广东广州市执信中学2025−2026学年第二学期高一数学期末考试试题（含答案）

这是一份广东广州市执信中学2025−2026学年第二学期高一数学期末考试试题（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．10个数据的75%分位数是（ ）
A．12B．11C．10D．9
3．下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．在中，，，现以所在直线为轴，将其余两边旋转一周形成曲面并围成一个封闭几何体，则该几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．若，则（ ）
A．B．C．3D．
6．在四面体中，点满足，在上，若，则（ ）
A．B．
C．D．
7．在正四棱锥中，，则该棱锥的外接球与内切球半径之比为（ ）
A．B．C．D．
8．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．依据推广结论，给定函数，设其对称中心为，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．设是平面上三个两两不相等的单位向量，，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．
C．若，则在上的投影向量为
D．若，则
10．盒中有个大小、质地均相同的小球，其中三个红球上分别写有，两个白球上分别写有．从中不放回地随机取出两个小球，记事件为“取出的两个球颜色不同”，事件为“取出的两个球上的数字相同”，事件为“取出的两个球上的数字之和小于”，那么（ ）
A．B．
C．D．事件与相互独立
11．已知，以下说法正确的有（ ）
A．是偶函数B．的最小正周期为
C．的最小值为D．方程恰有个解
三、填空题
12．已知复数满足（为虚数单位），则_____．
13．如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米．

14．（不能建系）已知正方体棱长为1，是其表面三点，则的最小值为_____．
四、解答题
15．如图，正三棱柱中（底面是正三角形且侧棱与底面垂直的棱柱是正三棱柱），底面边长为，若为的中点．

（1）求证：直线平面；
（2）若，求三棱锥的体积．
16．学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：
（1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数：
（2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数：
（3）若学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率.
17．设的内角所对的边分别是，已知．
（1）求证：；
（2）若，，设为边的中点，求的长．
18．如图，在多面体中，是边长为的等边三角形，平面，，，，，记的中点为．
（1）证明：平面；
（2）设为棱上的动点，
（i）若，求到的距离；
（ii）求与平面所成角的正弦值的最大值．
19．设，函数的定义域为．若对满足的任意，均有，则称函数具有“性质”．
（1）在下述条件下，分别判断函数是否具有性质，并说明理由；
①；
②；
（2）已知，且函数具有性质，求实数的取值范围；
（3）证明：“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件．
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为的解集为：，所以集合，
则．
2．【答案】B
【详解】因为，所以第75%分位数是第个数，即
3．【答案】C
【详解】若，则，选项A错误；
因为即，解得，选项B错误；
，，
则，选项C正确；
若，因为，，所以只有时等号成立，不存在实数使得正弦值和余弦值同时等于1，选项D错误.
4．【答案】A
【详解】在中，，，则.
设边上的高为，，则，得.
该旋转体为两个共底面的圆锥，底面半径为，母线长分别为和.
所以该几何体的表面积为两个圆锥侧面积之和，
即.
5．【答案】A
【详解】由,得;
同除以,得
由得,
代入化简得,
即,
解得，
则.
6．【答案】C
【详解】由题意，在四面体中，， 所以，
因为点在上，设，其中，则，
又因为，
由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 可得−x=−34x=1−λy=λ，解得，，所以，
则，故C正确.
7．【答案】C
【详解】如图所示，正四棱锥中，正方形的对角线相交于点，则平面.
设正四棱锥外接球的球心为，在上，高，
连接，则.
，设，则，.
则在中，，
即，得.
在中，，
即，解得.
如图所示，设正四棱锥内切球的球心为，在上，
高，取中点，连接.
，设，则，.
则.
在中，，即.
设内切球与平面相切于点，与平面相切于点，
则，，.
，即，解得.
.
8．【答案】B
【详解】由题意，若的对称中心为，则为奇函数，对定义域内任意均有，
即： 代入得： ，
对第二项分母变形得，因此第二项可化简为，原等式变为： ，
要使等式对任意恒成立，令，解得，
代入左边得： 因此，解得，
故.
9．【答案】BD
【详解】对于A，，则或，故A错误.
对于B，，故B正确.
对于C，在上的投影向量为，故C错误.
对于D，由且，可得
，
设与夹角为，与夹角为，与夹角为，
因为向量间的夹角属于，所以.
又因为，所以.
所以
所以，D正确
10．【答案】ABD
【详解】根据题意，所有可能的组合为：(红1,红2),(红1,红3),(红1,白1),(红1,白2),(红2,红3),(红2,白1),(红2,白2),(红3,白1),(红3,白2),(白1,白2)，共种，
对于A，事件为两球颜色不同，对应共种组合，，故A正确；
对于B，事件为两球数字相同，仅(红1,白1),(红2,白2)种情况，且均满足颜色不同，即，故，，故B正确；
对于C，事件为数字之和小于，对应共种组合，，故C错误；
对于D，事件为两球颜色不同且数字和小于，对应共种组合，，而，
满足独立事件判定条件，故事件与相互独立，故D正确.
11．【答案】AC
【详解】对于A，易知的定义域为，关于原点对称，又，
所以是偶函数，故A正确，
对于B，因为，则，
，
所以不是的周期，故B错误，
对于C，由选项A知是偶函数，则的图象关于轴对称，
当时，，
即，
当时，，
当时，，
当时，，
综上可知，故C正确，
对于D，由选项C可得的图象如图所示，
由选项C知，当时，是的最小正周期，令，
则方程的解的个数，即的图象与图象交点的个数，
当时，，又，所以当时，，
则当时，的图象与图象有无数个交点，故D错误.
12．【答案】
【详解】因为，所以，所以.
13．【答案】
【详解】由题意知，平面，，，，.
因为平面，所以，.
在中，，所以.
在中，，所以.
在中，由余弦定理得，，
即，整理得，
即，解得或.
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
故.
14．【答案】/
【详解】取线段的中点，则
，
①若在同一个表面内，则当重合时，的最小值为，
又当为面对角线时取最大，故的最小值为；
②若分别位于相邻的两个表面内，不妨设平面，平面，
则的最小值为点到平面、平面的距离的最小值，
又当为体对角线时取最大，故的最小值为；
③若分别位于相对的两个表面内，不妨设平面，平面，
则的最小值为点到正方体的各个表面的距离的最小值，
又当为体对角线时取最大，故的最小值为，
综上可知，的最小值为
15．【答案】（1）
（1）连结交于，连结，
在中，，分别为和的中点，则，
平面，平面，
平面.
（2）.
【详解】（1）略；
（2）

