广东省梅州市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷含解析（word版）

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【详解】由向量的定义知, 向量是既有大小又有方向的量,
其中力和速度是既有大小又有方向的量, 所以力和速度是向量,
密度, 长度只有大小, 没有方向, 所以密度和长度不是向量.
2. A
【分析】 1−iz=2i
【详解】由 1−iz=2i 得 z=2i1−i=i1+i=−1+i ,故选 A.
【考点定位】本小题主要考查复数的四则运算, 复数在高考中主要以小题形式出现, 属容易题, 主要考查复数的概念、几何意义与四则运算是基础内容.
3. D
【分析】根据线线平行的判定及空间中直线的位置关系,逐一验证各选项条件能否推出 a//b ,选出满足充分条件的选项.
【详解】选项 A: 若 a//α,b//α, 则 a 与 b 的位置关系可能为平行、相交或异面,无法推出 a//b ,故 A 错误;
选项 B: 空间中垂直于同一条直线的两条直线,位置关系可能为平行、相交或异面,故由 a⊥c,b⊥c 无法推出 a//b ,故 B 错误;
选项 C:若 a⊂α ， b⊂β ，且 α//β ，则两个平行平面内的直线可能平行或异面，无法推出 a//b ，故 C 错误； 选项 D: 若 a⊂α,b⊂α ,则 a,b 为同一平面内的两条直线,又 a∩b=⌀ 即两直线无公共点,根据平面内平行直线的定义,可推出 a//b ,故 D 正确.
4. D
【分析】根据折线图读取 5 个月的销量数据, 分别计算中位数、极差、方差及增长率, 逐一判断各选项的正误即可.
【详解】由折线图可知, 该品牌新能源汽车 2026 年前 5 个月的销量 (单位: 万辆) 分别为
1.6,2.2,2.8,2.5,2.4.
A，将这 5 个数据从小到大排列为1.6,2.2,2.4,2.5,2.8，位于中间位置的数是 2.4，所以中位数为 2.4 万辆，故正确;
B，这 5 个月销量的最大值为 2.8 ，最小值为 1.6 ，所以极差为 2.8−1.6=1.2 万辆，故正确；
C,前 3 个月的数据为1.6,2.2,2.8,其平均数 1.6+2.2+2.83=2.2 ,
方差 13×1.6−2.22+2.2−2.22+2.8−2.22=13×0.36+0+0.36=0.24 ;
后 3 个月的数据为2.8,2.5,2.4,其平均数 2.8+2.5+2.43=7.73 ,
方差 13×2.8−7.732+2.5−7.732+2.4−7.732=13×0.732+−0.232+−0.532=0.7827≈0.029 .
因为 0.24>0.029 ,所以前 3 个月销量的方差比后 3 个月销量的方差大,故正确;
D,二月份相对于一月份的增长率为 2.2− ,三月份相对于二月份的增长率为
2.8−
因为 38≠311 ,所以三月份的增长率与二月份的不相等,故错误.
5. A
【分析】先由已知点得出向量坐标,再应用比例得出 AP=13AB=1,1 ,进而得出点的坐标
【详解】因为点 A0,1,B3,4 ,所以 AB=3,3 ,
因点 P 是线段 AB 上靠近 A 的三等分点,
故 AP=13AB=1,1 ,
则点 P 坐标为 0+1,1+1=1,2 ;
6. A
【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦,利用两角和公式化简求得 sinA 的值进而求得 A , 判断出三角形的形状.
【详解】根据正弦定理,由 bcsC+ccsB=asinA ,可得:
sinBcsC+sinCcsB=sin2A .
因为 sinB+C=sinπ−A=sinA ,
所以 sinA=sin2A .
因为 A∈0,π,sinA≠0 ,
所以 sinA=1 ,即 A=π2 ,
故 △ABC 是直角三角形.
7. C
【分析】应用组合数及古典概型公式计算求解.
【详解】从 5 个球中随机取 2 个的总取法为 C52=10 种,
取出 1 个红球 1 个蓝球的取法为 C21×C31=6 种,
所以取出的球为 1 个红球和 1 个蓝球的概率为 610=35 .
