2026年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题试卷（真题+答案）

这是一份2026年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题试卷（真题+答案），共6页。
全卷共三道大题，总分 120 分．
使用答题卡的考生，请将答案填写在答题卡的指定位置．
选择题（每小题只有一个正确答案，每小题 3 分，满分 30 分）
月球表面昼夜温差非常大，白天平均温度零上，夜间平均温度零下．若将零上记作 ，则零下可记作（）
B. C. D.
运用科学的体育与健康知识指导体育运动和生活实践，才能形成终身保持健康的能力．下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（）
A.B.C.D.
下列计算正确的是（）
B.
C. D.
如图，一块含 角的直角三角板的两个顶点分别在直线 和 上，若直线
的
，
，则
度数为（）
A. B. C. D.
如图是由 7 个完全相同的小正方体搭成的立体图形，它的俯视图是（）
A.B.C.D.
如果关于的分式方程的解为正数，那么实数 的取值范围是（）
且 B. 且
C. D. 且
将分别标有“热爱”和“奔赴”的两个小球放在一个不透明的口袋中，小球除标记的词语外完全相
同．第一次随机摸出一个小球，记录结果后放回口袋，第二次再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的概率为（）
B. C. D.
5 月 18 日是国际博物馆日．某博物馆推出甲、乙两种文创纪念品，甲种文创纪念品每个 3 元，乙种文创纪念品每个 5 元．某游客欲将 60 元钱全部用于购买甲、乙两种文创纪念品（两种都要买），不同的购买方案有（ ）
A. 3 种B. 4 种C. 5 种D. 6 种
如图，在 中， ， ， ，动点从点 出发沿边 向终点匀速运 动，同时动点从点 出发，沿边 向终点 匀速运动，两动点运动到各自终点停止运动．若
， 两点每秒运动的路程相同，点运动的路程为 ， 的面积为，则下列图象能反映
与 之间函数关系的是（ ）
A.B.C.D.
如图所示的是二次函数（ ， ，为常数， ）的部分图象，其顶点坐标为
，与 轴交于点 ，与轴正半轴交于点 （ ）．下列结论：① ；② ；③；④若点， （ ）都在抛物线上，
则 ；⑤若 ，则关于的方程 的两根之和为．其中正确结论的个数是
（）
A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个
填空题（每小题 3 分，满分 18 分）
我国人工智能高速发展，实现了综合实力整体性、系统性跃升，智能算力规模已超过 159000 亿亿次/秒．将
159000 用科学记数法表示为．
若圆锥的底面半径为 4，侧面展开图的圆心角为 ，则其母线长为．
如图，在 中， ，以点 为圆心，适当长为半径作弧，交 于点，交
于点 ，分别以 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线 交 于点．若 ， ，则 的面积为．
如图，平面直角坐标系中，矩形 的边 在 轴正半轴上， 是边 的中点，
，点 在边上，，反比例函数（）的图象经过点， ．若
，则的值为．
菱形 中，点是边 的中点， 交直线于点 ．若， ，则菱形 的边长为．
数学活动课上，同学们把底角为 的等腰三角形称为“友好三角形”，并利用“友好三角形”进行规律探究．如图，在平面直角坐标系中，点 在经过原点的直线上，，点在轴正半轴上， 是以 为底边的“友好三角形”，以 为底边向右作“友好三角形 ”；过点作 的平行线，分别交直线和轴正半轴于点 ， ，以 为底边向右作“友好三角形”； 过点 作 的平行线，分别交直线和轴正半轴于点 ，，以 为底边向右作“友好三角形 ”…按此规律，点 的纵坐标为．
解答题（本题共 8 道大题，共 72 分）
计算、分解因式：
计算：；
分解因式：．
求不等式组的所有整数解．
解方程： ．
2026 年是长征胜利 90 周年．某校开展了以“赓续血脉，永恒记忆”为主题的长征知识竞赛，满分为 100
分，学生的成绩均高于 60 分且为整数．现随机抽取了部分学生的成绩作为样本，将抽取的学生成绩（分）
， ：
， ：
， ：
按，，，四个等级（ ：）
进行了整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
本次调查抽取了名学生的成绩；
扇形统计图中，“ 等级”对应的扇形圆心角为度；
请直接补全条形统计图；
若参加本次竞赛的学生有 2700 人，请估计本次竞赛中获得“等级”的学生约有多少人．
如 图 ， 四 边 形 内接于 ， 为 的 直 径 ， 点 在 的 延 长 线 上 ， 且 ．
