数学循环小数教学设计

这是一份数学循环小数教学设计教案主要包含了学习目标，评价任务，学习过程，检测与作业，评价与反思等内容，欢迎下载使用。
在本课时之前，学生已经学习了小数除法的意义、小数除法的计算及商的近似值，但之前涉及两数相除的商均为整数或有限小数，对循环小数还较为陌生，部分学生会算，但是在简便表示上也存在一定困难。同时，五年级的学生具备一定的发现问题、提出问题、解决问题的能力，较易掌握循环小数的表达方式，但对循环小数的成因、算法的优化、小数的分类还存在一定困难。
因此本节课中，笔者想合理地从“除得尽”和“除不尽”的对比中切入展开教学，通过对比理解循环小数的意义；从透过“除不尽”现象看“除不尽”本质的探究中，加深对循环小数概念的理解；最后从“两数相除的商有哪些情况”进行对比分析，在数系的知识结构中再认识循环小数。
基于以上教材与学情分析，笔者进行了如下关键问题的设计：
问题1：为什么会除不尽？
问题2：28÷18和78.6÷11这两道算式有什么相同点和不同点？
问题3：后面两题的商应该怎么表示？它是什么数？
问题4：横式上已经知道怎么表达了，那竖式呢？除到哪里为止？
问题5：你认为两数相除的商，会有哪些情况？
问题6：两数相除的商，可能是无限不循环小数吗？
【学习目标】
1.通过求商，理解产生循环小数的原因，认识循环小数，正确使用循环小数表示商；
2.认识循环节，能正确进行循环小数的简写；
3.初步认识有限小数和无限小数，扩展数域；
4.通过观察、猜想、对比、验证等活动，培养发现问题你、提出问题和解决问题的能力。
教学重点：认识循环小数，正确使用循环小数表示商。
教学难点：理解产生循环小数的原因。
【评价任务】
完成任务一。（检测目标1、4）
完成任务二。（检测目标1、4）
完成任务三。（检测目标1、2、4）
完成任务四。（检测目标3、4）
完成任务五。（检测目标1、2、3、4）
【学习过程】
任务一：计算发现问题，探究循环小数背后成因
展示学生作品：
提问：这位同学的计算结果对吗？
预设：他的余数比除数大了，但是我们之前学的小数除法都没有余数的。
修改后，追问：观察竖式，你有什么问题？
预设1：为什么第（1）（2）题除得尽，第（3）（4）题除不尽？
预设2：后面两题的商应该怎么表示？
预设3：后面两题怎样才算写完？
预设4：后面两题的商是什么数？
……
追问：那么多问题，你觉得哪个问题最关键？
教师引导学生展开交流，指出：除不尽是我们发现的现象，我们还要知道为什么。由此确定本节课先要研究的关键问题：为什么会除不尽？
为了方便表达，我们先重点关注28÷18这道算式。
展示学生作品：
预设1（图①）：商中的5不断重复出现，所以28÷18除不尽。
预设2（图②）：竖式中100和90不断重复出现。
预设3（图③）：竖式中的余数10不断重复出现，所以28÷18除不尽。
提问：这三位同学说得好像都很有道理，那到底谁是因，谁是果呢？
学生在问题驱动下，通过冲突、辨析，初步感悟除不尽的原因在于余数，商是它表达出的结果，100和90是余数10添0后继续除的过程。
任务二：对比引发问题，掌握循环小数概念内涵
余数和商之间还有哪些探索的空间呢？我们再用对比的眼光来看看28÷18和78.6÷11这两道题的计算过程，你又有哪些新的疑惑？
预设1：这两道算式有什么相同点和不同点？
预设2：为什么78.6÷11的商中有两个数字不断重复出现？
预设3：为什么7.14545……中的1只出现一次？
预设5：7.14545……可不可以看成5454循环？
……
追问：那么多问题，你觉得哪个问题最关键？
预设：第一个，因为找到两道题的相同点和不同点，并发现背后的原因，其它问题自然迎刃而解。
为了方便观察讨论，老师把这两道题的计算过程呈现到课件中。
预设1：这两道算式的商中都有不断重复出现的数字，但是28÷18的商只有一个“5”不断重复出现，但是78.6÷11的商有2个数“45”不断重复出现。
提问：经过前面的探索，你能上来圈出产生这一现象的原因吗？
追问：商出现循环的数字个数还可能是多少？
预设2：28÷18的商在小数部分的第一位就开始出现循环，28÷18的商在小数部分的第二位才开始出现循环。
追问：这一不同点背后的原因对应的是“为什么7.14545……中的1只出现一次？”“7.14545……可不可以看成5454循环？”这两个问题，谁能根据竖式说说你的理由？
由此，学生们在探究过程中逐渐体会到：
1. 余数可以是1个数不断重复，也可以是两个数看成一组不断重复，还联想到三个、四个甚至更多的数作为一组不断重复，这也导致了商中有哪些数字重复出现。
2.商不一定是从第一位开始循环的，这取决于余数从哪一位开始重复。并且余数重复出现的顺序也决定了商重复出现的顺序。
任务三：顺应学习需求，学习循环小数表达方式
透过现象看到本质后，学生自然而然产生了结果表达的需求。由此引导学生带着课刚开始提出的两个问题：“后面两题的商应该怎么表示？”“后面两题的商是什么数？”自学课本内容。
通过带着问题自学，一方面利用问题搭建学生学习的脚手架，促使学生理解循环小数的概念并掌握其表达方式；另一方面，培养学生的自学意识，掌握自学方法。
横式上已经知道怎么表达了，那竖式呢？除到哪里为止？
预设1：我更喜欢第①种，因为余数中出现两次45循环才能说明这是个循环小数。
