2026届自贡市高三下第一次测试数学试题（含答案解析）

这是一份2026届自贡市高三下第一次测试数学试题（含答案解析），共16页。试卷主要包含了设直线过点，且与圆等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量，，且与的夹角为，则（ ）
A．B．1C．或1D．或9
2．已知命题p：若，，则；命题q：，使得”，则以下命题为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，则（ ）
A．B．1C．-1D．0
4．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
5．在直角坐标平面上，点的坐标满足方程，点的坐标满足方程则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．在中，角的对边分别为，，若，，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，若函数的极大值点从小到大依次记为，并记相应的极大值为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X的期望为（ ）
A．B．C．1D．2
9．设直线过点，且与圆：相切于点，那么（ ）
A．B．3C．D．1
10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
A．B．C．2D．
11．已知a>0，b>0，a+b =1，若 α=，则的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
12．用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在中，已知，，则A的值是______.
14．某城市为了解该市甲、乙两个旅游景点的游客数量情况，随机抽取了这两个景点20天的游客人数，得到如下茎叶图：
由此可估计，全年（按360天计算）中，游客人数在内时，甲景点比乙景点多______天.
15．已知双曲线的一条渐近线为，且经过抛物线的焦点，则双曲线的标准方程为______.
16．已知双曲线(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为_______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在中，角的对边分别为，且，．
（1）求的值；
（2）若求的面积．
18．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，为等边三角形，平面平面ABCD，M，N分别是线段PD和BC的中点.
（1）求直线CM与平面PAB所成角的正弦值；
（2）求二面角D-AP-B的余弦值；
（3）试判断直线MN与平面PAB的位置关系，并给出证明.
19．（12分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占，统计成绩后得到如下列联表：
（1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；
（2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是，求的分布列（概率用组合数算式表示）；
②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.
（下面的临界值表供参考）
（参考公式其中）
20．（12分）已知.
（1）求不等式的解集；
（2）记的最小值为，且正实数满足.证明：.
21．（12分）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且向量与向量共线.
（1）求B；
（2）若，，且，求BD的长度.
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为；直线l的参数方程为（t为参数）.直线l与曲线C分别交于M，N两点.
（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若点P的极坐标为，，求的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求的值.
【详解】
解：由题意可得，
求得，或，
故选：C.
本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．
2．B
【解析】
先判断命题的真假,进而根据复合命题真假的真值表,即可得答案.
【详解】
，，因为，，所以，所以，即命题p为真命题；画出函数和图象，知命题q为假命题,所以为真.
故选:B.

本题考查真假命题的概念,以及真值表的应用,解题的关键是判断出命题的真假,难度较易.
3．A
【解析】
由函数，求得，进而求得的值，得到答案.
【详解】
由题意函数，
则，所以，故选A.
本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4．C
【解析】
解对数不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.
【详解】
由，解得，故.依题意，所以.
故选：C
本小题主要考查对数不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.
5．B
【解析】
由点的坐标满足方程，可得在圆上，由坐标满足方程，可得在圆上，则求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可得结果.
【详解】
点的坐标满足方程，
在圆上，
在坐标满足方程，
在圆上，
则作出两圆的图象如图，
设两圆内公切线为与，
由图可知，
设两圆内公切线方程为，
则，
圆心在内公切线两侧，，
可得，，
化为，，
即，
，
的取值范围，故选B.
本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.
6．C
【解析】
由，可得，化简利用余弦定理可得，解得．即可得出三角形面积．
【详解】
解：，，且，
，化为：．
，解得．
．
故选：．
本题考查了向量共线定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．C
【解析】
对此分段函数的第一部分进行求导分析可知，当时有极大值，而后一部分是前一部分的定义域的循环，而值域则是每一次前面两个单位长度定义域的值域的2倍，故此得到极大值点的通项公式，且相应极大值，分组求和即得
【详解】
当时，，
显然当时有，，
∴经单调性分析知
为的第一个极值点
又∵时，
∴，，，…，均为其极值点
∵函数不能在端点处取得极值
∴，，
∴对应极值，，
∴
故选：C
本题考查基本函数极值的求解，从函数表达式中抽离出相应的等差数列和等比数列，最后分组求和，要求学生对数列和函数的熟悉程度高，为中档题
8．C
【解析】
每一次成功的概率为，服从二项分布，计算得到答案.
【详解】
每一次成功的概率为，服从二项分布，故.
故选：.
本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.
9．B
【解析】
过点的直线与圆：相切于点，可得.因此，即可得出.
【详解】
由圆：配方为，
，半径.
∵过点的直线与圆：相切于点，
∴；
∴；
故选：B.
本小题主要考查向量数量积的计算，考查圆的方程，属于基础题.
10．A
【解析】
由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形，
且两直角边分别为和，所以底面面积为
高为的三棱锥，所以三棱锥的体积为，故选A．
11．C
【解析】
根据题意，将a、b代入，利用基本不等式求出最小值即可.
【详解】
∵a>0，b>0，a+b=1，
∴，
当且仅当时取“＝”号．
答案：C
本题考查基本不等式的应用，“1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是最后一定要验证等号能否成立，属于基础题.
12．C
【解析】
由几何概型的概率计算，知每次生成一个实数小于1的概率为，结合独立事件发生的概率计算即可.
【详解】
∵每次生成一个实数小于1的概率为.∴这3个实数都小于1的概率为.
故选：C.
本题考查独立事件同时发生的概率，考查学生基本的计算能力，是一道容易题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
根据正弦定理，由可得，由可得，将代入求解即得.
【详解】
，，即，
，，则，
，，，则.
故答案为：
本题考查正弦定理和二倍角的正弦公式，是基础题.
14．72
【解析】
根据给定的茎叶图，得到游客人数在内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天，进而求得全年中，甲景点比乙景点多的天数，得到答案.
【详解】
由题意，根据给定的茎叶图可得，在随机抽取了这两个景点20天的游客人数中，
游客人数在内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天，
所以在全年）中，游客人数在内时，甲景点比乙景点多天.
故答案为：.
本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中熟记茎叶图的基本知识，合理推算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15．
【解析】
设以直线为渐近线的双曲线的方程为，再由双曲线经过抛物线焦点，能求出双曲线方程．
【详解】
解：设以直线为渐近线的双曲线的方程为，
∵双曲线经过抛物线焦点，
∴，
∴双曲线方程为，
故答案为：．
本题主要考查双曲线方程的求法，考查抛物线、双曲线简单性质的合理运用，属于中档题．
16．
【解析】
根据题意，由双曲线的渐近线方程可得，即a＝2b，进而由双曲线的几何性质可得cb，由双曲线的离心率公式计算可得答案．
【详解】
根据题意，双曲线的渐近线方程为y＝±x，
又由该双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，即yx，
则有，即a＝2b，
则cb，
则该双曲线的离心率e；
故答案为：．
本题考查双曲线的几何性质，关键是分析a、b之间的关系，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）3（2）78
【解析】
试题分析：（1）由两角和差公式得到，由三角形中的数值关系得到，进而求得数值；（2）由三角形的三个角的关系得到，再由正弦定理得到b=15,故面积公式为.
解析：
（1）在中，由，得为锐角，所以，
所以，
所以.

