2027年浙江省嘉兴市高考考前模拟数学试题（含答案解析）

这是一份2027年浙江省嘉兴市高考考前模拟数学试题（含答案解析），共34页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知为非零向量，“”为“”的，若某几何体的三视图等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设双曲线的右顶点为，右焦点为，过点作平行的一条渐近线的直线与交于点，则的面积为（ ）
A．B．C．5D．6
2．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若，且的三边长，，成等差数列，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数（其中，，）的图象关于点成中心对称，且与点相邻的一个最低点为，则对于下列判断：
①直线是函数图象的一条对称轴；
②点是函数的一个对称中心；
③函数与的图象的所有交点的横坐标之和为.
其中正确的判断是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
4．已知为非零向量，“”为“”的（ ）
A．充分不必要条件B．充分必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
5．设为自然对数的底数，函数，若，则( )
A．B．C．D．
6．已知平面向量满足与的夹角为，且，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线的一条渐近线经过圆的圆心，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
8．若某几何体的三视图（单位:cm）如图所示，则此几何体的体积是（ ）
A．36 cm3B．48 cm3C．60 cm3D．72 cm3
9．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心（，）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg
10．已知，函数在区间上恰有个极值点，则正实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
11．的二项展开式中，的系数是（ ）
A．70B．-70C．28D．-28
12．复数（ ）
A．B．C．0D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，则的值为 ____
14．已知函数为偶函数，则_____.
15．已知直线被圆截得的弦长为2，则的值为__
16．某部门全部员工参加一项社会公益活动，按年龄分为三组，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该部门员工总人数为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分（满分：分）数据，统计结果如下表所示．
（1）已知此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求；
（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.
（ⅰ）得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；
（ⅱ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.
现市民甲要参加此次问卷调查，记为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列及数学期望．
附：，若，则，，.
18．（12分）已知数列的前n项和，是等差数列，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令.求数列的前n项和.
19．（12分）如图，四棱锥中，平面，，，.
（Ｉ）证明：；
（Ⅱ）若是中点，与平面所成的角的正弦值为，求的长.
20．（12分）已知x，y，z均为正数．
（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；
（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．
21．（12分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占，统计成绩后得到如下列联表：
（1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；
（2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是，求的分布列（概率用组合数算式表示）；
②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.
（下面的临界值表供参考）
（参考公式其中）
22．（10分）（1）求曲线和曲线围成图形的面积；
（2）化简求值：．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
根据双曲线的标准方程求出右顶点、右焦点的坐标，再求出过点与的一条渐近线的平行的直线方程，通过解方程组求出点的坐标，最后利用三角形的面积公式进行求解即可.
【详解】
由双曲线的标准方程可知中：，因此右顶点的坐标为，右焦点的坐标为，双曲线的渐近线方程为：，根据双曲线和渐近线的对称性不妨设点作平行的一条渐近线的直线与交于点，所以直线的斜率为，因此直线方程为：，因此点的坐标是方程组：的解，解得方程组的解为：，即，所以的面积为：
.
故选：A
本题考查了双曲线的渐近线方程的应用，考查了两直线平行的性质，考查了数学运算能力.
2、C
【解析】
根据等差数列的性质设出，，，利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得.再利用勾股定理建立的关系式，化简后求得离心率.
【详解】
由已知，，成等差数列，设，，.
由于，据勾股定理有，即，化简得；
由椭圆定义知的周长为，有，所以，所以；
在直角中，由勾股定理，，∴离心率.
故选：C
本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题.
3、C
【解析】
分析：根据最低点，判断A=3，根据对称中心与最低点的横坐标求得周期T，再代入最低点可求得解析式为，依次判断各选项的正确与否．
详解：因为为对称中心，且最低点为，
所以A=3，且
由
所以，将带入得
，
所以
由此可得①错误，②正确，③当时，，所以与 有6个交点，设各个交点坐标依次为 ，则，所以③正确
所以选C
点睛：本题考查了根据条件求三角函数的解析式，通过求得的解析式进一步研究函数的性质，属于中档题．
4、B
【解析】
由数量积的定义可得,为实数,则由可得,根据共线的性质,可判断；再根据判断,由等价法即可判断两命题的关系.
【详解】
若成立,则,则向量与的方向相同,且,从而,所以；
若,则向量与的方向相同,且,从而,所以.
所以“”为“”的充分必要条件.
故选:B
本题考查充分条件和必要条件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、数量积的应用.
5、D
【解析】
利用与的关系，求得的值.
【详解】
依题意，
所以
故选：D
本小题主要考查函数值的计算，属于基础题.
6、D
【解析】
由已知可得，结合向量数量积的运算律，建立方程，求解即可.
【详解】
依题意得
由，得
即，解得.
故选:.
本题考查向量的数量积运算，向量垂直的应用，考查计算求解能力，属于基础题.
7、B
【解析】
求出圆心，代入渐近线方程，找到的关系，即可求解.
【详解】
解：，
一条渐近线
，
故选：B
利用的关系求双曲线的离心率，是基础题.
8、B
【解析】
试题分析：该几何体上面是长方体，下面是四棱柱；长方体的体积，四棱柱的底面是梯形，体积为，因此总的体积.
考点：三视图和几何体的体积.
9、D
【解析】
根据y与x的线性回归方程为 y=0.85x﹣85.71，则
=0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A正确；
回归直线过样本点的中心（），B正确；
该大学某女生身高增加 1cm，预测其体重约增加 0.85kg，C正确；
该大学某女生身高为 170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误．
故选D．
10、B
【解析】
先利用向量数量积和三角恒等变换求出 ，函数在区间上恰有个极值点即为三个最值点，解出，，再建立不等式求出的范围，进而求得的范围.
【详解】
解：