求证： 是 的切线；
若 ， ， ，求阴影部分的面积．
2026 年中国人形机器人打破了人类半马纪录，实现了从“蹒跚学步”到“风驰电掣”的迭代升级．某公司对人形机器人甲、乙进行奔跑测试，在一条笔直的测试路上有 ， 两地，机器人甲、乙分别从， 两地同时出发，机器人甲以 360 米/分的速度沿测试路匀速跑向 地，到达 地后，立即以 米/分的速度原路
匀速返回；机器人乙以 240 米/分的速度沿测试路匀速跑向地，到达地后停止运动，机器人乙到达地一段时间后，机器人甲也到达 地并停止运动．机器人甲、乙之间的距离（米）与机器人甲行进的时间
（分）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
， 两地之间的距离为米，图中 的值为；
求线段 所在直线的函数解析式；
机器人甲行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距 600 米？（直接写出答案即可）
综合与实践
综合实践课上，同学们以矩形的旋转为主题开展探究活动．
，
，
，
已知有公共顶点的矩形 和矩形．先将矩形的边
， 分别落在矩形 的边 ， 上，再将矩形绕点 顺时针旋转，旋转角为 ，连
接 ， ．
【问题初探】如图，当 ，时， 与的数量关系是，与 的数量关系是；
【类比推理】如图 ，当，时，试探究 与 的数量关系，请写出结论，并说明理由；
【深入探究】如图 ，当，时，点 为边的中点，直线交线段于点 ，若，则 的长为；
【拓展延伸】如图 ，当，时，过点作，垂足为，在线段上
取点，使，连接 ．若的面积为 ，则 的取值范围是．
综合与探究
如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点 ， ，与轴交于点 ，作直线 ，，点为第一象限内抛物线上的动点，过点作 轴，垂足为，
交直线于点．
求抛物线的解析式；
求的最大值及最大时点的坐标；
如图 2，若将抛物线 沿射线 方向平移 个单位长度，得到新抛物线，点为新
抛物线上一点，且，则点的坐标为；
当最大时，作直线 ，若点 为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转 得到 ，取 的中点 ，过点 作 ，垂足为，连接， ，则 的最小值为．
二〇二六年齐齐哈尔市初中学业水平考试数学试卷
考生注意：
考试时间 120 分钟．
全卷共三道大题，总分 120 分．
使用答题卡的考生，请将答案填写在答题卡的指定位置．
选择题（每小题只有一个正确答案，每小题 3 分，满分 30 分）
【分析】利用正负数表示一对相反意义的量，根据题干对零上温度的记法，即可推出零下温度的记法．
【详解】∵题干规定零上温度记作正数，
∴与零上意义相反的零下温度记作负数，
∴零下可记作 ．
2. 运用科学的体育与健康知识指导体育运动和生活实践，才能形成终身保持健康的能力．下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，C，D 选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
B 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
1. 月球表面昼夜温差非常大，白天平均温度零上
，则零下可记作（）
，夜间平均温度零下
．若将零上记作
A. B.
【答案】B
C.
D.
【解析】
【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法、幂的乘方运算法则计算各选项，即可判断结果．
【详解】解：选项A： ，A 计算正确；选项B：，B 计算错误；
选项C： ，C 计算错误；
选项D：，D 计算错误．
3. 下列计算正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
如图，一块含 角的直角三角板的两个顶点分别在直线 和 上，若直线
的
，
，则
度数为（）
， ，
∴，
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得出
，再由平行线的性质得出
，结
合图形即可求解
【详解】解：如图所示：
∵ ，
∴，
∵ ，
∴
如图是由 7 个完全相同的小正方体搭成的立体图形，它的俯视图是（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【详解】它的俯视图如图所示：
如果关于的分式方程的解为正数，那么实数 的取值范围是（）
【答案】A
【解析】
【分析】先解分式方程得到关于 的表达式，再结合解为正数、分式分母不为零两个条件，列不等式求解即可得到 的取值范围．
A.