取中点为，连结，，
，则，
平面平面，平面平面，且平面，
平面，平面，则，
又，，面,面
面，，
则，可得.
，面，面，面，.
16．【答案】（1）2
（2）71，
（3）
【详解】（1）由，得，
则成绩不高于60分的人数为：，
成绩不高于50分的人数为：，
则从不高于60分的人中抽5人，其中不高于50分人数为：；
（2）平均数.
因为在内共有80人，则中位数位于内，设中位数为，
，解得；
（3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件，甲复赛获优秀等级为事件B，乙复赛获优秀等级为事件C，则
方法1，，则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为.
法二：.则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为.
17．【答案】（1）由，
得到，所以，
由正弦定理得，即.
（2）
【详解】（1）略
（2）由余弦定理，又，，
得，又由（1）知，所以，解得，
又为边的中点，则，
所以，
则，所以的长为.

18．【答案】（1）如图，取的中点，连接，.
平面，，，平面，平面.
为的中点，为的中点，，
在直角梯形中，，.
，，，；
平行四边形是平行四边形.
.
平面，平面，平面平面.
是等边三角形，为的中点，.
平面平面，平面，平面.
，平面.
（2）（i）；（ii）
【详解】（1）略
（2）（i）如图，过点分别作，，垂足分别为点，；取中点，连接，，，.
是边长为2的等边三角形，为的中点，，，.
，；
，，，，.
在中，.
，平面，平面.
在中，；
在中，.
在中，；
.
在中，.
即点到的距离为.
（ii）如图，过点作平面，垂足为点，连接，则为与平面所成角；
分别过点，作，，，垂足分别为，，.
则，，，.
在中，；
在中，；
在中，；
，即为等腰三角形.
是的中点，，.
，.
为棱上的动点，设，.
在中，.
在中，；
在中，；
在中，；
.
.，.
由（1）得平面，则平面.
，即，解得.
在中，.
，当时，取得最大值，即.
即与平面所成角的正弦值的最大值为.
19．【答案】（1）①是，理由如下：因为对任意，
，符合定义；
因此，函数具有性质.
②不是,理由如下：令 ，
，故不具有性质.
（2）；
（3）充分性：
若函数为增函数，则对任意均有，
即，因此，对任意，若，
则，函数具有性质，充分性得证；
必要性：
若对任意，函数均具有性质，
假设函数不是增函数，则存在，满足，
即，而，
故存在，使，且，即，
即对于，存在，但是，
与“对任意，函数均具有性质”矛盾，因此假设不成立，
即函数为增函数，必要性得证．
综上，“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件.
【详解】（1）略
（2）显然，设，
则
，
当时，取最小值，
原问题等价于当时，恒成立，即恒成立，
由，可得，所以.
（3）略