2025-2026学年黑龙江省大庆实验学校高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年黑龙江省大庆实验学校高一（下）期末数学试卷（含答案），共3页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.(1−3i)i的虚部为( )
A. 1B. iC. 3D. −3
2.如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA′B′C′，则原梯形面积为( )
A. 2B. 2 2C. 3 2D. 4 2
3.样本数据2，8，14，16，20，24的中位数是( )
A. 14B. 15C. 16D. 18
4.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为AA1的中点，则BM与A1C1夹角的余弦值为( )
A. 55B. 105C. 155D. 2 55
5.已知平面向量a,b是两个单位向量，且a⋅(a+b)=43，则a在b上的投影向量为( )
A. bB. 23bC. 12bD. 13b
6.不透明口袋中装有大小相同的五个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，依次不放回从中取得两个球，如果第二次取得号码比第一次大，则记录第二个球号码；如果第二次取得号码比第一次小，则记录袋中剩余球最大的号码，则记录号码为4的概率为( )
A. 110B. 310C. 12D. 35
7.现有两个完全相同的四棱柱材料(如图一所示).某课外手工小组的同学将其中一个切掉一个三棱柱后拼接成如图二所示的“V型”几何体(正方形A1B1C1D1与正方形EFGH在同一平面内，A1，B1，E，F四点在一条直线上)，AB=2，AA1=10，∠A1AB=120°，∠A1AD=90°，则图二所示的几何体的体积为( )
A. 38 3B. 36 3C. 18 3D. 14 3
8.已知平面向量a，b，c，且|c|=2，向量a与c所成的角为60°，且|a+2tc|≥|a−c|对任意实数t恒成立，则|2a+b|+|b+c|的最小值为( )
A. 4 3B. 2 13C. 4 5D. 2 21
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(2,1)，b=(x,4)，则下列说法正确的是( )
A. |a|= 6B. 若a//b，则x=8
C. 若a⊥b，则x=−2D. 若2|a|=|b|，则x=2
10.已知随机事件A与B相互独立.若P(A)=35，且P(AB)=25，则( )
A. P(B)=23B. P(AB−)=25C. P(A−B)=415D. P(A∪B)=1215
11.如图，已知正三棱锥P−ABC的棱长均为6，点O为点P在底面ABC上的射影，G，M分别为线段PO，PC的中点，过点G作平面α与平面PBC平行，点Q为侧面PBC上一动点(含边界)，且AQ=2 7，则( )
A. PO=2 6
B. 平面α截三棱锥P−ABC所得截面的面积为25 34
C. 三棱锥P−ABC的内切球的表面积为 6π
D. 点Q的轨迹长度为2π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知样本x1，x2，…xn的方差是2，则样本 3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的方差是 ．
13.已知在△ABC中，D是线段AB上一点满足AD=3DB，连接CD，F在线段CD上，若AF=13AB+mAC，则m= ．
14.在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面边长为3，侧棱长为4，M为平面A1D1C内一动点，且满足DM⋅MB=0，则所有满足条件的点M所围成平面区域的面积是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位：kg)，并绘制频率分布直方图如图7所示．
(1)请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)；
(2)一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能90%地满足顾客的需求(即在10天中，大约有9天可以满足顾客的需求).请问每天应该进多少千克苹果？
16.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2ccsA= 3(acsB+bcsA)
(1)求角A；
(2)若△ABC的周长为3 3，且a= 3，求△ABC的面积．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，△PCD为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB/​/CD，CD⊥AD，PB=CD=4，AB=AD=2．
(1)求证：PB⊥CD；
(2)求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cs2A+cs2B2=cs2C+sinAsinB，点D为边AB上一点．
(1)求角C的大小；
(2)若CD是C的角平分线，c=9，△ABC的周长为19，求CD的长度；
(3)若D是边AB上靠近点A的一个三等分点，CD=tAD，求实数t的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC= 3，M是线段AD上的一动点，将△ABM沿着BM折起，使点A到达点A′的位置，满足点A′∉平面BCDM且点A′在平面BCDM内的射影E落在线段BC上．
(1)当点M与点D重合时，
①证明：A′B⊥平面A′CD；
②求二面角A′−BD−C的余弦值；
(2)设直线CD与平面A′BM所成的角为α，二面角A′−BM−C的平面角为β，求sin2α⋅csβ的最大值．
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】BC
10.【答案】AC
11.【答案】ABD
12.【答案】18
13.【答案】59
14.【答案】15350π
15.【答案】众数为85，平均数为89.75
每天应该进102.5千克苹果
16.【答案】解：(1)根据正弦定理边化角得2sinCcsA= 3(sinAcsB+sinBcsA)，
因此2sinCcsA= 3sin(A+B)= 3sin(π−C)= 3sinC，
因为C∈(0,π)，因此sinC≠0，
所以csA= 32，又因为A∈(0,π)，
因此A=π6．
(2)因为周长为3 3，且a= 3，因此b+c=2 3，
根据余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=(b+c)2−2bc−2bc× 32=3，
因此12−2bc− 3bc=3，解得bc=92+ 3=18−9 3，
因此三角形ABC的面积S=12bcsinA=12×(18−9 3)×12=18−9 34．
17.【答案】如图所示，取CD的中点E，连接PE，BE，
因为CD=2AB，AB/​/CD，所以DE/​/AB且DE=AB，
所以四边形ABED是平行四边形，则BE//AD，
因为CD⊥AD，所以BE⊥CD，
又△PCD为等边三角形，所以PE⊥CD，
因为PE∩BE=E，PE，BE⊂平面PBE，所以CD⊥平面PBE，
因为PB⊂平面PBE，所以PB⊥CD 217
18.【答案】2π3 1910 [ 3−1,2)
19.【答案】解：(1)①证明：

当点M与端点D重合时，由∠BAD=90°可知A′B⊥A′D，
由题意知A′E⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以A′E⊥CD，
又BC⊥CD，A′E∩BC=E，A′E⊂平面A′BC，BC⊂平面A′BC，
所以CD⊥平面A′BC，又A′B⊂平面A′BC，可知A′B⊥CD，
A′D∩CD=D，CD⊂平面A′CD，A′D⊂平面A′CD，
所以A′B⊥平面A′CD．
②

过E作EO⊥BD于点O，连接A′O．
因为A′E⊥平面BCD，BD⊂平面ABCD，所以A′E⊥BD，
因为EO⊥BD，A′E⊥BD，A′E∩EO=E，所以BD⊥平面A′OE，所以BD⊥A′O
所以∠A′OE为二面角A′−BD−C的平面角，
且在四边形ABCD中，A、O、E三点共线．
因为AB=1,AD= 3，由几何关系可得AO= 32,EO= 36
所以在Rt△A′EO中，cs∠A′OE=OEA′O= 36 32=13
即二面角A′−BD−C的余弦值为13．
(2)

过点E作EQ//CD交BM于Q，
所以直线EQ与平面A′BM所成的角即为直线CD与平面A′BM所成的角，
过E作EO⊥BM于点O，连接A′O．
由②同理可得BM⊥平面A′OE，BM⊂平面A′BM，
所以平面A′BM⊥平面A′OE，
作EH⊥A′O，垂足为H，
由平面A′BM∩平面A′OE=OE，EH⊂平面A′OE，可得EH⊥平面A′BM，
连接HQ，∠EQH是直线EQ与平面A′BM所成的角，即∠EOH=α，
因为△ABE∽△ABM，满足ABBE=AMAB，
设AM=t,0OE，
所以t t2+1>1t t2+1，
所以1