且
B.
且
C.
D.
且
【详解】解：原方程，变形得，方程两边同乘 得：，
展开整理得： ，
∵分式方程分母不能为 0，
∴ ，即 ，解得 ，
∵方程的解是正数，∴ ，即 ，解得 ，综上，实数 的取值范围是 且 ．
将分别标有“热爱”和“奔赴”的两个小球放在一个不透明的口袋中，小球除标记的词语外完全相
同．第一次随机摸出一个小球，记录结果后放回口袋，第二次再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】列举出所有等可能的结果，找出满足条件的结果数，再根据概率公式计算得到结果．
【详解】解：∵本次试验为放回摸球，每次摸球都有 2 种等可能的结果，
∴两次摸球共有 种等可能的结果，分别是：(热爱，热爱)，(热爱，奔赴)，(奔赴，热爱)，(奔赴，奔赴)；其中两次摸出词语都为“热爱”的结果只有 1 种，
∴根据概率公式可得，所求概率为．
5 月 18 日是国际博物馆日．某博物馆推出甲、乙两种文创纪念品，甲种文创纪念品每个 3 元，乙种文创纪念品每个 5 元．某游客欲将 60 元钱全部用于购买甲、乙两种文创纪念品（两种都要买），不同的购买方案有（ ）
A. 3 种B. 4 种C. 5 种D. 6 种
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意列出方程，再结合正整数和两种都买的条件，找出所有符合要求的购买方案.
【详解】解：设购买甲种文创个，乙种文创 个， 均为正整数，根据题意得，
整理得，
∵ 是正整数，
∴ 为整数，
∵ 与互质，
∴ 必须是 的倍数，
∵两种纪念品都要买，
∴ ， ，
∴，
解得 ，
∴符合题意的整数 的值为 ，共 3 种，故有 3 种不同的购买方案.
如图，在 中， ， ， ，动点从点 出发沿边 向终点匀速运 动，同时动点从点 出发，沿边 向终点 匀速运动，两动点运动到各自终点停止运动．若
， 两点每秒运动的路程相同，点运动的路程为 ， 的面积为，则下列图象能反映
与 之间函数关系的是（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理求出 的长，分三段讨论： 时， 在 上， 在 上；
时， 在上， 在 上； 时， 在上， 到达 点停止．分别求出 与的函数关
系式，结合图象即可判断．
过点作 于点，
则
，
，
此时图象为开口向上的抛物线，当 时，；
②当时，点在上，点在 上，过点作 于点
，，
∴，
，
此时图象为开口向下的抛物线，当时， ；当时，；
③当 时，点在上，点到达 点停止运动，
此时 （即变为），，
【详解】解：在 中，
，
，
，
，
，
．
分三种情况讨论：
①当 时，点在 上，点
在
上，
，
，
以为底， 为高，
，此时图象为线段， 当 时， ；
当 时， ．
综上所述，图象D 符合题意．
如图所示的是二次函数（ ， ，为常数， ）的部分图象，其顶点坐标为
，与 轴交于点 ，与轴正半轴交于点 （ ）．下列结论：① ；② ；③；④若点， （ ）都在抛物线上，
则 ；⑤若 ，则关于的方程 的两根之和为．其中正确结论的个数是
（）
A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个
【答案】B
【解析】
【分析】先根据抛物线开口、对称轴、与 y 轴交点判定 、 、正负，判断①；利用抛物线对称性得到 ，结合 点横坐标范围判断②；由顶点纵坐标公式变形推导验证等式判断③；计算两点到对称
轴距离并作差比较远近，结合开口方向判断函数值大小得④；由 推出 ，代入抛物线得到与 、关系式，再借助韦达定理验证方程两根之和判断⑤，最后统计正确结论个数选出答案。
【详解】解：由二次函数图象可得：抛物线开口向下，
；
顶点坐标为，则对称轴为直线 ，
由对称轴公式 ，
整理得，结合 ，得
；
抛物线与 轴交于正半轴，
；
抛物线与轴正半轴交点 满足．
， ，
故①错误
根据二次函数轴对称性质：对称轴为 ，则将代入解析式：
把代入化简：
，说明直线 在交点 左侧，此位置抛物线图象在轴上方
，即故②错误
∵顶点坐标为 ，
