浙江省宁波市2027年高考数学五模试卷（含答案解析）

这是一份浙江省宁波市2027年高考数学五模试卷（含答案解析），共34页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知直线，曲线在点处的切线方程为，已知若为纯虚数，则a的值为等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．抛物线方程为，一直线与抛物线交于两点，其弦的中点坐标为，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．设则以线段为直径的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知等比数列满足，，等差数列中，为数列的前项和，则（ ）
A．36B．72C．D．
5．已知直线：（）与抛物线：交于（坐标原点），两点，直线：与抛物线交于，两点.若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a5＝16，a3a4＝﹣32，则S8＝（ ）
A．﹣21B．﹣24C．85D．﹣85
7．已知双曲线的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
8．曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
9．已知x，y满足不等式，且目标函数z＝9x+6y最大值的变化范围[20，22]，则t的取值范围（ ）
A．[2，4]B．[4，6]C．[5，8]D．[6，7]
10．已知若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则a的值为 （ ）
A．B．C．D．
11．如图，中，点D在BC上，，将沿AD旋转得到三棱锥，分别记，与平面ADC所成角为，，则，的大小关系是（ ）
A．B．
C．，两种情况都存在D．存在某一位置使得
12．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取得最大值时，点恰好在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在二项式的展开式中，的系数为________.
14．从集合中随机取一个元素，记为，从集合中随机取一个元素，记为，则的概率为_______．
15．如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分为_______．
16．直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数．
（1）时，求不等式解集；
（2）若的解集包含于，求a的取值范围．
18．（12分）已知椭圆的上顶点为，圆与轴的正半轴交于点，与有且仅有两个交点且都在轴上，（为坐标原点）.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点，不过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与直线的斜率互为相反数.
19．（12分）已知中，角所对边的长分别为，且
（1）求角的大小；
（2）求的值.
20．（12分）在中，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，，求的值．
21．（12分）如图，⊙的直径的延长线与弦的延长线相交于点，为⊙上一点，，交于点．求证：~．
22．（10分）已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题．
【详解】
解：.
故选：A
本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．
2、A
【解析】
设，，利用点差法得到，所以直线的斜率为2，又过点，再利用点斜式即可得到直线的方程.
【详解】
解：设，∴，
又，两式相减得：，
∴，
∴，
∴直线的斜率为2，又∴过点，
∴直线的方程为：，即，
故选：A.
本题考查直线与抛物线相交的中点弦问题，解题方法是“点差法”，即设出弦的两端点坐标，代入抛物线方程相减后可把弦所在直线斜率与中点坐标建立关系．
3、A
【解析】
计算的中点坐标为，圆半径为，得到圆方程.
【详解】
的中点坐标为：，圆半径为，
圆方程为.
故选：.
本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.
4、A
【解析】
根据是与的等比中项，可求得，再利用等差数列求和公式即可得到.
【详解】
等比数列满足，，所以，又，所以，由等差数列的性质可得.
故选：A
本题主要考查的是等比数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，是中档题.
5、D
【解析】
设，，联立直线与抛物线方程，消去、列出韦达定理，再由直线与抛物线的交点求出点坐标，最后根据，得到方程，即可求出参数的值；
【详解】
解：设，，由，得，
∵，解得或，∴，.
又由，得，∴或，∴，
∵，
∴，
又∵，
∴代入解得.
故选：D
本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题.
6、D
【解析】
由等比数列的性质求得a1q4＝16，a12q5＝﹣32，通过解该方程求得它们的值，求首项和公比，根据等比数列的前n项和公式解答即可.
【详解】
设等比数列{an}的公比为q，
∵a5＝16，a3a4＝﹣32，
∴a1q4＝16，a12q5＝﹣32，
∴q＝﹣2，则，
则，
故选：D.
本题主要考查等比数列的前n项和，根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键，属于基础题.
7、B
【解析】
试题分析：由题意得，，所以，，所求双曲线方程为．
考点：双曲线方程.
8、A
【解析】
将点代入解析式确定参数值，结合导数的几何意义求得切线斜率，即可由点斜式求的切线方程.
【详解】
曲线，即，
当时，代入可得，所以切点坐标为，
求得导函数可得，
由导数几何意义可知，
由点斜式可得切线方程为，即，
故选：A.
本题考查了导数的几何意义，在曲线上一点的切线方程求法，属于基础题.
9、B
【解析】
作出可行域，对t进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解.
【详解】
画出不等式组所表示的可行域如图△AOB
当t≤2时，可行域即为如图中的△OAM，此时目标函数z＝9x+6y 在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合题意
t＞2时可知目标函数Z＝9x+6y在的交点（）处取得最大值，此时Z＝t+16
由题意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6
故选：B．
此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.
10、A
【解析】
根据复数的乘法运算法则化简可得，根据纯虚数的概念可得结果.
【详解】
由题可知原式为，该复数为纯虚数，
所以.
