青海西宁市大通县2025-2026学年高二下学期期末检测数学试卷（含解析）

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1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数在区间上的平均变化率为（ ）
A. 3B. 6C. 8D. 12
【答案】B
【解析】
【详解】由题意可知函数在区间上的平均变化率为．
2. 从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从A村经B村去C村，则不同的路线有几条？（ ）
A. 5B. 6C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由分步乘法原理即可得出答案.
【详解】解：从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，
根据分步乘法原理可得从A村经B村去C村，则不同的路线有条.
故选：B.
3. 已知随机变量的分布列为
则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由随机变量分布列的性质知，解得.
4. 根据下表数据得到关于的线性回归方程，则（ ）
A. 0.5B. 1C. 2.5D. 4.5
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的数表求出样本的中心点，再利用回归直线方程求出的值.
【详解】
所以，解得.
5. 某班6人（含学生甲）站成一排拍照，若甲不站最右端也不站最左端，则不同站法数为（ ）
A. 720B. 480C. 360D. 240
【答案】B
【解析】
【详解】先安排甲从除最左端和最右端的4个位置中选一个站，有种站法，
将剩余的人任意排序，有种站法．
由分步乘法计数原理可得，不同站法数有种．
6. 余弦曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】因为，则，可得曲线在点处的切线斜率为，
则曲线在点处的切线方程为，即．
7. 甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用条件概率公式求解即可
【详解】事件表示甲乙两人都不去A景点，，
事件表示甲乙两人都去A景点，，
所以．
8. 已知随机变量，随机变量，则（ ）
A. -12B. -4C. 4D. 12
【答案】D
【解析】
【详解】因为，所以.
所以．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列区间中，单调递减的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据导函数的符号和原函数的单调性的关系即可得到答案．
【详解】由函数的图象，可得当时，，
所以在和上单调递减．
10. 通过随机抽样，得到变量和变量的7对数据，并绘制成散点图如图所示，已知变量和变量线性相关，且回归直线是图中直线，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线的斜率是负数
B. 变量与变量正相关
C. 相关系数
D. 若去掉图中点后，剩余数据的相关系数变大
【答案】AC
【解析】
【分析】根据数据的散点图，结合相关性、相关系数的概念与定义，逐项判定，即可得解.
【详解】对于A、B、C：由图可知直线的斜率是负数，所以变量与变量负相关，相关系数，故A、C正确，B错误；
对于D：若去掉图中点后，剩余的数据会更集中，相关程度会更高，相关系数的绝对值变大，又，所以相关系数变小，故D错误.
故选：AC.
11. 甲、乙、丙、丁四名大学生到A，B，C三家公司参加实习工作，每名大学生仅去一家公司实习，每家公司至少安排一名大学生，则下列说法正确的是（ ）
A. 共有36种不同的安排方法
B. 若C公司需要两名大学生，则有12种不同的安排方法
C. 若甲不能安排在C公司，则有24种不同的安排方法
D. 若甲、乙不能在同一家公司，则有27种不同的安排方法
【答案】ABC
【解析】
【详解】先将四人分为三组，人数为2,1,1，有种分法，分配到三家公司，有种分法，所以共有种不同的安排方法，故A正确；
若C公司需要两名大学生，先选2人去C公司，有种；剩余2人必须分别去A和B，有种，共 种，故B正确；
若甲不能安排在C公司，分类计算：
第一类：C公司安排1人，甲不能去C，因此从剩余3人中选1人去C，共种选法；
剩余3人分到A，B公司（每家至少1人），共有种安排，这类总方法：.
第二类：C公司安排2人，甲不能去C，因此从剩余3人中选2人去C，共种选法；
剩余2人全排列到A，B公司，共种安排，这类总方法：.
总安排方法为种，因此C选项说法正确；
甲，乙在同一家公司的安排方法有种，所以甲，乙不能在同一家公司的安排方法有种，故D错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在的展开式中，各项系数的和是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据赋值法，令即得结果.