∴
故③正确
抛物线开口向下，点到对称轴越近，函数值越大．点到对称轴 的距离：
点到对称轴 的距离：
平方作差比较距离大小：
，
，
即 ，得
点离对称轴更近， ，故④正确
由 得 ，由 得 ，
，即 ，
将 代入抛物线解析式：
，
设一元二次方程的两根为 ， 由韦达定理： ，
将 代入：
，故⑤正确
综上所述正确结论一共有 3 个．
填空题（每小题 3 分，满分 18 分）
我国人工智能高速发展，实现了综合实力整体性、系统性跃升，智能算力规模已超过 159000 亿亿次/秒．将
159000 用科学记数法表示为．
【答案】
【解析】
【详解】解：．
若圆锥的底面半径为 4，侧面展开图的圆心角为 ，则其母线长为．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查圆锥的相关计算，核心知识点为圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，根据该关系列方程即可求解母线长．
【详解】解： 圆锥底面半径为 ，
圆锥的底面周长为 ，
设圆锥的母线长为，根据题意得，整理得 ，
解得．
如图，在 中， ，以点 为圆心，适当长为半径作弧，交 于点，交
于点 ，分别以 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线 交 于点．若 ， ，则 的面积为．
【答案】7
【解析】
【分析】过点作 ，由题意可得 ，然后进行求解即可．
【详解】解：过点 作 交于点 E，如图所示，
由题可知， 平分 ，又，
∴ ，
∴．
如图，平面直角坐标系中，矩形 的边 在 轴正半轴上， 是边 的中点，
，点 在边上， ，反比例函数 （）的图象经过点，．若 ，则的值为．
【答案】
【解析】
【分析】根据矩形性质及 在 轴上，确定 、平行于轴，结合 及点、的位置关系 求出点、 的横坐标；设点的坐标为 ，点 的坐标为 ，利用反比例函数图象上点的坐标 特征建立等式，再通过解直角三角形利用正切值求出纵坐标之间的关系，联立求解即可得出的值
【详解】解： 四边形 是矩形， 在 轴正半轴上，
轴， 轴，轴，
反比例函数 的图象在第二象限，
矩形 在第二象限，
，
，
∴点 、的横坐标为 ，点 、的横坐标为 ，
是边 的中点，
点的横坐标为 ，
点 在边上，，
，
点 的横坐标为 ，
设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，其中 ，
点 的坐标为 ，
，，
在 中，，
，
，
，
点
的坐标为 ，点
的坐标为 ，
点
、 在反比例函数
的图象上，
，
，
过点
作 于点
，
，
联立，
解得，
．
菱形 中，点是边 的中点， 交直线于点 ．若， ，则菱形 的边长为．
【答案】 或 ## 或
【解析】
【分析】本题需分两种情况讨论，点 F 在线段上和点 F 在的延长线上，设菱形边长为未知数，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设菱形 的边长为 ，
∴ ， ，
点是 的中点，
， ，
，
，
为平行线 与之间的距离，即．
分两种情况讨论：
情况 1：点 在线段上，
过点作，交直线于点 ．
，，
四边形 是平行四边形，
，，
，又
， 为直角三角形，，
在 中，由勾股定理 ，得
，
．
情况 2：点 在的延长线上，
在 中，由勾股定理 ，得
，
．
数学活动课上，同学们把底角为 的等腰三角形称为“友好三角形”，并利用“友好三角形”进行规律探究．如图，在平面直角坐标系中，点 在经过原点的直线上，，点在轴正半轴上， 是以 为底边的“友好三角形”，以 为底边向右作“友好三角形 ”；过点作 的平行线，分别交直线和轴正半轴于点 ， ，以 为底边向右作“友好三角形”； 过点 作 的平行线，分别交直线和轴正半轴于点 ，，以 为底边向右作“友好三角形 ”…按此规律，点 的纵坐标为．
【答案】
【解析】
【分析】如图过点作轴于点，得出
，进而可得，据此规律求
得 ，结合题意可得 轴，求得 的纵坐标为，即可求解．