8. B
【分析】根据球恰与圆台的上下底面和侧面均相切得到侧棱长, 进而求出球半径, 计算球的表面积.
【详解】
该球恰与圆台的上下底面和侧面均相切,如图设球的半径为 r ,
所以圆台的高 MN=2r ,
由图可得 DG=MD=1,CG=NC=2 ,则 DC=1+2=3 ,
在直角梯形 CNMD 中, 2r=32−2−12=22 ,解得 r=2 ,
故该球的表面积为 4πr2=8π .
9. BC
【分析】根据平面向量基本定理, 利用向量的加法、减法及共线向量性质, 将目标向量用基底向量表示出来.
【详解】
AB//CD,AB=2CD ,所以 CD=−12AB ,选项 A 错误;
BD=AD−AB ,选项 B 正确;
CB=CD+DB=−12AB−AD+AB=12AB−AD ,选项 C 正确;
EB=2CE,AE=AB+BE=AB−23CB=AB−2312AB−AD=23AB+23AD ,
选项 D 错误.
10. ABD
【分析】对于 A ,利用线面垂直易得; 对于 B ,证明 BC1//MP ,利用线面平行的判定定理即得; 对于 C , 通过计算 △PNM 的三边长,利用勾股定理即可判断; 对于 D ,依题意作出平面 PMN 截正方体所得截面, 再说明其为正六边形即可.
【详解】对于 A ,在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, AA1⊥ 平面 ABCD ,因 MN⊂ 平面 ABCD ,则 AA1⊥MN , 故 A 正确;
对于 B ,在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, AB//A1B1//D1C1,AB=A1B1=D1C1 ,
因 M,P 分别是 AB 和 C1D1 的中点,则 PC1//MB,PC1=MB ,即四边形 MBC1P 为平行四边形,
则 BC1//MP ,又因 BC1⊄ 平面 PMN,MP⊂ 平面 PMN ,故 BC1// 平面 PMN ,即 B 正确;
对于 C ,设正方体的棱长为 2,则 PN=22+12+12=6,MN=12+12=2 ,
PM=22+22=22 ，因 PN2+MN2=PM2 ，则 ∠PNM=90∘ ，故 C 错误；
对于 D ,如图取 B1C1 的中点 Q ,连接 PQ,B1D1,BD ,因 M,N,P 分别是 AB,AD,C1D1 的中点，
则易得 PQ//B1D1//BD//MN ，设平面 PMN 截正方体所得截面为 α ，因平面 ABCD// 平面 A1B1C1D1 ，
则 PQ 即平面 α 与正方体的一条截线; 延长 MN 和 CD 交于点 K ,连接 KP ,交 DD1 于点 O ,连接 ON ,
易得 AM=DK=D1P ，故点 O 为 DD1 的中点， OP,ON 为平面 α 的另两条截线，
取 BB1 的中点 R ，连接 QR,RM ，同理可证 QR//ON,RM//OP ，则六边形 MNOPQR 即平面 PMN 截正方体所得截面 α ,
显然该六边形六边相等,且利用 PM=OR=QN 可得六边形的六个内角均为 120∘ ，则六边形 MVOPQR 为正六边形, 故 D 正确.
11. BCD
【分析】根据复数的模、复数的几何意义、复数的概念判断各选项.
【详解】A，等式左边是实数，右边是虚数，不可能相等，A 错；
B,若 z12=z22 ,则 z12=z22 ,即 z12=z22 ,所以, z1=z2 , B 正确;
C,若复数 z 满足 z−3=1 ,则 z 对应的点在以 C3,0 为圆心,1 为半径的圆上, 而 z+i 可理解为圆 C 上的点到 A0,−1 的距离 d ,由图知 dmax=CA+1=32+12+1=3 , C 正确;
D,由 x3−1=0 得 x−1x2+x+1=0 ,所以 x=1 或 x2+x+1=0 , 由 x2+x+1=0 解得 x=−12±32i , D 正确.
