北师大版初中数学八年级上册（2024）第一章 勾股定理 单元教学设计

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第一章　勾股定理学情分析：学生在前面已学过关于直角三角形的一些知识，也知道对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系外，还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系．对于直角三角形的边，除满足三边关系外，它们之间也存在着特殊的关系，通过之前学习的有关知识，学生的数形结合思想和空间观念有了一定的提升，现在再来学习直角三角形的勾股定理就有了更为充实的基础和准备，通过本章的学习，可以加深学生对直角三角形的认识，同时为解决一些生活中关于直角三角形的问题打好基础．本章以直角三角形为线索，探索了勾股定理及其逆定理的发现和应用．勾股定理在生活中有着广泛的应用，因此，要求学生熟练掌握勾股定理，并能灵活地运用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题．课标要求：探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题．单元目标：1. 经历勾股定理及其逆定理的探索过程，了解勾股定理的各种探究方法及其内在联系，进一步发展学生的空间观念和推理能力．2．掌握勾股定理及其逆定理，了解勾股数，并能运用它们解决简单的实际问题．3．师生共同了解勾股定理的历史与应用，体会勾股定理的文化价值.单元模块及课时划分单元模块及课程评价1．1　探索勾股定理第1课时　探索勾股定理1．会用数格子(或割、补、拼等)的办法体验勾股定理的探索过程、理解勾股定理反映的直角三角形三边之间的数量关系．2．学会运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．(重难点)阅读课本P1～3，完成预习内容．(一)知识探究1．观察下面两幅图：2．填表：(1)两图中三个正方形A，B，C的面积有什么关系？解：A的面积＋B的面积＝C的面积．(2)两图中三个正方形A，B，C围成的直角三角形的三边有什么关系？解：A的边长的平方＋B的边长的平方＝C的边长的平方．3．阅读课本第3页知识并牢记勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2．(二)自学反馈1．下列说法中正确的是(C)A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2＋b2＝c2B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，则a2＋b2＝c22．若Rt△ABC中，∠C＝90°，且AB＝10，BC＝8，则AC的值是(B)A．5　　　　　　　　　B．6C．7 D．83．如图，字母B所代表的正方形的面积是(C)A．12B．13C．144D．194活动1　小组讨论例1　求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度．解：左边未知正方形的面积为225，右边x＝8.例2　已知在Rt△ABC中，∠C＝90°.①若a＝3，b＝4，则c2＝25，c＝5；②若a＝6，b＝8，则c2＝100，c＝10；③若a＝40，b＝9，则c＝41；④若a＝15，b＝8，则c＝17．活动2　跟踪训练1．在△ABC中，∠C＝90°.若 a＝5，b＝12，则 c＝13；若c＝41，a＝9，则b＝40．2．等腰△ABC的腰长AB＝10 cm，底BC为16 cm，则底边上的高为6，面积为48．3．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为(C)A．42 B．32C．42或 32 D．37 或 33活动3　课堂小结1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？2．对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流．第2课时　验证勾股定理及其计算1．学会用拼图法、等积法验证勾股定理的正确性．2．学会用勾股定理解决实际问题．(重难点)阅读课本P4～6，完成预习内容．(一)知识探究求出下列未知边的长度．解：y＝eq \r(102－62)＝eq \r(64)＝8.(二)自学反馈1．在△ABC中，∠C＝90°.若a＝6，c＝10，则b＝8．2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，木板的长为2.5m.活动1　小组讨论例1　你能利用图中的正方形和直角三角形验证勾股定理吗？用割补的方法验证勾股定理：(画图说明理由)方法一：方法二：例2　我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶．他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400 m，10 s后，汽车与他相距500 m，你能帮小王算出敌方汽车的速度吗？解：由勾股定理，得AB2＝BC2＋AC2，即5002＝BC2＋4002，所以BC＝300.敌方汽车10 s行驶了300 m，那么它1 h行驶的距离为300×6×60＝108 000(m)，即敌方汽车的速度为108 km/h.活动2　跟踪训练1．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则它的面积为(D)A．30 cm2 B．130 cm2C．120 cm2 D．60 cm22．直角三角形两直角边长分别为5 cm，12 cm，则斜边上的高为eq \f(60,13)cm.3．你能利用这种方法证明勾股定理吗？解：梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式得：eq \f(1,2)(a＋b)(b＋a)＝2·eq \f(1,2)ab＋eq \f(1,2)c2.化简即为a2＋b2＝c2.4．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B200 m，结果他在水中实际游了520 m，该河流的宽度为多少？解：根据图中数据，运用勾股定理求得AB＝eq \r(AC2－BC2)＝eq \r(5202－2002)＝480(m)．答：该河流的宽度为480 m.活动3　课堂小结通过本节的学习你有何收获呢？1.2　一定是直角三角形吗1．学会用勾股定理逆定理判断三角形是不是直角三角形．(重点)2．理解勾股数的概念，并准确的判断一组数是不是勾股数．(重点)3．能对直角三角形的判别条件进行一些综合运用．(难点)阅读课本P9～10，完成预习内容．(一)知识探究下列各组数是一个三角形的三边长a、b、c. 3、4、5；　　　5、12、13；　　　　6、10、12.(1)这三组数都满足a2＋b2＝c2吗？(2)分别以每组数为边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？(单位：cm)(3)请你说说三角形三边符合什么条件才是直角三角形呢？(4)请你举出几组勾股数．解：(1)前面两组满足，最后一组不满足．　(2)前面两组数构成的三角形是直角三角形，最后一组数构成的三角形不是直角三角形．　(3)满足a2＋b2＝c2才是直角三角形．　(4)比如9，40，41；7，24，25；6，8，10等．(二) 自学反馈1．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是(A)A．a＝1.5，b＝2，c＝3B．a＝7，b＝24，c＝25C．a＝6，b＝8，c＝10D．a＝3，b＝4，c＝52．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为(A)A．直角三角形　　　　B．锐角三角形C．钝角三角形 D．以上答案都不对活动1　小组讨论例1　判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形．(1)a＝15，b＝8，c＝17；　　　(2)a＝13，b＝14，c＝15.解：(1)因为152＋82＝225＋64＝289，172＝289，152＋82＝172，所以这个三角形是直角三角形．(2)因为132＋142＝169＋196＝365，152＝225，132＋142≠152，所以这个三角形不是直角三角形．例2　一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示，这个零件符合要求吗？图1　　　　　　　　　　图2解：在△ABD中，AB2＋AD2＝9＋16＝25＝BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角．在△BCD中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角．因此，这个零件符合要求．活动2　跟踪训练1．如果三条线段长a、b、c满足a2＝c2－b2，那么这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？解：是．因为a2＝c2－b2，所以a2＋b2＝c2，由勾股定理的逆定理判断是直角三角形．2．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是(C)A．5，6，7 B．10，8，4C．7，25，24 D．9，17，153．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么a、b、c为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？解：对．因为a2＋b2＝(2m)2＋(m2－1)2＝4m2＋m4－2m2＋1＝m4＋2m2＋1＝(m2＋1)2，而c2＝(m2＋1)2，所以a2＋b2＝c2，即a、b、c是勾股数．m＝2时，勾股数为4、3、5；m＝3时，勾股数为6、8、10；m＝4时，勾股数为8、15、17.4．