2025-2026学年广东省中山市高二（下）期末数学试卷

这是一份2025-2026学年广东省中山市高二（下）期末数学试卷，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若m是2和18的等比中项，则实数m的值是（ ）
A. 6B. -6或6C. 10D. -10或10
2.已知函数f（x）=2x，则f′（2）的值为（ ）
A. 4B. 4ln2C. D.
3.已知数列{an}满足：a1=2，，记数列{an}的前n项积为Tn，则T2026=（ ）
A. B. 2C. D. -2
4.已知函数y=f（x）（x∈R）的图象如图，则不等式xf′（x）＜0的解集为（ ）
A. B.
C. D. （-1，0）∪（1，3）
5.离散型随机变量X的分布列如下：
若E（X）=2.7，则下列结论错误的是（ ）
A. m+n=0.5B. E（3X-1）=7.1C. D（X）=0.81D. P（X＞2）=0.5
6.某公司人力资源部决定安排5名同事到3个人才市场进行人员招聘，每人只去一个人才市场，每个人才市场至少安排1人，则不同的安排方式共有（ ）
A. 80种B. 150种C. 240种D. 360种
7.某学习小组用计算机软件对一组数据（xi，yi）（i=1，2，3，⋯，8）进行回归分析，甲同学首先求出经验回归方程=2x+5，样本点的中心为（2，m）.乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据（3，7）误输成（7，3），数据（4，6）误输成（4，-6），将这两个数据修正后得到经验回归方程=x+k,则实数k=（ ）
A. -6B. C. D.
8.已知函数只有极小值，则一定有（ ）
A. a＞0B. a＜0C. b＞0D. b＜0
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知事件A，B满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
10.设{an}是任意等差数列，它的公差，前n项和，前2n项和与前3n项和分别为d,Sn，S2n，S3n，则下列等式中恒成立的是（ ）
A. Sn+2nd=S3nB. 3Sn+S3n=3S2n
C. Sn+S3n=2S2nD.
11.三次函数f（x）=x3-3x-a有且仅有两个零点x1，x2（x1＜x2），且f（0）＜0，则（ ）
A. a=2
B. f（x）的图象关于点（1，-4）对称
C. x1+x2=1
D. f（x）在区间（-2，m）（m＞-2）上有最大值，则m的取值范围是（-1，2]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列{an}的前n项和，则{an}的通项公式an= .
13.定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞2，f（0）=3，则不等式exf（x）＜2ex+1（其中e为自然对数的底数）的解集为 .
14.已知x，y，z∈N*，且x+y+z=8，记随机变量X为x，y，z中的最小值，则D（X）=______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知正项数列{an}满足a1=1，a2=2，a4=64，且.
（1）求k的值；
（2）求数列{an}的通项公式.
16.(本小题15分)
在的展开式中，第三项的二项式系数为15.
（1）求n的值并求展开式中的常数项；
（2）求展开式中x4的系数.
17.(本小题15分)
流感病毒进入人体后存在潜伏期，潜伏期指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间，潜伏期越长，传染给其他人的可能性越高.现抽样300个感染流感病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计得出样本潜伏期的平均数为2，方差为0.92，若把超过3天的潜伏期视为长潜伏期，按照统计样本，得到如下列联表：
（1）根据小概率值α=0.05的独立性检验，分析潜伏期长短是否与年龄有关.
（2）假设潜伏期X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似样本平均数，σ2近似为样本方差.
①医院对有流感症状患者的密切接触者要求隔离5天，请用概率知识解释其合理性.
②以题目中的样本数据估计概率，设800个病例中恰有k（k∈N*）个属于“长潜伏期”的概率是P（k），问当k为何值时，P（k）取最大值.
附：，n=a+b+c+d,
若ξ～N（μ，σ2），则P（μ-σ≤ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ≤ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ≤ξ≤μ+3σ）≈0.9973.
参考数据：，，.
18.(本小题17分)
现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球.现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从n-1号盒子里取出2个球放入n号盒子为止.
（1）当n=2时，求2号盒子里有2个红球的概率；
（2）当n=3时，求3号盒子里的红球的个数ξ的分布列；
（3）记n号盒子中红球的个数为Xn，求Xn的期望E（Xn）.
19.(本小题17分)
已知a＞0，函数f（x）=eax（x-a）2.
（1）证明：f（x）有唯一的极大值点和极小值点.
（2）记f（x）的极大值点为m,极小值点为n.
（i）求f（m）-f（n）的最小值；
（ii）设，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），证明：
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】ACD
10.【答案】BD
11.【答案】ACD
12.【答案】4n-5
13.【答案】（-∞，0）
14.【答案】
15.【答案】解：（1）当n=1时，，
当n=2时，；
（2）因为k=2，所以，则，
令，所以bn+1=2bn，则{bn}是等比数列，
因为，q=2，所以，所以，
则=．
16.【答案】n=6，常数项为160
72
17.【答案】依据小概率值α=0.05的独立性检验，可认为潜伏期长短与年龄有关
①因为X～N（2，0.92），P（μ-3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973，
所以，
这说明潜伏期超过5天的概率极低，因此隔离5天可以极大程度上排除发病可能是合理的
②k=186时P（k）取得最大值
18.【答案】解：（1）由题可知2号盒子里有2个红球的概率为；
（2）由题可知，ξ可取1，2，3，
，
，
，
所以3号盒子里的红球的个数ξ的分布列为：
（3）记an-1为第n（n≥2）号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，
bn-1为第n（n≥2）号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，
则第n（n≥2）号盒子有一个红球和三个白球的概率为1-an-1-bn-1，且，
化解得，
得，
而，则数列为等比数列，首项为，公比为，
所以，
又由，求得，
因此E（Xn）=1×an-1+2×bn-1+3×（1-an-1-bn-1）=3-2an-1-bn-1=2．
19.【答案】（1）证明：由题意a＞0，函数f（x）=eax（x-a）2，
对函数求导可得，
令f′（x）=0，可得x=a或，因为a＞0，所以，
则当时，f′（x）＜0，当或x＞a时，f′（x）＞0，
所以f（x）在上单调递减，在上单调递增，
所以f（x）有唯一的极大值点，唯一的极小值点a （2）（i）；（ii）证明：由题意知．
设ui=xi-x0（i=1，2，3），则，待证命题即．
设f（x1）=f（x2）=f（x3）=λ，
则．
再令，则t1，t2，t3是方程et（t-1）2=μ的三个根，只需证．
设h（t）=et（t-1）2，则h′（t）=et（t2-1），
可得h（t）在（-1，1）上单调递减，在（-∞，-1），（1，+∞）上单调递增，所以t1＜-1＜t2＜1＜t3．
①先证t1t2＜1：
即证，又，只需证，即．
设，则，
当t＜-1时，H′（t）⟨0，H（t）⟩H（-1）=1，
又t＜-1时，h（t）＞0，所以，故．
②再证：
因为h（t）的极大值为，所以，只需证明，即．
因为，所以．
综合①②，可得，从而原命题得证 X
1
2
3
4
P
m
0.3
n
0.2
年龄
潜伏期
合计
长潜伏期
非长潜伏期
低年龄段
40
100
140
高年龄段
30
130
160
合计
70
230
300
α
0.10
0.05
0.010
xα
2.706
3.841
6.635
ξ
1
2
3
P