2025-2026学年云南红河哈尼族彝族自治州高一下册期末学业水平质量检测数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年云南红河哈尼族彝族自治州高一下册期末学业水平质量检测数学试卷（含解析），共46页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等．现有一个上、下底面面积分别是，高为的圆台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
6. 某中学为了解本校学生课外阅读情况，随机抽取名学生进行调查，统计学生平均每日课外阅读时长（单位：分钟），且时长均在范围内，得到如图所示频率分布直方图．该校将阅读时间较长者评为“阅读达人”，且获得“阅读达人”称号的学生人数占总人数的．以样本估计总体，若某学生获得“阅读达人”称号，则他平均每日课外阅读时长至少达到（ ）

A. 分钟B. 分钟C. 分钟D. 分钟
7. （ ）
A. B. C. D.
8. 已知点是边长为的等边边上一动点，为的重心，则的范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分．
9. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，定义如下事件：“掷出的点数为偶数”，“掷出的点数小于”，“掷出点数为”，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 事件包含于事件
C. 事件与事件互斥D. 事件与事件相互独立
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数关于直线对称
C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到的函数是奇函数
D. 不等式的解集为
11. 如图，在正方体中，，点为线段上的动点，点为线段上的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 无论点在线段上如何运动，总有
B. 与平面所成角的正弦值为
C. 的最小值为
D. 若，过三点作该正方体的截面，该截面的面积为
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分．
12. 在平面直角坐标系中，向量，如图所示，则__________．（用坐标表示）

13. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点是角终边上一点，则___________．
14. 已知函数．若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为___．
四、解答题：本题共小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某学校的羽毛球社团有，两个训练小组，其中组人，组人，期末学校对羽毛球训练成效进行考核，满分为分．为了解两个小组的训练成效，现采用按比例分层抽样的方法从该社团成员中抽取容量为的样本，记录样本中每名成员的考核成绩（单位：分），统计结果如下：
抽取的名组成员考核成绩为：，，，；
抽取的名组成员考核成绩为：，，，，，．
规定：考核成绩不低于分为“优秀”．
（1）根据个样本数据，从考核成绩为“优秀”的成员中任取两人，求这两人来自同一组的概率；
（2）以样本估计总体，分别估计，两组考核成绩的平均数与方差，判断哪组的成绩更稳定？请说明理由．
16. 某公司生产某产品，原生产量为每年万件，为适应市场需求，计划改进技术并扩大生产．据测算，生产该产品的年固定成本为万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且．由市场调研知，该产品每件的售价为元，且全年产品当年可全部售完．
（1）求年利润（万元）与年产量（万件）的函数解析式（利润＝销售收入－固定成本－可变成本）；
（2）当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
17. 在中，角所对的边分别为，且满足．
（1）求证：；
（2）若，平分且交于点，且，求的周长．
18. 如图，在四面体中，是边长为的等边三角形，是线段的中点，是的中点，点在上且满足，，．

（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）若，求四面体的体积.
19. 已知是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求在时的解析式；
（2）判断函数在上的单调性，并证明；
（3）对，恒成立，且，求的取值范围.
数学
本试卷共页，共题，全卷满分分，考试用时分钟.
一、单项选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：由，解得或，则集合，
因为集合，所以．
2. 已知，，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：因为，，
所以，故虚部为．
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：B
解析：
解答过程：由，解得，
因是的真子集，
故“”是“”的必要不充分条件．
4. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等．现有一个上、下底面面积分别是，高为的圆台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：由题意可知，不规则几何体的体积等于圆台的体积，
且圆台上、下底面面积分别是，高为，
设圆台的体积为，则，
则该不规则几何体的体积为.
5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：利用指数函数、对数函数、三角函数的性质求解．
解答过程：由题意知，，，
又因为，即，所以．
6. 某中学为了解本校学生课外阅读情况，随机抽取名学生进行调查，统计学生平均每日课外阅读时长（单位：分钟），且时长均在范围内，得到如图所示频率分布直方图．该校将阅读时间较长者评为“阅读达人”，且获得“阅读达人”称号的学生人数占总人数的．以样本估计总体，若某学生获得“阅读达人”称号，则他平均每日课外阅读时长至少达到（ ）