预设2：我更喜欢第②种，因为余数部分第二次出现5就可以看出后面会出现循环了，不用继续往下除了。
在算法优化的辩论中，结论并不是最重要的，重要的是学生面对事物的问题意识及研究中的思考，这些都是学生可持续学习的动力。
任务四：讨论两数相除商的情况，拓宽数域范围
看一看我们今天课上的四道除法题，再回忆之前学习的经历，你认为两数相除的商，会有哪些情况？
预设：①整数；②有限小数；③循环小数。
引导学生从两数相除的商进行梳理：
对于这一结论，你有什么疑问吗？
预设：两数相除的商除了以上情况，可能会出现无限不循环小数吗？
预设1：1.5÷7的商是无限不循环小数，因为余数没有出现重复的情况。
预设2：即使余数没有出现重复的情况，如果最后除完，就是有限小数。
预设3：一个数除以7的余数只可能为0、1、2、3、4、5、6这7种情况，如果余数不为0，余数已经出现1、2、3、4、6这5种情况，即使再出现余数为5的情况，继续往后除，其中一个余数必定会再次出现，添0后继续除，必然会导致商的循环。
出示下图更为完整的竖式，提问：谁听懂了刚才同学的说法，能再结合补充的竖式说一说吗？
追问：你现在能判断两数相除的商，是否存在无限不循环小数吗？说一说你的理由。
预设：和1.5÷7一样，不管被除数和除数是怎样的数，都要符合“余数一定比除数小”这一规则，因此余数个数是有限的。所以，要么最后余数为0，商为有限小数（或整数）；要么余数出现重复，商为无限循环小数。
任务五：回顾学习过程，问题引领学习背后之思
提问：通过今天这堂课，在知识与方法上，你有什么收获？
提问：你现在能从数的分类来梳理下小数吗？
通过上一问题，有效归纳梳理循环小数的学习内容外，还将目光聚焦到以问题为主线的课堂学习上。学生在不断的发现问题，提出问题，解决问题，再质疑追问，从而加深对“循环小数”这一概念的理解。
提问：学习了本节课的内容，你还有什么样的疑惑？
【检测与作业】
1．猎豹的速度可以达到100千米/时。照这样的速度，它平均每分钟能跑多少千米？（结果保留两位小数）
2．给下面各数加上循环点，使式子成立。
2.374 ＜ 2.374 ＜ 2.374
3．计算1÷2、1÷3、1÷4、1÷5、1÷6、1÷7这六个算式。
（1）试着在数轴上标出这六个算式的商。
（2）是否两数相除的商（即整数、有限小数、无限循环小数）都能在数轴上找到对应的点？说一说你的思考。
（3）阅读以下数学材料，完成下列问题。
古希腊的数学家毕达哥拉斯说过：“数统治着宇宙”。他所创立的毕达哥拉斯学派有一个非常有名的观点叫“万物皆数”。他们所说的“数”，简单来说指两个数的商。他们觉得数轴上的点一定可以和两个数的商一一对应。但是他们学派的希帕索斯在研究正方形的对角线时，竟然发现边长为1的正方形的对角线的长度不能写成两个数的商（如下图），或者说不能用循环小数表示。因为他的发现动摇了“万物皆数”的理论，引发了第一次数学危机，希帕索斯被残忍“沉海”，他付出了生命的代价！但随着时间的推移，人们发现希帕索斯发现的“数”就是后来的无限不循环小数，又称无理数。这样，加上无限不循环小数之后，这所有的数就和数轴上的点一一对应了！
①判断：
数轴上的点一定和两数相除的商一一对应。（ ）
②请用韦恩图厘清“小数”“有限小数”“无限小数”“无限循环小数”“无限不循环小数”之间的关系。
【评价与反思】
一、适宜取舍，直观感知除不尽现象
教材例7以实例引入循环小数，意在引导学生感受循环小数在生活中真实存在；例8呈现两道商为循环小数的计算题，旨在学生从具体算式中抽象循环小数的概念。
本课的教学任务较重，既要探究循环小数成因，抽象概念，又要掌握它的表达，还要利用两数相除商的情况拓展数域。
观察例7算式400÷75=5.333……和例8算式28÷18=1.555……可以发现，这两道题商均为纯循环小数，且循环节均为一个数。
因此为合理利用课堂时间，为后续两数相除商的情况作铺垫，我结合了北师大版和西南师大版教材，舍弃了例7，增加了75÷15、5.55÷2.5两题与例8一起呈现。这样处理可将原来的两个例题囊括进一个大任务中，直观呈现“除得尽”和“除不尽”这两大类情况。同时，在“检测与作业”中增加生活实例，弥补课上不足。
二、善于提问，经历概念构建过程
概念的形成和建立是概念教学的核心，为了使学生准确地理解概念，认识概念的内涵和外延，抓住概念的本质。教学过程中，教师在呈现5个教学任务时，都会慢下来等待学生发现问题、提出问题，再通过追问“你觉得哪个问题最关键？”，引导学生抓住6个关键问题，层层递进，理解循环小数概念的本质：不仅知道“是什么”，而且知道“为什么”。
三、概念同化，逐步构建知识网络
学生先通过“你认为两数相除的商，会有哪些情况？”这一关键问题，将循环小数与之前的有限小数、整数概念联系起来，逐步完善有理数系的知识框架。紧接着通过“两数相除的商，可能是无限不循环小数吗？”再次深刻循环小数内涵，同时顺时提出“无限不循环小数”这一概念。最后通过“检测与作业中”的题3数学阅读材料，借用数轴，引导学生初步感知正实数体系的存在。
另外，学生在小学阶段的学习中，其参与运算的数域还局限于有理数范围（包含整数和分数，其中有限小数和无限循环小数也属于分数），因此，“两数相除的商”这里的“两数”特指有理数范围。