如图，AB＝3，CB＝4，∠ABC＝90°，CD＝13，AD＝12.求该图形的面积．解：连接AC.因为在Rt△ACB中，AB＝3，CB＝4，所以AC＝eq \r(32＋42)＝5.在△ACD中，因为AC2＋AD2＝52＋122＝132＝DC2，所以△ADC为直角三角形．所以该图形的面积为S△ADC－S△ACB＝eq \f(1,2)×5×12－eq \f(1,2)×3×4＝24.活动3　课堂小结1．勾股定理的逆定理．2．互逆命题．3．互逆定理．4．勾股数．5．勾股定理的应用：(1)判断三角形的形状；(2)用于求角的度数；(3)用于求边长；(4)用于求面积；(5)用于证垂直.1.3　勾股定理的应用1．学会用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题．(重点)2．在实际问题中构造直角三角形，提高建模能力，进一步深化对构造法和代数计算法的理解．阅读课本P13～14，完成预习内容．(一)知识探究如图，在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？容易得出四种方案：情形(1)　　　情形(2)　　　　情形(3)　 　　情形(4)易算出：情形(1)中A→B的路线长为：AA′＋d，情形(2)中A→B的路线长为：AA′＋eq \f(πd,2).所以情形(1)的路线比情形(2)要短．在情形(3)和(4)的比较中出现困难，可用剪刀沿母线AA′剪开圆柱得到矩形，情形(3)A→B是折线，而情形(4)是线段，故根据两点之间线段最短可判断(4)较短，最后通过计算比较(1)和(4)即可．(1)中A→B的路线长为：AA′＋d.(2)中A→B的路线长为：AA′＋A′B＞AB.(3)中A→B的路线长为：AO＋OB＞AB.(4)中A→B的路线长为：AB.得出结论：利用展开图中两点之间线段最短解决问题．沿母线剪开圆柱体，具体观察．接下来怎样计算AB?解：在Rt△AA′B中，利用勾股定理可得AB2＝AA′2＋A′B2，若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，π取3，则AB2＝122＋(3×3)2，所以AB＝15.(二) 自学反馈一根垂直于地面的电线杆AC＝16 m，因特殊情况，在点B处折断，顶端C落在地面上的C′处，测得A C′的长是8 m，求底端A到折断点B的长．解：设电线杆底端A到折断点B的长为x m，则斜边为长(16－x)m，根据勾股定理，得x2＋82＝(16－x)2.解得x＝6.故底端A到折断点B的长为6 m.活动1　小组讨论例1　李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺．(1)你能替他想办法完成任务吗？(2)李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？解：(1)能．(2)因为AD2＋AB2＝302＋402＝2 500，BD2＝2 500，所以AD2＋AB2＝BD2.所以AD和AB垂直．例2　如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长．已知滑梯的高CE＝3 m，CD＝1 m，试求滑道AC的长．解：设滑道AC的长为x m，则AB的长为x m，AE的长为(x－1)m.在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，由勾股定理得AE2＋CE2＝AC2，即(x－1)2＋32＝x2，解得x＝5.故滑道AC的长度为5 m.活动2　跟踪训练1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h的速度向正东行走，1小时后乙出发，他以5 km/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？解：如图，已知A是甲、乙的出发点，10：00甲到达B点，乙到达C点．则AB＝2×6＝12(km)，AC＝1×5＝5(km)．在Rt△ABC中，BC2＝AC2＋AB2＝52＋122＝169＝132.所以BC＝13 km.故甲、乙两人相距13 km.2．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．解：利用展开图中两点之间线段最短可知，AB2＝152＋202＝625＝252，所以蚂蚁走的最近距离为25.3．有一个高为1.5 m，半径是1 m的圆柱形油桶，在靠近桶边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒的长在什么范围内？解：设伸入油桶中的长度为x m.则伸入长度最长时：x2＝1.52＋22.x＝2.5.所以这根铁棒最长是2.5＋0.5＝3(m)．伸入长度最短时：x＝1.5.所以这根铁棒最短是1.5＋0.5＝2(m)．答：这根铁棒的长应在2～3 m之间．活动3　课堂小结你会应用勾股定理解决问题了吗？A的面积(单位面积)B的面积(单位面积)C的面积(单位面积)左图4913右图16925