广东省佛山市普通高中2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份广东省佛山市普通高中2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析）试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．样本数据，，，，，，的中位数为（ ）
A．12B．14C．16D．20
3．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在长方体中，，为中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
5．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
6．在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．一列高铁列车在平直铁轨上沿水平向右的方向做匀速直线运动，速度大小为米/秒，列车车轮半径为米，当秒时，车轮上的点恰好与铁轨表面接触（即位于最低点）．设经过时间秒，点到铁轨表面的高度为，则（ ）
A．B．
C．D．
8．在中，、分别在边和上，与交于点，若，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为B．的最小值为
C．D．在上单调递增
10．已知复数，，则下列复数中，在复平面上对应的点位于第一象限的有（ ）
A．B．C．D．
11．如图，正方体的棱长为2，则（ ）

A．三棱锥的外接球半径为
B．三棱锥的内切球半径为
C．点在正方体的棱上，若，则满足条件的点有6个
D．点在正方体表面，若，则点的轨迹围成的面积为
三、填空题
12．如图，，，，均在单位格点上，则__________
．
13．一个半径为2的半圆卷成圆锥，则该圆锥的高为__________．
14．平面四边形中，，，，则的最大值为__________．
四、解答题
15．如图，在四棱台中，底面是正方形，底面，．
(1)求四棱台的体积；
(2)求点到平面的距离．
16．读书启智，书香润心．坚持课外阅读不仅能积累知识、开阔眼界，更能涵养品格、丰盈内心，青少年应当主动培养每日阅读的良好习惯．为营造书香校园氛围，了解学生日常阅读情况，某校随机抽取100名高一学生，调查他们一周课外阅读时长（单位：小时），根据统计结果作得下面频率分布直方图．
(1)求的值，并估计该校高一学生平均每周课外阅读时长（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)用分层抽样的方法，样本按比例分配，从课外阅读时长在的学生中抽取5人，请问课外阅读时长在有多少人；
(3)定义“阅读爱好者”为一周课外阅读时长不低于第80百分位数的学生，请估计该校高一学生“阅读爱好者”一周课外阅读时长的最小值．
17．如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，，的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)探究直线与平面的位置关系，并说明理由；
(3)求二面角的正弦值．
18．记的内角，，所对的边分别为，，．已知，．
(1)求的值；
(2)若的面积为，是边上的点，且，求的长．
19．已知函数．
(1)求的对称轴方程；
(2)若在上的值域为，求的取值范围；
(3)若关于的方程存在三个相邻实根，，（其中），且，求．
参考答案
1．C
【详解】，故其虚部为
2．B
【详解】将数据从小到大排序为：10，12，14，14，16，20，24，样本容量，
故该样本数据的中位数为14.
3．B
【详解】因为，
所以，
所以，
所以.
4．A
【详解】如图所示：

设，由，得.
在长方体中，由、，可得，
因此直线与所成的角为（或其补角）.
在中，，则，
因为为中点，故，
在中，则，
由，，可得，
所以为等边三角形，故，.
因此直线与所成角的余弦值为.
5．D
【详解】由，得，即得，
，
则，得
解得：
故.
6．B
【详解】，
，
故．
7．C
【详解】根据得，当秒时，点位于最低点，
则经过时间秒后车轮转过的角度，
则点到铁轨表面的高度为.
得到符合初始条件.
8．A
【详解】由可知，点到的距离是点到距离的，即，
点到的距离是点到距离的，即，
已知，则，
设，则，
由于与共线，则存在实数使得，即，所以，解得，
所以，即，所以，
设，，
则
由于与共线，则存在实数使得，即，所以，解得，
所以，即，所以，
因此，故A正确.

9．BCD
【详解】对于A，，则其最小正周期为，故A错误；
对于B，当，其中时，有最小值，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，时，，因在上单调递增，则在上单调递增，故D正确.
10．AC
【详解】因为复数，，
所以，
对应点为，在第一象限，故A正确；
，
对应点，不在第一象限，B错误；
，
对应点为，在第一象限，C正确；
，
对应点为，不在第一象限，D错误.
11．ACD
【详解】三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，故其半径为，故A正确；
因为，
三棱锥的表面积为，
所以三棱锥的内切球半径为，故B错误；
分别取的中点，
则当点与以上六点重合时，，故C正确；
因为是正方形，所以，
因为平面，平面，所以，
因为平面，所以平面，
又平面，所以，同理可证，，
因为平面，所以平面，
因为点在正方体表面，，所以点的轨迹为线段，
则点的轨迹围成的面积为的面积，即，故D正确.

12．
【详解】
以点为坐标原点，网格线所在直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系，
设小正方形的边长为 1, 由图可知,，，，,
所以，。 则 .
13．
【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为,
由题意可知，半圆的半径即为圆锥的母线长，故；
半圆弧长为圆锥底面的周长，半圆弧长，因此有，解得；
因为，所以.
14．
【详解】设，，根据题意，，即，
已知，由于是四边形的内角，所以，因为，所以，即是锐角，
由此可得，，，
设的外接圆的圆心为，半径为，的外接圆的圆心为，半径为，如图所示，
由正弦定理，得，解得，，解得，
点在以为弦，半径为的圆弧上，点在以为弦，半径为的圆弧上，
因此的最大值即为这两个圆弧上两点的最大距离，即圆心距与两个半径的和，即，
设圆心到弦的距离为，则，
圆心到弦的距离为，则，
则，则.
即的最大值为.

15．(1)
(2)
【详解】（1）由题意，上底面正方形的边长，下底面正方形边长，
所以上、下底面积分别为，
又棱台的高，
所以.
（2）设点到平面的距离为,
因为底面，底面，
所以，
又平面，
所以平面，又平面，
所以，
在直角梯形中，可得,
由可得，,
即，解得.
16．(1)，平均每周课外阅读时长为小时；
(2)人；
(3)小时．
【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得，
可得，
则平均每周课外阅读时长（小时）.
（2）解：由频率分布直方图知，课外阅读时长在的频率为，
其中课外阅读时长在的频率为，
若从课外阅读时长在的学生中抽取5人，则课外阅读时长在有人.
（3）解：由频率分布直方图知，前3个矩形的面积和为，
前4个矩形的面积之和为，
设第分位数位于，设第分位数为，则，
所以该校高一学生“阅读爱好者”一周课外阅读时长的最小值为小时.
17．(1)证明：因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，
因为平面，所以，
因为，为的中点，所以⊥，
因为，平面，所以⊥平面，
因为平面，所以平面平面；
(2)平面，理由如下：
取的中点，连接，
因为，，分别是，，的中点．
所以，，且，，
又，，所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，所以平面；
(3)
【详解】（1）略
（2）略
（3），故，
由勾股定理得，，
，
由可知，，
过点作⊥于点，则，
由勾股定理得，
过点作，则⊥，
连接，因为，所以⊥，，
故即为二面角的平面角，
因为，所以，所以，
，
在中，，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，，二面角的正弦值为.
18．(1)
(2)
【详解】（1）由可得，
由余弦定理及可得，，
即，故
所以，又，
所以.
（2）由，解得，
则，
因为，
所以
，
所以.
19．(1)；
(2)
(3)
【详解】（1）由题意得
，
令，解得，
故的对称轴方程为；
（2）由题意得，，，
其中，当，时，
取得最小值，最小值为，此时或，
当，时，取得最大值，最大值为，
此时，得到的取值范围是；
（3）由题意得，
即，故，
所以或，
故相邻两根之差为，
或，
三个相邻实根，，（其中），且，
即，故，
其中，若，解得，满足题意；
若，解得，不合题意，舍去；