12. 12##0.5
【分析】将“两人恰有一人命中”拆分为两个互斥的独立事件的并集，分别计算概率后求和即可得到结果.
【详解】设事件 A 表示“小光投篮命中”,事件 B 表示“小明投篮命中”,
由题意知, A 与 B 为相互独立事件,且 PA=23,PB=12 ,
则“两人中恰有一人投篮命中”对应事件为 AB∪AB ,其中 AB 与 AB 为互斥事件,
根据互斥事件的概率加法公式及独立事件的概率乘法公式得:
PAB∪AB=PAB+PAB=PAPB+PAPB
=23×1−12+1−23×12=12 .
13. 2
【分析】利用方程实根为实数的性质, 分离方程的实部与虚部, 根据复数为零的充要条件列方程组求解.
【详解】因为 x 为实数,整理方程得 x2+x−6+x−2i=0 ,所以 x2+x−6=0x−2=0 ,解得 x=2 .
14. 14
【分析】取 AC 中点 O ,结合已知条件计算相关边长,过点 P 作 PH⊥ 平面 ABC ,垂足为 H ,连接 OH ,利用几何法找到二面角的平面角,进而计算出 PH,OH ,利用几何法计算 BH ,进而求出 PB .
【详解】取 AC 中点 O ,连接 PO ,已知侧面 PAC 是一个等边三角形,
故 PO⊥AC,PO=32AC=3,OC=12AC=1 ,
底面 ABC 是一个等腰直角三角形, ∠ACB=90∘ ,则 BC⊥AC,BC=AC=2 ,
过点 P 作 PH⊥ 平面 ABC ,垂足为 H ,连接 OH ,
因为 AC⊂ 平面 ABC ,则 PH⊥AC ,
又 PO⊥AC,PO∩PH=P ,则 AC⊥ 平面 POH ,
因为 OH⊂ 平面 POH ,则 OH⊥AC ,
已知二面角 P−AC−B 为 150∘ ,则 H,B 在 AC 两侧,故 ∠POH=180∘−150∘=30∘ ,
则 PH=PO⋅sin30∘=3×12=32,OH=PO⋅cs30∘=3×32=32 ,
由 OH⊥AC,BC⊥AC ,得 OH//BC ,
作 OB1//BC,OB1=BC ,则 BB1⊥OB1 ,
则沿 AC 方向的距离 BB1=OC=1 ,
垂直于 AC 方向的距离 HB1=OH+BC=32+2=72 ,
故 BH=BB12+B1H2=12+722=532 ,
故 PB=PH2+BH2=534+322=14 .
15. 10.02
(2) 4
【分析】(1) 由频率分布直方图中所有小长方形的面积和为 1,可求出 a ;
(2)先求 85,100 的总频数，利用分层抽样即可求解.
【详解】(1) 由题意得: a×5+0.04×5+0.05×5+0.07×5+a×5=1 ，解得 a=0.02 ；
(2)由题意得: [85,90) 的频率为 0.05×5=0.25 ，频数为 100×0.25=25 人，
[90,95) 的频率为 0.07×5=0.35 ，频数为 100×0.35=35 人，
95,100 的频率为 0.02×5=0.1 ,频数为 100×0.1=10 人,
所以 85,100 的总频数为: 25+35+10=70 ,
现从这 70 名学生中采用分层随机抽样的方法抽取 28 名学生,
所以在 95,100 内被抽取的人数为 10×2870=4 (人).
16. (1)A=π3
(2)0,32∪6,+∞
【分析】(1)利用余弦定理结合三角形内角范围即可求得角 A ;
(2)分钝角为 B 、钝角为 C 两类情况讨论，结合余弦定理转化为边的不等式，即可求得 b 的取值范围.
【详解】(1)在 △ABC 中，由余弦定理， a2=b2+c2−2bccsA ，又因 a2=b2+c2−bc ， 可得 −2bccsA=−bc ,即 csA=12 ,又 A∈0,π ,因此 A=π3 ;
(2)因 A=π3 为锐角，故钝角只能为 B 或 C ，分两类情况讨论:
① 若 C 为钝角，则 csC