2025-2026学年云南省红河州中央民族大学附属中学红河州实验学校高二下册期中质量监测数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年云南省红河州中央民族大学附属中学红河州实验学校高二下册期中质量监测数学试卷（含解析），共46页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量和向量的夹角为，且，则的值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
4. 已知函数，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 4
5. 某学校组织研学活动，现有自然生态与地质科考、红色爱国主义教育、历史文化与文物考古、民族文化与非遗传承这4个研学方向．学校安排5名教师负责这4个方向的研学活动，若每个研学方向的研学活动都至少有1名教师负责，每名教师均需要负责且只负责其中1个研学方向的研学活动，则不同的分配方法种数为（ ）
A. 240B. 360C. 600D. 320
6. 四面体满足，， ，. 设的中点分别为，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数是函数的导函数，，对任意实数x都有，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为第一象限内一点且在椭圆上，交轴于点，若，，则的离心率为（ ）
A. B. 或C. D. 或
二､多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 数列的公差小于0B. 数列的公差与数列的公差相等
C. 中最大D. 使得的正整数的最小值为22
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 样本数据12，13，15，18，19，21，23，24，26，27的第70百分位数为23
B. 若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60
C. 若随机变量服从二项分布，则
D. 若随机变量服从正态分布，且，则
11. 已知点，在圆：上运动，点，且，为线段的中点，则（ ）
A. 过点与圆相切的直线有两条B. 点在直线上运动
C. D. 的最大值为
三、填空题:本题共3小题，每题5分，共15分.
12. 已知，则_________.
13. 若的二项展开式中，第5项为常数项，则__________.
14. 已知欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如：；记集合中元素个数为，则数列前项和为__________．
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求的最小正周期及最大值；
（2）记的内角，，所对的边分别为，，，已知，，，求角，及边长.
16. 已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C的离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求的面积.
17. 如图，在三棱柱中，，，，.
（1）证明：平面；
（2）若，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
18. 某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取个零件，设抽到的不合格的零件数为.
（1）求的值.小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故.请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程；
（2）若抽到的个零件中至少有个为不合格零件，求恰好有个为不合格零件的概率；
（3）对抽取的个零件进行检测，每个零件的检测费用为元，每发现个不合格品，需额外支出元的处理费用.设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布列与数学期望.
19. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意都有成立，求实数的取值范围；
（3）证明：（其中为自然对数的底数）.
数学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据集合的运算求解即可.
解答过程：，所以.
2. 已知复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：，，故的虚部为.
3. 已知向量和向量的夹角为，且，则的值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
答案：A
解析：
解答过程：
4. 已知函数，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 4
答案：C
解析：
解答过程：
．
5. 某学校组织研学活动，现有自然生态与地质科考、红色爱国主义教育、历史文化与文物考古、民族文化与非遗传承这4个研学方向．学校安排5名教师负责这4个方向的研学活动，若每个研学方向的研学活动都至少有1名教师负责，每名教师均需要负责且只负责其中1个研学方向的研学活动，则不同的分配方法种数为（ ）
A. 240B. 360C. 600D. 320
答案：A
解析：
思路：根据题意分组分配，结合排列组合知识计算即可求解.
解答过程：由题意可得其中一个研学活动有2名教师负责，剩下三个研学活动各有1名教师负责，
故不同的分配方法种数为.
6. 四面体满足，， ，. 设的中点分别为，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：建立空间直角坐标系，由向量关系求解.
解答过程：由题意，建立如图所示空间直角坐标系：
则，所以，
所以点到直线的距离为.
7. 已知函数是函数的导函数，，对任意实数x都有，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：因为，
所以由，
设，
所以函数是实数集上的减函数，
，
所以不等式的解集为.
8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为第一象限内一点且在椭圆上，交轴于点，若，，则的离心率为（ ）
A. B. 或C. D. 或
答案：C
解析：
思路：根据方程可得，根据题意可得为的角平分线，结合角平分线性质可得，设，可得，代入椭圆方程可得，进而可得和离心率.