【详解】解：如图过点 作 轴于点 ，
∵，
∴，
∴
∴，
∵
∴ 轴，则 的纵坐标为
∴
同理可得：，，
∴
∴ 的纵坐标为，
同理可得 轴，则 的纵坐标为
∵
∴
，
∴
，同理可得：
∴
∴
……
的纵坐标为
，
∴ 的纵坐标为，
又 轴，则 的纵坐标为
∴点 的纵坐标为
解答题（本题共 8 道大题，共 72 分）
计算、分解因式：
计算：；
分解因式： ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问 1 详解】
解：原式
【小问 2 详解】解：原式
求不等式组的所有整数解．
【答案】， ，
【解析】
【详解】解：解不等式①，得解不等式②，得
原不等式组的解集为
满足不等式组的所有整数解是 1，2，3．
解方程： ．
【答案】 ，
【解析】
【详解】解：
或
，．
2026 年是长征胜利 90 周年．某校开展了以“赓续血脉，永恒记忆”为主题的长征知识竞赛，满分为 100
分，学生的成绩均高于 60 分且为整数．现随机抽取了部分学生的成绩作为样本，将抽取的学生成绩（分）
， ：
， ：
， ：
按，，，四个等级（ ：）
进行了整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
本次调查抽取了名学生的成绩；
扇形统计图中，“ 等级”对应的扇形圆心角为度；
请直接补全条形统计图；
若参加本次竞赛的学生有 2700 人，请估计本次竞赛中获得“等级”的学生约有多少人．
【答案】（1）50（2）144
（4）810 人
【解析】
【分析】（1）由两个统计图中 等级数据信息可求抽取人数；
用 乘以B 等级人数占抽取人数的比值即可；
用抽取总数减去其他三个等级的人数即可；
用本次竞赛学生人数乘以样本中获得等级的学生占抽取人数的比值即可．
【小问 1 详解】
解：由两个统计图中 组数据信息可知，抽取人数为 （人）
【小问 2 详解】
解： ；
【小问 3 详解】
解：C 组人数： （人）；图略
【小问 4 详解】
解： （人）
答：估计本次竞赛中获得“ 等级”的学生约有 810 人．
如 图 ， 四 边 形 内接于 ， 为 的 直 径 ， 点 在 的 延 长 线 上 ， 且 ．
求证： 是 的切线；
若 ， ， ，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连接
，
． ， ．
， ，即．
为 的半径，
是 的切线；
（2）
【解析】
，
．在
【分析】（1）先利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到，结合已知条件得到，即，根据切线的判定可证得结论；
（2）连接 ，设 的半径为，则
中，利用勾股
定理求得 ，则 ．利用特殊角的三角函数值求得．根据圆周角定理求得 ，，则，根据含 30 度角的直角三角形的性质求得
，然后利用扇形面积公式及 求解即可．
【小问 1 详解】略
【小问 2 详解】解：连接 ，
设 的半径为，则，．
在 中，， ，解得， ．
， ．
．
，
是 的直径，
， ．
．
． ，
．
∴．
2026 年中国人形机器人打破了人类半马纪录，实现了从“蹒跚学步”到“风驰电掣”的迭代升级．某公司对人形机器人甲、乙进行奔跑测试，在一条笔直的测试路上有 ， 两地，机器人甲、乙分别从， 两地同时出发，机器人甲以 360 米/分的速度沿测试路匀速跑向 地，到达 地后，立即以 米/分的速度原路匀速返回；机器人乙以 240 米/分的速度沿测试路匀速跑向地，到达地后停止运动，机器人乙到达地一段时间后，机器人甲也到达 地并停止运动．机器人甲、乙之间的距离（米）与机器人甲行进的时间
（分）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
， 两地之间的距离为米，图中 的值为；
求线段 所在直线的函数解析式；
机器人甲行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距 600 米？（直接写出答案即可）
【答案】（1）3600，6
