2025-2026学年吉林省友好学校协作体联考高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年吉林省友好学校协作体联考高一（下）期末数学试卷（含答案），共3页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在复平面内，复数z满足(1−i)z=2，则z=( )
A. 2+iB. 2−iC. 1+iD. 1−i
2.数据：1，2，4，5，3，6，7，8，9，10的40%分位数是( )
A. 4B. 5C. 3.5D. 4.5
3.已知|a|=1，|b|=2，且a与b的夹角为120°，则a⋅b=( )
A. 1B. −1C. 3D. − 3
4.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺，它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱构成的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示，已知半球的半径为R，圆柱的高也为R，则银杯盛酒部分的容积为( )
A. 53πR3B. 73πR3C. 83πR3D. 103πR3
5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3 2，则B的大小为( )
A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120°
6.从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则与事件“取出的两个球同为红色”互斥而不对立的事件是( )
A. 取出的两个球一个为红色，另一个为黑色B. 取出的两个球颜色相同
C. 取出的两个球至多有一个是红色D. 取出的两个球至少有个一是红色
7.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于下列四个命题：①n//m，n⊂α⇒m//α；②若m，n为异面直线，n⊂α，n//β，m⊂β，m//α⇒α//β；③α//β，m⊂α，n⊂β⇒m//n；④m//α，n⊂α⇒m//n.其中正确命题的个数有( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
8.在直角三角形ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN= 2，则MC⋅NC取值范围为( )
A. [4,6]B. [2,52]C. [2,4]D. [4,172]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=−1−i，i为虚数单位，其共轭复数为z−，则下列说法正确的是( )
A. |z|=2B. z的虚部为−i
C. z对应的点位于复平面的第三象限D. z−z−=−2i
10.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，则( )
A. 平面CDA1B1与平面ABB1A1所成角的正弦值为 22
B. 直线CB1与平面BB1D1D所成角为30°
C. 直线CB1与直线BD所成的角为90°
D. 三棱锥B1−BCD外接球的表面积为3π
11.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列结论正确的是( )
A. 若a2+b2sinB，则a>b
C. 若acsA=bcsB，则△ABC为等腰三角形
D. 若△ABC为锐角三角形，则sinA>sinB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.样本数据5，6，8，11，5的方差为 ．
13.已知单位向量a在单位向量b上的投影向量为12b，则a与b的夹角为 ．
14.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，D为BC上一点，且AD⊥AB，将△BAD沿AD翻折至平面ABD⊥平面ACD，连接BC，则点D到平面ABC的距离为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面内三个向量a=(1,3)，b=(−1,2)，c=(2,1)．
(1)若a=mb+nc，求实数m，n的值；
(2)若(a+kc)//(2b−a)，求实数k的值；
(3)已知t∈R，求|a+tb|的最小值．
16.(本小题15分)
某高中在一次高一数学测试后，为了解本次测试的成绩情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，成绩均在[50,100]内，将成绩分为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，共5组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求m的值，并估计这200名学生数学成绩的平均数(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)；
(2)从成绩在[70,80)和[80,90)的学生中，用分层随机抽样方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名，求这2名学生数学成绩在[70,80)和[80,90)内各1人的概率．
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(3sinB− 5csA)c= 5acsC．
(1)求sinC的值；
(2)若C是锐角，且c= 5，a+b=5，求△ABC的面积．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AB/​/CD，CD=2AB，CD⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别是CD和PC的中点．
求证：
(1)BF//平面PAD；
(2)平面BEF⊥平面PCD．
19.(本小题17分)
在高中生物实验技能竞赛中，有“植物标本识别”的轮次考核，每轮活动由选手甲、选手乙各识别一份未知的植物标本(识别正确记为成功，识别错误记为失败).已知甲每轮正确识别植物标本的概率为56，乙每轮正确识别植物标本的概率为34，甲、乙的识别结果相互独立，各轮考核的结果也互不影响．
(1)求在一轮考核中，甲，乙两人中恰好有一人成功的概率；
(2)求在两轮考核中，“竞赛队”(由甲，乙组成)成功识别标本的总次数为3次的概率．
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】CD
10.【答案】ABD
11.【答案】AB
12.【答案】265
13.【答案】π3
14.【答案】 33
15.【答案】m=n=1 k=−2 5
16.【答案】m=0.030，79.5；
35．
17.【答案】sinC= 53
5
18.【答案】证明：(1)∵AB/​/CD，CD=2AB，E是CD的中点，
∴AB/​/DE，AB=DE，即ABED是平行四边形．
∴BE/​/AD．
∵BE⊄平面PAD，AD⊄平面PAD，
∴BE/​/平面PAD，又EF/​/PD，
EF⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴EF/​/平面PAD，
EF，BE∈平面BEF，且EF∩BE=E，
∴平面BEF/​/平面PAD．
∵BF⊂平面BEF，
∴BF/​/平面PAD．
(2)由题意，平面PAD⊥平面ABCD，且两平面交线为AD，CD⊂平面ABCD，CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥PD.∴CD⊥EF．
又CD⊥BE，BE，EF⊂平面BEF，且BE∩EF=E，
∴CD⊥平面BEF．
∵CD∈平面PCD，
∴平面BEF⊥平面PCD．
19.【答案】13 512