6、D
【解析】
甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.
【详解】
若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.
故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.
综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路
故选：D
本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.
7、C
【解析】
由，可得，通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出的值.
【详解】
解：，
，解得：.
故选:C.
本题考查了复数的运算，考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题，易错点是把 当成进行运算.
8、B
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义为动点到定点的斜率，利用数形结合即可得到的最小值．
【详解】
解：作出不等式组对应的平面区域如图：
目标函数的几何意义为动点到定点的斜率，
当位于时，此时的斜率最小，此时．
故选B．
本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
9、C
【解析】
将圆，化为标准方程为，求得圆心为.根据圆关于双曲线的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，.再根据求解.
【详解】
已知圆，
所以其标准方程为：，
所以圆心为.
因为双曲线，
所以其渐近线方程为，
又因为圆关于双曲线的一条渐近线对称，
则圆心在渐近线上，
所以.
所以.
故选：C
本题主要考查圆的方程及对称性，还有双曲线的几何性质 ，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
10、C
【解析】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定．
【详解】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题使得，则都有，是错误的；
（2）中，已知，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为，所以 是正确的；
（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为是正确；
（4）中，当时，可得成立，当时，只需满足，所以“”是“”成立的充分不必要条件．
本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
11、D
【解析】
画出可行域，计算出原点到可行域上的点的最大距离，由此求得的最大值.
【详解】
画出可行域如下图所示，其中，由于,，所以，
所以原点到可行域上的点的最大距离为.
所以的最大值为.
故选：D
本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
12、A
【解析】
首先根据复数代数形式的除法运算求出，求出的模即可．
【详解】
解：，
，
故选：A
本题考查了复数求模问题，考查复数的除法运算，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积.
【详解】
如图：
此四棱锥的高为，底面是长为，宽为2的矩形，
所以体积.
所以本题答案为.
本题考查几何体与三视图的对应关系，几何体体积的求法，考查空间想象能力与计算能力.解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断.
14、
【解析】
根据并集的定义计算即可.
【详解】
由集合的并集，知.
故答案为：
本题考查集合的并集运算，属于容易题.
15、
【解析】
先求出球O1的半径，再求出球的半径，即得球的表面积.
【详解】
解：,，
,
，
设球O1的半径为，由题得，
所以棱柱的侧棱为.
由题得棱柱外接球的直径为，所以外接球的半径为，
所以球的表面积为.
故答案为：
本题主要考查几何体的内切球和外接球问题，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.
16、
【解析】
∵，∴，即，
∴，∴．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.
【解析】
（1）由，解方程组即可得到答案；
（2）（ⅰ）设，，则，，易得，注意到，利用基本不等式得到的最大值即可得到答案；（ⅱ）设直线斜率为，直线方程为，联立椭圆方程得到的坐标，再利用两点的斜率公式计算即可.
【详解】
（1）设，由，得.
将代入，得，即，
由，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设，，则，
（ⅰ）易知为的中位线，所以，
所以，
又满足，所以
，得，
故，当且仅当，即，时取等号，
所以面积最大值为.
（ⅱ）记直线斜率为，则直线斜率为，
所以直线方程为.
由，得，
由韦达定理得，所以，
代入直线方程，得，
于是，直线斜率，
所以直线与斜率之积为定值.
本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆中的最值及定值问题，在解椭圆与直线的位置关系的答题时，一般会用到根与系数的关系，考查学生的数学运算求解能力，是一道有一定难度的题.
18、（Ⅰ）极大值0，没有极小值；函数的递增区间，递减区间，（Ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）由，令，得增区间为，令，得减区间为，所以有极大值，无极小值；
（Ⅱ）由，分，和三种情况，考虑函数在区间上的值域，即可得到本题答案.
【详解】
当时，，，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故当时，函数取得极大值，没有极小值；
函数的增区间为，减区间为，
，
当时，，在上单调递增，即函数的值域为；
当时，，在上单调递减， 即函数的值域为；
当时，易得时，，在上单调递增，时，，在上单调递减，
故当时，函数取得最大值，最小值为，中最小的，
当时，，最小值；
当，，最小值；
综上，当时，函数的值域为，
当时，函数的值域，
当时，函数的值域为，
当时，函数的值域为.
本题主要考查利用导数求单调区间和极值，以及利用导数研究含参函数在给定区间的值域，考查学生的运算求解能力，体现了分类讨论的数学思想.
19、（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）分类讨论求解绝对值不等式即可；
（2）由（1）中所得函数，求得最小值，再利用均值不等式即可证明.
【详解】
（1）当时，等价于，该不等式恒成立，
当时，等价于，该不等式解集为，
当时，等价于，解得，
综上，或，
所以不等式的解集为.
（2），
易得的最小值为1，即
因为，，，
所以，，，
所以
，
当且仅当时等号成立.
本题考查利用分类讨论求解绝对值不等式，涉及利用均值不等式证明不等式，属综合中档题.
20、（1）（2）
【解析】
（1）依题意可得，再用零点分段法分类讨论可得；
（2）依题意可得对恒成立，根据绝对值的几何意义将绝对值去掉，分别求出解集，则两解集的并集为，得到不等式即可解得；
【详解】
解：（1）若，，则，即，
当时，原不等式等价于，解得
当时，原不等式等价于，解得，所以；
当时，原不等式等价于，解得；
综上，原不等式的解集为；
（2）即，得或，
由解得，
由解得，
要使得的解集为，则
解得，故的取值范围是.
本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．
21、（1）；（2）证明见解析
【解析】
（1）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解得，，进而得到椭圆方程；（2）设直线，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，以及点在直线上满足直线方程，化简整理，即可得到定值．
【详解】
（1）因为，所以， ①
又椭圆过点， 所以 ②
由①②，解得
所以椭圆的标准方程为 .
（2）证明 设直线：，
联立得，
设，
则
易知
故
所以对于任意的，直线的斜率之积为定值.
本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，考查运算能力，属于中档题．
22、（Ⅰ）； （Ⅱ）分布列见解析，.
【解析】
（Ⅰ）直接利用古典概型概率公式求 . （Ⅱ）先由题得可能取值为,再求x的分布列和期望.
【详解】
（Ⅰ）
（Ⅱ）可能取值为,
,
,
,
,
的分布列为
.
本题主要考查古典概型的计算，考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
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