解答过程：由题意可知：，则，，
因为，，则为的角平分线，
则，可得，
设，，，则，，
因为，则，解得，即，
则，解得，即，
则，则，即，
所以椭圆C的离心率.
二､多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 数列的公差小于0B. 数列的公差与数列的公差相等
C. 中最大D. 使得的正整数的最小值为22
答案：AC
解析：
解答过程：由​，可得：,
，则，
所以数列的公差，故A正确；
等差数列前项和 ，因此，
即公差为的等差数列，与原数列公差不相等，故B错误；
由，，，可知等差数列前11项均为正，从第12项开始为负，因此最大，故C正确；
利用等差数列求和公式计算可得，
，，
因此要使的正整数的最小值为，不是，故D错误.
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 样本数据12，13，15，18，19，21，23，24，26，27的第70百分位数为23
B. 若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60
C. 若随机变量服从二项分布，则
D. 若随机变量服从正态分布，且，则
答案：BCD
解析：
解答过程：选项A，样本共个数据，，为整数，第百分位数为第项和第项数据的平均值，即，A错误
选项B，方差，因为，故样本均值,样本总和，B正确
选项C，若，则，根据期望性质，得，C正确
选项D，正态分布的对称轴为，由对称性得，则，D正确
11. 已知点，在圆：上运动，点，且，为线段的中点，则（ ）
A. 过点与圆相切的直线有两条B. 点在直线上运动
C. D. 的最大值为
答案：ACD
解析：
思路：将点代入圆的方程即可判断A；易得，再利用勾股定理即可判断C；根据求出两点横纵坐标的关系，再结合为线段的中点求出点的轨迹方程，即可判断C；由，当最小时，最大，结合B选项求出的最小值，即可判断D.
解答过程：圆：的圆心，半径，
对于A，因为，
所以点在圆外，
所以过点与圆相切的直线有两条，故A正确；
对于C，因为为线段的中点，所以，
所以，故C正确；
对于B，
，
所以，
而，
所以，
所以点在直线上运动，故B错误；
对于D，由，
当最小时，最大，
而最小值为到的距离为，
此时Q在圆的内部，
所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题:本题共3小题，每题5分，共15分.
12. 已知，则_________.
答案：
解析：
思路：根据与之间的关系，结合诱导公式，可得结果.
解答过程：因为
所以
又
所以
故答案为：
方法提示：本题主要是考查诱导公式的应用，对这种问题，常观察角度之间的关系，属基础题.
13. 若的二项展开式中，第5项为常数项，则__________.
答案：
解析：
思路：利用二项展开式通项以及已知条件可得出关于的等式，即可得解.
解答过程：根据二项式定理，其展开式的第项通项为：
，
当时，第5项为为常数，
则，
解得：.
14. 已知欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如：；记集合中元素个数为，则数列前项和为__________．
答案：
解析：
思路：先利用欧拉函数公式算出，再按、、三种情况，通过分析区间内整数的个数，求出数列的分段表达式，最后用等比数列求和公式并验证首项，得到的统一公式.
解答过程：因为3为质数，在不超过的正整数中，所有能被3整除的正整数的个数为，
则，即，
所以集合，
当时，集合为，则；
当时，集合为，则；
当时，，则，
综上所述，，
设数列前项和为，
当时，；
当时，，
显然满足上式，则.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求的最小正周期及最大值；
（2）记的内角，，所对的边分别为，，，已知，，，求角，及边长.
答案：（1），1
（2），，
解析：
思路：（1）逆用两角和的正弦公式化简，根据最小正周期公式和三角函数的最值求解即可；（2）依题意，求出角，根据正弦定理，求出角，根据三角形内角和为，求出角，再次利用正弦定理求出边长.
（1）因为，
所以的最小正周期为，最大值为1.
（2）因为且，所以，
在中，由正弦定理，解得，
因为，所以，
所以，，
由正弦定理，解得.