A. 分钟B. 分钟C. 分钟D. 分钟
答案：D
解析：
解答过程：由题意知，获得“阅读达人”称号的同学平均每日课外阅读时长的最小值为样本数据的分位数，
由频率分布直方图可知，组距为，且第五组的频率为；
所以前四组频率之和为，则样本数据的分位数为分钟．
7. （ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：括号内通分，利用辅助角公式化简分子，再利用正弦二倍角公式和诱导公式可解.
解答过程：由题意可知，
.
8. 已知点是边长为的等边边上一动点，为的重心，则的范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：设与的夹角为，
在边长为的等边中，
连接并延长交于点，则垂直平分，
所以，
又因为点为的重心，则，
所以，
为在上的投影，
其最小值为，最大值为.
所以，
所以．
二、多项选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分．
9. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，定义如下事件：“掷出的点数为偶数”，“掷出的点数小于”，“掷出点数为”，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 事件包含于事件
C. 事件与事件互斥D. 事件与事件相互独立
答案：BD
解析：
解答过程：由题可知，设掷出点数为，
则试验的样本空间表示为，
事件，事件，事件，
对于A，因为，故A错误；
对于B，因为，故B正确；
对于C，由于，故C错误；
对于D，由题意知，，则，
又，，
所以，
则事件与事件相互独立，故D正确．
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数关于直线对称
C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到的函数是奇函数
D. 不等式的解集为
答案：ACD
解析：
解答过程：对于A，由题意可知，最小正周期，
由，，得，故A正确；
对于B，由题意可知，当，时，
解得函数的对称轴为，，
当，解得，不成立，
所以函数不关于直线对称，故B错误；
对于C，由题意可知，将的图象向左平移个单位长度得到，，
此时函数是奇函数，故C正确；
对于D，由，得，，
所以的解集为，故D正确．
故选：ACD．
11. 如图，在正方体中，，点为线段上的动点，点为线段上的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 无论点在线段上如何运动，总有
B. 与平面所成角的正弦值为
C. 的最小值为
D. 若，过三点作该正方体的截面，该截面的面积为
答案：ABD
解析：
思路：A.通过线面垂直证明线线垂直；B.先找到线面所成的角，再在直角中求解角的正弦值；C把长方形与正方形展开成一个平面，当三点共线时求解；D.先作出截面，再求解面积.
解答过程：对于A，在正方体中，
由平面，知平面，
又平面，则，故A正确；
对于B，连接，，在正方形中，，
由平面，平面，得，
又，平面，
则平面．
过点作交于点，连接，
于是平面，
故是直线与平面所成的角，
在中，，，
则，故B正确；
对于C，如图：
把长方形与正方形展开成一个平面，
当三点共线时，
此时最小，为，，故C错误；
对于D，若，延长，与的延长线交于点，
连接与相交于点，连接，如图：
由比例关系可得，
则过三点作该正方体的截面是梯形，
记梯形的高为，
由题意得，
在中，由余弦定理得，
则，得．
故，故D正确．
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分．
12. 在平面直角坐标系中，向量，如图所示，则__________．（用坐标表示）