5 分或 7 分或 20 分
【解析】
【分析】（1）由图可知 距离为米，甲乙相向而行，相遇时间为总路程除以甲乙速度和，即可求出 的值；
由（1）得：，由题意可知 G 点为甲到达 B 地的点，根据甲、乙速度得到，设
解析式为 ，根据待定系数法求解即可；
先求出 n 的值，进而分四种情况作答即可．
【小问 1 详解】
解： 时，甲乙还未出发，距离就是 A、B 两地距离，因此 距离为米；甲乙相向而行，速度和为 米/分，
相遇时间（分），
因此 ；
【小问 2 详解】
解：由（1）得： ，由题意可知 G 点为甲到达 B 地的点，
甲走完全程 的时间为 分钟，此时乙走了米，
因此甲乙距离为 2400 米，即 ．
设 解析式为 ，代入两点坐标：
，
解得：，
因此 的解析式为： ；
【小问 3 详解】
解：由图象可知， 两地距离为米．
乙从 匀速跑到 ，速度为 米/分，
因此乙走完全程的时间为：分钟即图中 点对应的时间分钟，
此时乙已经到达 地，甲乙相距 米，从甲开始返回到乙到达 地，一共经过了 分钟，甲返回走了 米，
因此，
即甲到达 B 后返回速度为米/分，返回全程需 分钟，总耗时 分钟，乙从 B 到 A 速度为 米/分，走完全程到 A 的时间为 分钟，
设甲行进时间为分钟，甲乙距离 米，分阶段计算：阶段 1：相遇前（ ），
甲乙相向而行，两人距离满足： ，
令 ，解得： ，符合范围，是有效解；阶段 2：相遇后，甲未到 B 地（ ），
相遇后甲乙背向而行，两人距离满足：，
令 ，解得： ，符合范围，是有效解；
阶段 3：甲到 B 开始返回，乙未到 A 地（ ），
甲在 B 后返回，乙仍向 A 行走，两人距离满足： ，
该阶段 的范围是，始终大于 600，此阶段无解；阶段 4：乙到达 A 停止，甲仍在返回途中（ ），
乙已经停在 A 点，两人距离就是甲到 A 点的距离，两人距离满足：，
令 ，解得： ，符合范围，是有效解；
综上所述，机器人甲行进时间为 5 分或 7 分或 20 分时，甲乙相距 600 米．
综合与实践
综合实践课上，同学们以矩形的旋转为主题开展探究活动．
，
，
，
已知有公共顶点的矩形 和矩形．先将矩形的边
， 分别落在矩形 的边 ， 上，再将矩形绕点 顺时针旋转，旋转角为 ，连
接 ， ．
（1）【问题初探】如图，当 ，时， 与的数量关系是，与 的数量关系是；
，
， ；
（3） 或
（2）【类比推理】如图 ，当
，
时，试探究
与
的数量关系，请写出结论，并
说明理由；
（3）【深入探究】如图 ，当
，
时，点
为边
的中点，直线交线段于
点 ，若，则
的长为；
（4）【拓展延伸】如图 ，当
，
时，过点
作
，垂足为 ，在线段上
取点，使
，连接 ．若
的面积为 ，则 的取值范围是．
【答案】（1）
，
（2）解：
，证明如下：
∵四边形
和四边形都是矩形，
∴
，
∴
∴
，
，
，
分两种情况：点 E 在上方和点 E 在下方，分别画出示意图，讨论求解即可；
过点 P 作于点 M，证明，推出，根据 ，推出；由勾股定理得，则可证明 ，根据可得答案．
【小问 1 详解】
解：当 时，则，
∴， ；
【小问 2 详解】略
【小问 3 详解】
解：如图所示，当点 E 在上方时，连接 ，过点 B 作 于点 T，
（4）
【解析】
【分析】（1）证明
，即可得到
， ；
（2）证明
，得到
，则
；
∴
，
∵四边形
和四边形
都是矩形，
∴
，
∴
∴
，
，
∴
，
∵，
∴；
∵点 M 为的中点，
∴；
∵四边形是矩形，
∴；
设，则，
在 中，由勾股定理得，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
∵四边形 是矩形，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴ 三点共线，即点 E 与点 T 重合；
∴，
由（2）得；
如图所示，当点 E 在下方时，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
同理可得 ，
∴，
∴；
如图所示，过点 E 作 交 的延长线于点 T，