【详解】令，则，
即二项式的展开式中各项系数的和是.
故答案为：.
13. 已知随机变量，且，________．
【答案】
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性即可得到答案．
【详解】因为随机变量，且，则，
所以．
14. 在A、B、C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有，，的人患了流感假设这三个地区的人口比例为5：7：8，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为______
【答案】
【解析】
【分析】根据概率的意义计算．假设三个地区总人口为200人，然后求出患流感的总人数后可得．
【详解】假设三个地区总人口为2000人，
因为A、B、C三个地区人口比例为5：7：8，因此可得A、B、C三个地区人口数分别为500、700、800，
又这三个地区分别有，，的人患了流感，所以这三个地区患了流感的人数分别为，，，
所以所求概率为．
故答案为：0.0485．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某大学想了解本校学生对食堂的满意度情况，对该大学的100名学生进行食堂满意度调查，调查结果如表所示：
（1）补全列联表；
（2）根据小概率值的独立性检验，分析该大学的学生对食堂的满意度是否与年级有关联.
附：.
【答案】（1）列联表如下：
（2）该校学生对食堂的满意度与年级有关联.
【解析】
【分析】（1）根据表格直接将表格补齐；
（2）根据独立性检验，代入与目标数值比较可得结论.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
零假设：该校学生对食堂的满意度与年级无关.
经计算得，
依据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立，即该校学生对食堂的满意度与年级有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1.
16. 求下列各式的二项展开式中指定各项的系数.
（1）的含的项；
（2）的常数项.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）先求解通项公式，令可得含的项，进而可得其系数；
（2）先求解通项公式，令的指数为0，可求常数项.
【详解】（1）的展开式的通项公式为，
令，可得，即含的项的系数为.
（2）的通项公式为，
令，得，即常数项为.
17. 已知函数满足
（1）求的解析式；
（2）求在区间的最大值与最小值．
【答案】（1）
（2）最大值为1，最小值为
【解析】
【分析】（1）先求导，再求得，最后代入解析式即可得答案；
（2）求导研究函数在上的单调性，再结合极值与区间端点值的大小即可求得最值.
【小问1详解】
解：因为，
所以，，解得
【小问2详解】
解：由（1）可知，
令得或，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
又
即最大值为1，最小值为．
18. 一个不透明的袋子中有个大小相同的球，其中有个白球､个黑球，从中随机依次摸出个球作为样本，用表示样本中白球的个数.
（1）若有放回地摸球，求的概率；
（2）若不放回地摸球，求的分布列与数学期望.
【答案】（1）
（2）的分布列为：
期望
【解析】
【分析】（1）根据题意，可知有放回地摸球，白球的个数服从二项分布，结合二项分布的性质即可求解；
（2）根据题意，可知不放回地摸球，白球的个数服从超几何分布，结合超几何分布的性质即可求解.
【小问1详解】
若有放回地摸球，每次摸到白球的概率为，且各次摸球之间的结果是独立的，所以，
所以，
即的概率为.
【小问2详解】
若不放回地摸球，则服从超几何分布，且的所有可能取值为，
所以，
的分布列为：
所以期望.
19. 已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）若是的极大值点，求的取值范围．
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，再根据导数的符号即可得出答案；
（2）分，，和四种情况讨论，再结合已知即可得解.
【小问1详解】
的定义域为，
，
因为，所以，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
故的单调递增区间为，单调递减区间为；
【小问2详解】
由（1）可知，当，是的极小值点，不符合题意；
当时，在上恒成立，不符合题意；
当时，，
若时，，若或时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
则为的极小值点，不符合题意；
当时，，
若时，，若或时，；
在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
则为的极大值点，符合题意．
综上所述，的取值范围为．1
2
3
4
1
2
3
4
1
4
5
8
满意
不满意
合计
大一或大二
20
大三或大四
20
60
合计
100
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
满意
不满意
合计
大一或大二
20
20
40
大三或大四
40
20
60
合计
60
40
100