16. 已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C的离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求的面积.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）先由抛物线焦点求椭圆值，再结合离心率求，最后由、求得椭圆方程.
（2）直线方程代入椭圆方程消元，求解，，以为底、纵坐标绝对值为高求三角形面积.
（1）抛物线的焦点为，则，
又椭圆C的离心率，则，所以，
故椭圆C的标准方程为 ；
（2）由（1）可知，椭圆C的左顶点，
则直线：，即：，
设，，消去得，
解得或（舍去），
所以.
17. 如图，在三棱柱中，，，，.
（1）证明：平面；
（2）若，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
答案：（1），，，
由余弦定理得，
，
，，
又，，平面，
平面；
（2）解析：
思路：（1）由余弦定理得到，根据勾股定理逆定理得到，结合证明出线面垂直；
（2）先由线面垂直得到线线垂直，得到二面角的平面角为，求出各边长，得到为等边三角形，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量公式求出答案.
（1）略
（2）方法一：平面，平面，
且，
二面角的平面角为，而，
，为等边三角形，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，所在平面为平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，
由，，，，
设平面的一个法向量，
，
解得，令，则，故，
设与平面所成角为，
.
方法二：因为平面，又平面，所以．
又，所以为二面角的平面角，即，
在中，因为，，所以．故是等边三角形
所以．
在三棱柱中，，又平面，所以平面，
又平面，所以．故为直角三角形．
在直角中，因为，，所以，故．
设点到平面的距离为，由，
得，解得．
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
18. 某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取个零件，设抽到的不合格的零件数为.
（1）求的值.小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故.请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程；
（2）若抽到的个零件中至少有个为不合格零件，求恰好有个为不合格零件的概率；
（3）对抽取的个零件进行检测，每个零件的检测费用为元，每发现个不合格品，需额外支出元的处理费用.设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布列与数学期望.
答案：（1）
（2） （3）随机变量的分布列如下表所示：
数学期望为.
解析：
思路：（1）根据题意得出这个零件中不合格零件数，利用随机变量服从超几何分布即可求解；
（2）通过条件概率公式即可求解；
（3）根据题意得出随机变量与随机变量的关系，从而得到随机变量的取值范围和对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式计算即可.
（1）小明的解答不正确，正确的解答过程如下：
根据题意，这个零件中是有个不合格零件，个合格零件，
则从这个零件中抽到个不合格零件，个合格零件的组合数是种，
因此.
（2）设事件为“抽到的个零件中至少有个为不合格零件”，事件为“抽到的个零件中恰好有个为不合格零件”，
由于事件是事件的子事件，所以，
而，，
根据条件概率公式，即恰好有个为不合格零件的概率为.
（3）由于随机变量表示抽到的不合格的零件数，可能取值为，而对于每个的值，总费用，
因此随机变量的可能取值为，，，
由于，，，
因此，，，
所以随机变量的分布列为：
数学期望为，即随机变量的数学期望为.
19. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意都有成立，求实数的取值范围；
（3）证明：（其中为自然对数的底数）.
答案：（1）答案见解析；
（2）；
（3）证明见解析.
解析：
思路：（1）求导，按，分类讨论求解.
（2）由（1）得，根据对任意都有成立，由求解；
（3）借助于（2）中的函数，，分别取和，代入即可通过变形证明.
（1）函数的定义域为，求导得，
当时，，函数在上递增；
当时，由，得，函数在上递减，
由，得，函数在上递增；
所以当时，函数的单调增区间是，无减区间；
当时，函数的单调减区间是，增区间是.
（2）当时，在上递增，又，当时，，则不成立；
当时，由（1）得，
由对任意都有成立，得，
令，求导得，当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，则当时，取得最大值，
所以实数a的取值集合是.
（3）由（2）知：，令，
则，即，则，因此；
由（2）知：，令，
则，即，则，因此，
所以.
方法提示：关键点点睛：本题第三问关键是由，分别令， 而得解.Y
30
55
80
P