∵四边形 是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ ；
∵，
综上所述， 的长为 3 或 ；
【小问 4 详解】
解：如图 4 所示，过点 P 作于点 M，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
∴
，
，
∴
；
∵
，
∴
，
∴
∵四边形
是矩形，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∵
∴，
∵，
∴，
∴；
在 中，由勾股定理得，
∴，
，
，
∴
∵，
∴
又∵ ，
∴ ．
求抛物线的解析式；
求的最大值及最大时点的坐标；
24. 综合与探究
如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点
，
，与轴
交于点 ，作直线 ，，点为第一象限内抛物线上的动点，过点作
交直线于点．
轴，垂足为
，
如图 2，若将抛物线 沿射线 方向平移 个单位长度，得到新抛物线，点为新
抛物线上一点，且，则点的坐标为；
当最大时，作直线 ，若点 为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转 得到 ，取 的中点 ，过点 作 ，垂足为，连接， ，则 的最小值为．
【答案】（1）
的最大值为 2，此时点的坐标为
或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（ 2 ） 设点 ， 求得直线 的解析式为 ，则 可得 ，利用二次函数的性质求解即可；
（ 3 ） 先求得平移后的新抛物线的解析式， 分两种情况讨论点 位置：当 在 轴上方时， 由得 ，联立直线与抛物线求交点得 ；当在轴下方时，由角度关系得
，列方程解得；
（4）由（2）知， ， ，直线的解析式为 ，设，则
， 求得直线 的解析式为 ，设，易得与 x 轴所形成的锐角为 ，进而得到 ，则，设 ，
，问题转化为求直线 上的点 F 到点
和点 的距离和的最小值，求出点 G 关于直线 的对称点 ，则的最小值为 的长度，利用两点间距离公式求得 即可求解．
【小问 1 详解】
解：将 ， 代入抛物线的解析式 ，得
当 时， ．
．
设直线的解析式为 ， ，
∴ ，则 ，
∴直线的解析式为 ，
轴， ．
，
，
∴当 时， 的值最大，最大值为 2，此时点 P 的坐标为；
【小问 3 详解】
解：对于，当 时， ，则 ，
∵，，
，解得
．
抛物线的解析式为
【小问 2 详解】
；
解：设点
，
∴将抛物线沿射线 方向平移 个单位长度，相当于将抛物线先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，得到新抛物线，
∴新抛物线的解析式为 ，
分两种情况：
当点 Q 在 x 轴上方时，如图，
联立方程组，解得或（舍去），
∴ ；
当点 Q 在 x 轴下方时，如图，过作 轴，
设直线
将
∴直线
∵
的解析式为
代入，得的解析式为
，
，
，解得
，
，
∴
，
∴设直线
的解析式为
，
将
代入，得
，解得
，
∴直线
的解析式为
，
解得 或 （舍去）
∴
，
综上，满足条件的 Q
的坐标为
或
【小问 4 详解】
解：如图，作
轴，
轴
∴，
；
设
，则
，
∵
∴
，
，又
，
，
∴
，
∴
，
∴
，整理得，
由（2）知， ， ，直线的解析式为 ，
,
，且，
在 和 中，，
， ，
设，则，
是 的中点，
∴
∵ ， ，
为等腰直角三角形，
∴设，且 与 x 轴所形成的锐角为 ，
如图，分别过点 N、点 F 作 x 轴、y 轴的平行线，设交点为 K，
，
设直线
的解析式为
， 代入 ，得 ，
直线
∵
的解析式为
于 F，
，
则 ，
是等腰直角三角形，
∴ ，即，可得，
∴ ，则 ，
∴ ，
如图，设 ，
∴ ，
∴ ，
问题转化为求直线 上的点 F 到点 和点 的距离和的最小值，设点 G 关于直线 的对称点为 ，则 ，
则 的最小值为 的长度，
∵ ，
∴ 的最小值为．