令，解得对称轴，，
又函数在区间恰有个极值点，只需
解得．
故选：．
本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题.
(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成或 的形式; (2)根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围.
11、A
【解析】
试题分析：由题意得，二项展开式的通项为，令，所以的系数是，故选A．
考点：二项式定理的应用．
12、C
【解析】略
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、4
【解析】
根据的正负值，代入对应的函数解析式求解即可.
【详解】
解：
.
故答案为：.
本题考查分段函数函数值的求解，是基础题.
14、
【解析】
根据偶函数的定义列方程，化简求得的值.
【详解】
由于为偶函数，所以，
即，
即，
即，
即，即，即，即，所以.
故答案为：
本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力，属于中档题.
15、1
【解析】
根据弦长为半径的两倍，得直线经过圆心，将圆心坐标代入直线方程可解得．
【详解】
解：圆的圆心为（1，1），半径，
因为直线被圆截得的弦长为2，
所以直线经过圆心（1，1），
，解得．
故答案为：1．
本题考查了直线与圆相交的性质，属基础题．
16、60
【解析】
根据样本容量及各组人数比，可求得C组中的人数；由组中甲、乙二人均被抽到的概率是可求得C组的总人数，即可由各组人数比求得总人数.
【详解】
三组人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，
则三组抽取人数分别.
设组有人，则组中甲、乙二人均被抽到的概率，
∴解得.
∴该部门员工总共有人.
故答案为：60.
本题考查了分层抽样的定义与简单应用，古典概型概率的简单应用，由各层人数求总人数的应用，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）根据题中所给的统计表，利用公式计算出平均数的值，再利用数据之间的关系将、表示为，，利用题中所给数据，以及正态分布的概率密度曲线的对称性，求出对应的概率；
（2）根据题意，高于平均数和低于平均数的概率各为，再结合得元、元的概率，分析得出话费的可能数据都有哪些，再利用公式求得对应的概率，进而得出分布列，之后利用离散型随机变量的分布列求出其数学期望.
【详解】
（1）由题意可得，
易知，，
，
；
（2）根据题意，可得出随机变量的可能取值有、、、元，
，，
，.
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，随机变量的数学期望为.
本题考查概率的计算，涉及到平均数的求法、正态分布概率的计算以及离散型随机变量分布列及其数学期望，在解题时要弄清楚随机变量所满足的分布列类型，结合相应公式计算对应事件的概率，考查计算能力，属于中等题.
18、（Ⅰ）;（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（1）先由公式求出数列的通项公式；进而列方程组求数列的首项与公差，得数列的通项公式；（2）由（1）可得，再利用“错位相减法”求数列的前项和.
试题解析：（1）由题意知当时，，
当时，，所以．
设数列的公差为，
由，即，可解得，
所以．
（2）由（1）知，又，得，，两式作差，得所以．
考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前项和.
【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.
19、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）取的中点，连接，由，，得三点共线，且，又，再利用线面垂直的判定定理证明.
（Ⅱ）设，则，，在底面中，，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得，两式相加求得，再过作，则平面，即点到平面的距离，由是中点，得到到平面的距离，然后根据与平面所成的角的正弦值为求解.
【详解】
（Ⅰ）取的中点，连接，
由，，得三点共线，
且，又，，
所以平面，
所以.
（Ⅱ）设，，，
在底面中，，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得，
两式相加得：，
所以 ，
，
过作，则平面，
即点到平面的距离，
因为是中点，所以为到平面的距离，
因为与平面所成的角的正弦值为，
即，
解得.
本题主要考查线面垂直的判定定理，线面角的应用，还考查了转化化归的思想和空间想象运算求解的能力，属于中档题.
20、（1）证明见解析；（2）最小值为1
【解析】
（1）利用基本不等式可得 , 再根据0＜xy＜1时, 即可证明|x+z|⋅|y+z|＞4xyz.
（2）由＝, 得，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3，从而求出2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.
【详解】
（1）证明：∵x，y，z均为正数，
∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z）（y+z）≥＝，
当且仅当x＝y＝z时取等号．
又∵0＜xy＜1，∴，
∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；
（2）∵＝，即．
∵，
，
，
当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，
∴，
∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz＝2xy+yz+xz≥1，
∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为1．
本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题．
21、（1）填表见解析；有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”（2）①详见解析②期望；方差
【解析】
（1）完成列联表，代入数据即可判断；
（2）利用分层抽样可得的取值，进而得到概率，列出分布列；根据分析知，计算出期望与方差.
【详解】
（1）
有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”.
（2）①由分层抽样知，需要从不足120分的学生中抽取人，
的可能取值为0，1，2，3，4，
，，
，，
所以，的分布列：
②从全校不少于120分的学生中随机抽取1人，此人每周上线时间不少于5小时的概率为，设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为，则，
故，.
本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列、数学期望与方差的计算问题，属于基础题.
22、（1）（2）
【解析】
（1）求曲线和曲线围成的图形面积，首先求出两曲线交点的横坐标0、1，然后求在区间上的定积分．
（2）首先利用二倍角公式及两角差的余弦公式计算出，
然后再整体代入可得；
【详解】
解：
（1）联立解得，，所以曲线和曲线围成的图形面积
．
（2）
∴
本题考查定积分求曲边形的面积以及三角恒等变换的应用，属于中档题.
组别
频数

赠送的随机话费/元
概率
分数不少于120分
分数不足120分
合计
线上学习时间不少于5小时
4
19
线上学习时间不足5小时
合计
45
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
分数不少于120分
分数不足120分
合计
线上学习时间不少于5小时
15
4
19
线上学习时间不足5小时
10
16
26
合计
25
20
45