（2）在三角形中,由，
所以， 由，
由正弦定理,得，
所以的面积.
18．（1）（2）（3）直线平面，证明见解析
【解析】
取中点，连接，则，再由已知证明平面，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量．
（1）求出的坐标，由与所成角的余弦值可得直线与平面所成角的正弦值；
（2）求出平面的一个法向量，再由两平面法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值；
（3）求出的坐标，由，结合平面，可得直线平面．
【详解】
底面是边长为2的菱形，，
为等边三角形．
取中点，连接，则，
为等边三角形，
，
又平面平面，且平面平面，
平面．
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．
则，，，，1，，，0，，，，，，0，，
，，，，，．
，，设平面的一个法向量为．
由，取，得．
（1）证明：设直线与平面所成角为，
，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为；
（2）设平面的一个法向量为，
由，
得二面角的余弦值为；
（3），
，
又平面，
直线平面．
本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（1）填表见解析；有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”（2）①详见解析②期望；方差
【解析】
（1）完成列联表，代入数据即可判断；
（2）利用分层抽样可得的取值，进而得到概率，列出分布列；根据分析知，计算出期望与方差.
【详解】
（1）
有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”.
（2）①由分层抽样知，需要从不足120分的学生中抽取人，
的可能取值为0，1，2，3，4，
，，
，，
所以，的分布列：
②从全校不少于120分的学生中随机抽取1人，此人每周上线时间不少于5小时的概率为，设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为，则，
故，.
本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列、数学期望与方差的计算问题，属于基础题.
20．（1）或；（2）见解析
【解析】
（1）根据，利用零点分段法解不等式，或作出函数的图像，利用函数的图像解不等式；
（2）由（1）作出的函数图像求出的最小值为，可知，代入中，然后给等式两边同乘以，再将写成后，化简变形，再用均值不等式可证明.
【详解】
（1）解法一：1°时，，即，解得；
2°时，，即，解得；
3°时，，即，解得.
综上可得，不等式的解集为或.
解法二：由作出图象如下：
由图象可得不等式的解集为或.
（2）由
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
正实数满足，则，
即，
（当且仅当即时取等号）
故，得证.
此题考查了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质和均值不等式的运用，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题.
21．（1）（2）
【解析】
（1）根据共线得到，利用正弦定理化简得到答案.
（2）根据余弦定理得到，，再利用余弦定理计算得到答案.
【详解】
（1）∵与共线，∴.
即，∴
即，∵，∴，∵，∴.
（2），，，在中，由余弦定理得：
，∴.
则或（舍去）.
∴，∵∴.
在中，由余弦定理得：
，
∴.
本题考查了向量共线，正弦定理，余弦定理，意在考查学生的综合应用能力.
22．（1），；（2）2.
【解析】
（1）由得，求出曲线的直角坐标方程.由直线的参数方程消去参数，即求直线的普通方程；
（2）将直线的参数方程化为标准式（为参数），代入曲线的直角坐标方程，韦达定理得，点在直线上，则，即可求出的值.
【详解】
（1）由可得，
即，即，
曲线的直角坐标方程为，
由直线的参数方程（t为参数），消去得，
即直线的普通方程为.
（Ⅱ）点的直角坐标为，则点在直线上.
将直线的参数方程化为标准式（为参数），代入曲线的直角坐标方程，整理得，
直线与曲线交于两点，
，即.
设点所对应的参数分别为，
由韦达定理可得，
.
点在直线上，，
.
本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化及应用，属于中档题.
分数不少于120分
分数不足120分
合计
线上学习时间不少于5小时
4
19
线上学习时间不足5小时
合计
45
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
分数不少于120分
分数不足120分
合计
线上学习时间不少于5小时
15
4
19
线上学习时间不足5小时
10
16
26
合计
25
20
45