故选：A
本题考查复数的运算和复数的分类，属基础题.
11、A
【解析】
根据题意作出垂线段，表示出所要求得、角，分别表示出其正弦值进行比较大小，从而判断出角的大小，即可得答案．
【详解】
由题可得过点作交于点，过作的垂线，垂足为，则易得，．
设，则有，，，
可得，．
，
，；
，；
，
，，
．
综上可得，．
故选：．
本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
12、B
【解析】
设，利用两点间的距离公式求出的表达式，结合基本不等式的性质求出的最大值时的点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可.
【详解】
设，因为是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，
所以，
则
，
当时，，
当时，，
当且仅当时取等号，此时，
，
点在以为焦点的椭圆上，，
由椭圆的定义得，
所以椭圆的离心率，故选B.
本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、60
【解析】
直接利用二项式定理计算得到答案.
【详解】
二项式的展开式通项为：，
取，则的系数为.
故答案为：.
本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.
14、
【解析】
先求出随机抽取a,b的所有事件数，再求出满足的事件数，根据古典概型公式求出结果.
【详解】
解：从集合中随机取一个元素，记为，从集合中随机取一个元素，记为，
则的事件数为9个，即为，，，
其中满足的有，，，共有8个，
故的概率为.
本题考查了古典概型的计算，解题的关键是准确列举出所有事件数.
15、1
【解析】
写出茎叶图对应的所有的数，去掉最高分，最低分，再求平均分．
【详解】
解：所有的数为：77，78，82，84，84，86，88，93，94，共9个数，
去掉最高分，最低分，剩下78，82，84，84，86，88，93，共7个数，
平均分为，
故答案为1．
本题考查茎叶图及平均数的计算，属于基础题．
16、
【解析】
因为sin α∈[－1，1]，
所以－sin α∈[－1，1]，
所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是．
答案：
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
(1) 代入可得对分类讨论即可得不等式的解集;
(2)根据不等式在上恒成立去绝对值化简可得再去绝对值即可得关于 的不等式组解不等式组即可求得的取值范围
【详解】
（1）当时，不等式可化为，
①当时，不等式为，解得；
②当时，不等式为，无解；
③当时，不等式为，解得，
综上，原不等式的解集为．
（2）因为的解集包含于，
则不等式可化为，
即．解得，
由题意知，解得，
所以实数a的取值范围是．
本题考查了绝对值不等式的解法分类讨论解绝对值不等式的应用,含参数不等式的解法.难度一般.
18、（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）根据条件可得，进而得到，即可得到椭圆方程；
（2）设直线的方程为，联立，分别表示出直线和直线斜率，相加利用根与系数关系即可得到.
【详解】
解：（1）圆与有且仅有两个交点且都在轴上，所以，
又，，解得，故椭圆的方程为；
（2）设直线的方程为，联立，整理可得，
则，解得，
设点，，
则，，
所以
，
故直线与直线的斜率互为相反数.
本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质，关键是求出椭圆的标准方程，属于中档题．
19、（1）；（2）.
【解析】
（1）正弦定理的边角转换，以及两角和的正弦公式展开，特殊角的余弦值即可求出答案；
（2）构造齐次式，利用正弦定理的边角转换，得到，结合余弦定理 得到
【详解】
解：（1）由已知，得
又∵
∴
∴,因为
得
∵
∴.
（2）∵
又由余弦定理，得
∴
1.考查学生对正余弦定理的综合应用；2.能处理基本的边角转换问题；3.能利用特殊的三角函数值推特殊角，属于中档题
20、 (1) ;(2) .
【解析】
试题分析：（1）由正弦定理得到．消去公因式得到所以 ．
进而得到角A；（2）结合三角形的面积公式，和余弦定理得到，联立两式得到．
解析：
（I）因为，所以，
由正弦定理，
得．
又因为 ，，
所以 ．
又因为 ，
所以 ．
（II）由，得，
由余弦定理，
得，
即，
因为，
解得 .
因为 ，
所以 .
21、证明见解析
【解析】
根据相似三角形的判定定理,已知两个三角形有公共角,题中未给出线段比例关系,故可根据判定定理一需找到另外一组相等角,结合平面几何的知识证得即可.
【详解】
证明：∵，所以，
又因为，
所以．
在与中，，，
故~.
本题考查平面几何中同弧所对的圆心角与圆周角的关系、相似三角形的判定定理;考查逻辑推理能力和数形结合思想;分析图形，找出角与角之间的关系是证明本题的关键;属于基础题.
22、≤x≤
【解析】
由题知，|x－1|＋|x－2|≤恒成立，故|x－1|＋|x－2|不大于的最小值．
∵|a＋b|＋|a－b|≥|a＋b＋a－b|＝2|a|，当且仅当(a＋b)·(a－b)≥0时取等号，
∴的最小值等于2.
∴x的范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解，解不等式得≤x≤.