答案：
解析：
解答过程：由图知，，，
则．
13. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点是角终边上一点，则___________．
答案：
解析：
解答过程：由题意知，
．
14. 已知函数．若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为___．
答案：
解析：
解答过程：已知，其值域为，
令，则原方程可化为，即：，
要使有个不同实数根，
需满足有两个不同的实数根，且这两实数根均大于．
设，即要使的两实数根均大于，则需满足：
，即，得．
所以的取值范围为．
四、解答题：本题共小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某学校的羽毛球社团有，两个训练小组，其中组人，组人，期末学校对羽毛球训练成效进行考核，满分为分．为了解两个小组的训练成效，现采用按比例分层抽样的方法从该社团成员中抽取容量为的样本，记录样本中每名成员的考核成绩（单位：分），统计结果如下：
抽取的名组成员考核成绩为：，，，；
抽取的名组成员考核成绩为：，，，，，．
规定：考核成绩不低于分为“优秀”．
（1）根据个样本数据，从考核成绩为“优秀”的成员中任取两人，求这两人来自同一组的概率；
（2）以样本估计总体，分别估计，两组考核成绩的平均数与方差，判断哪组的成绩更稳定？请说明理由．
答案：（1）；
（2）平均数都是88；组方差为17，组方差为；由于，，所以组的成绩更稳定．
解析：
思路：（1）先根据按比例分层抽样求出从两组抽取的成绩优秀的人数，用字母表示并列出“从中任取两人”的样本空间和“两人来自同一组”的样本点，根据古典概型概率公式计算；
（2）分别计算出两组成绩的平均数与方差，对应比较即得结果.
（1）由题意知，抽取的样本数据中考核成绩为优秀的成员共有5人，
其中组有2人，分别记为，；组有3人，分别记为，，；
从上述5人中随机抽取2人的样本空间为：
，共包含10个样本点，
其中，这两人来自同一组包含4个样本点，
则，
所以考核成绩“优秀”的5人中任取两人，两人来自同一组的概率为.
（2）记抽取的4名组成员的考核成绩的平均数为，方差为，
记抽取的6名组成员的考核成绩的平均数为，方差为，
则，
，
，
，
由于，，所以组的成绩更稳定．
16. 某公司生产某产品，原生产量为每年万件，为适应市场需求，计划改进技术并扩大生产．据测算，生产该产品的年固定成本为万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且．由市场调研知，该产品每件的售价为元，且全年产品当年可全部售完．
（1）求年利润（万元）与年产量（万件）的函数解析式（利润＝销售收入－固定成本－可变成本）；
（2）当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
答案：（1）
（2）当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元.
解析：
思路：（1）由“利润＝销售收入－固定成本－可变成本”列出关系式并化简即得的解析式；
（2）利用基本不等式可求得年利润最大值.
（1）由题意知，年利润
（2）当时，
，
当且仅当，即时取等号，
此时，取得最大值为，
所以当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元.
17. 在中，角所对的边分别为，且满足．
（1）求证：；
（2）若，平分且交于点，且，求的周长．
答案：（1）证明：因为，
由正弦定理得，即，
得，所以，即
（2）解析：
（1）略.
（2）因为，，所以的面积为，
又因为平分且交于点，所以，又，
所以，
所以，即，，因为，根据余弦定理得
，故，所以周长.
18. 如图，在四面体中，是边长为的等边三角形，是线段的中点，是的中点，点在上且满足，，．

（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）若，求四面体的体积.
答案：（1）证明：因为是线段的中点，是的中点，
所以，又因为，
所以，且平面；平面，
所以平面；
（2）因为是边长为的等边三角形，是线段的中点，
所以，且，
又因为，，
所以，则，且，，
所以；
（3）解析：
思路：（1）要证明线面平行，转化为证明线线平行，即；
（2）要证明线面垂直，转化为证明，，即可证明；
（3）首先根据条件确定，再求底面面积和高，即可求解锥体的体积.
（1）略
（2）略
（3）因为是线段的中点，，，
所以，得，
又因为，
所以，
设四面体的体积为，则.
19. 已知是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求在时的解析式；
（2）判断函数在上的单调性，并证明；
（3）对，恒成立，且，求的取值范围.
答案：（1）
（2）函数在上单调递增，证明如下：
设，则，即，
所以函数在上单调递增；
（3）解析：
思路：（1）利用奇函数的性质求解析式即可；
（2）应用单调性的定义证明单调性；
（3）问题化为在上恒成立，结合二次函数的性质求右侧的最大值，即可得.
（1）因为是奇函数，故有，且时，，
当时，，则，所以，
因此函数在时的解析式为；
（2）略
（3）因为，所以，
因为，代入得，
由（2）得在上单调递增，则恒成立，
即恒成立，令，，
令，所以，则的最大值为，
因此，所以的取值范围为.