2024-2025学年吉林省普通高中友好学校联合体高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年吉林省普通高中友好学校联合体高一（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数a+i1+i是实数(i是虚数单位)，则实数a的值为( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
2.在△ABC中，M为AB边上的中点，则CM=( )
A. 12CB+12CAB. −12CB−12CAC. 12CB+CAD. −CB+12CA
3.4名射手独立地射击，假设每人中靶的概率都是0.6，则4人都没中靶的概率为( )
A. 0.256B. 0.016C. 0.0256D. 0.036
4.已知向量a=(1,−3)，b=(2,1)，则a在b上的投影向量为( )
A. (−15,−110)B. (15,110)C. (−25,−15)D. (25,15)
5.中国古代数学名著《九章算术》的商功章记载了圆锥型几何体的体积公式，“水曰：下周自乘，以高乘之三十六而一”，其意思是：已知圆锥的底面周长C，高ℎ，那么圆锥的体积公式是V=112πC2ℎ，若一圆锥的轴截面是边长为2 2的等边三角形，据依所给公式计算其体积为( )
A. 2 33πB. 2 3πC. 2 63πD. 2 6π
6.甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了5个正整数数据，根据下面四名同学的统计结果，可以判断出所有数据一定都不小于20的同学人数是( )
甲同学：中位数为22，众数为20
乙同学：中位数为25，平均数为22
丙同学：第40百分位数为22，极差为2
丁同学：有一个数据为30，平均数为24，方差为10.8
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若bcsA+acsB=csinC，则△ABC为( )
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
8.已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，且PD=PA=3 2，AB=6，则四棱锥P−ABCD的外接球的体积为( )
A. 72 2πB. 27 6πC. 2432πD. 45 52π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用C表示抽到次品这一事件.则下列说法中不正确的是( )
A. 事件C发生的概率为110B. 事件C发生的频率为110
C. 事件C发生的概率接近110D. 每抽10台电视机，必有1台次品
10.已知i为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 若复数z∈R，则z−∈R
B. 若复数z2∈R，则z∈R
C. 若复数m2+3m−4+(m2−2m−24)i=0，则实数m=1或m=−4
D. 若复数z=x+yi(x,y∈R)满足|z+1|=|z−i|，则x+y=0
11.如图，在直棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，AA1=2，点P为CC1的中点，动点Q在侧面DCC1D1内(包含边界)，则下列结论正确的是( )
A. BD⊥AC1
B. 若点Q在线段D1C上，则四面体A1BPQ的体积为定值
C. 若A1Q= 7，则点Q轨迹的长度为π3
D. 若点E在直线A1B上，则AE+EP的最小值为 9+2 10
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的75%分位数为______分.
13.九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a，b，c，d，e这5个数字未知，且b，d为奇数，则a+b>5的概率为______．
14.已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为 3的正方形，PA=2 3，PA⊥平面ABCD，M为线段PA的中点，若空间中存在平面α满足BD//α，MC⊂α，记平面α与直线PD，PB分别交于点E，F，则PEED= ______，四边形MECF的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(1,3)，b=(1,−2)．
(1)求向量a，b的夹角的余弦值；
(2)若c=(3,t)，且2a−3b与c的夹角为钝角，求t的取值范围．
16.(本小题15分)
某制药厂生产一种治疗流感的药物，该药品有效成分的标准含量为10mg/片.由于升级了生产工艺，需检验采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标，现随机抽取了生产的10片药品作为样本，测得其有效成分含量如下：9.7，10，9.7，9.6，9.7，9.9，10.2，10.1，10，10.1．
(1)计算样本的平均数x−和方差s2；
(2)判断采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标(若|x−−10|>3.25 s210，则认为采用新工艺生产的药品的有效成分不达标；反之认为达标)
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=1，BC=2，PB= 3.E为PD的中点，点F在PC上，且PFFC=12．
(Ⅰ)求证：PA⊥平面ABCD；
(Ⅱ)在棱BP上是否存在点G，使得点G到平面AEF的距离为 39，若存在求出点G的位置，不存在请说明理由．
18.(本小题17分)
如图，在平面四边形ABCD中，DC=2AD=4 2，∠BAD=π2，∠BDC=π6．
(1)若cs∠ABD= 53，求△ABD的面积；
(2)若∠C=∠ADC，求BC．
19.(本小题17分)
我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对(z1,z2)(z1,z2∈C)视为一个向量，记作α=(z1,z2).类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量α=(z1,z2)，β=(z3,z4)的数量积记作α⋅β，定义为α⋅β=z1z3−+z2z4−；复向量α的模定义为|α|= α⋅α．
(1)设α=(3,4)，β=(1−i,i)，求复向量α与β的模；
(2)已知对任意的实向量α与β，都有|α⋅β|≤|α||β|，当且仅当α与β平行时取等；
①求证：对任意实数a，b，c，d，不等式|ac+bd|≤ a2+b2⋅ c2+d2成立，并写出此不等式的取等条件；
②求证：对任意两个复向量α与β，不等式|α⋅β|≤|α||β|仍然成立；
(3)当|α⋅β|=|α||β|时，称复向量α与β平行.设α=(1+i,2−i)，β=(i,z)，z∈C，若复向量α与β平行，求复数z的值．
参考答案
1.C
2.A
3.C
4.C
5.C
6.C
7.C
8.A
9.ACD
10.AD
11.ABD

13.23
14.2 6
15.(1)因为向量a=(1,3)，b=(1,−2)，
所以a⋅b=1−6=−5，|a|= 1+9= 10，|b|= 1+4= 5，
所以向量a，b夹角的余弦值为cs=a⋅b|a||b|=−5 10× 5=− 22．
(2)因为2a−3b=(2,6)−(3,−6)=(−1,12)，c=(3,t)，
由夹角为钝角知，(2a−3b)⋅c=−3+12t