陕西省西安市西安高新第一中学2025-2026学年七年级下学期期末考试 数学试题（含解析）

这是一份陕西省西安市西安高新第一中学2025-2026学年七年级下学期期末考试 数学试题（含解析）试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 剪纸艺术是中国传统文化的瑰宝，下列剪纸图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长可以是（ ）
A. B. C. D.
3. 跳高运动员跳跃横杆这一过程中，他所处的高度与时间之间的关系可以用图象近似的刻画为（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树；
②沿河岸直走有一树，继续前行到达处；
③从处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处停止行走；
④测得的长为，利用全等三角形的性质，可得河宽也为．
图中和全等的依据是（ ）
A. B. C. D.
6. 下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D. ，，
7. 如图，点是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点．已知，，点为上一点，若满足，则的长度为（ ）
A. B. C. 或D. 或
8. 中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心．如图所示，在底面周长为，高为的柱子上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在柱子上的巨龙长至少为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9. 在单词“”中任选一个字母，这个字母为“u”的概率为_______．
10. 等腰三角形的顶角是，则它的一个底角是______°．
11. 已知，△ABC≌△DEF， BC＝EF＝6cm，△ABC的面积为18cm2 ，则EF边上的高是____ cm．
12. 自国家卫生健康委员会等多部门提出“体重管理年”的全民健康行动后，有越来越多的人更加关注自己的身体健康问题．体重千克的小丽做了一个可行的“瘦身计划”，计划平均每天减掉千克，天（）后的体重为千克，则与的关系式为_______．
13. 如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为，小臂到地面的距离约，则适合小明的绳长为____．
14. 如图，等边三角形的边长为8，是边上的中线，F是边上的动点，E是边的中点．当的周长取得最小值时，的度数为____________°．
三、解答题（共9小题，计78分．解答应写出过程）
15. 计算：
（1）；
（2）；
（3）．
16. 先化简，再求值：，其中，．
17. 如图，已知，，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
18. 图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准．
19. 在一个不透明的袋子中装有蓝色和红色小球共个，每个小球除颜色外都相同．小明和小亮做摸球试验，将袋子中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作一次试验．不断重复上述过程，大量摸球试验后，累计试验结果，将摸到蓝球的频率绘制成如下折线统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请估计袋子中蓝球的个数是 ；
（2）小明和小亮向袋子中再放入个除颜色以外都相同的红球，开始游戏：将袋子中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸到蓝球小明获胜，摸到红球小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请你比较概率大小，加以说明．
20. 如图，在中，是边上一点，垂直平分，垂直平分，垂足分别为，．
（1）若，则 ；
（2）判断的形状，并说明理由．
21. 科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律地变化．某数学兴趣小组查阅资料，得到气温和声音在空气中传播速度的部分对应数据如下表：
观察表格，解决以下问题：
（1）声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为 ；
（2）某日的气温为，小亮看到烟花燃放后听到了声响，则小亮与燃放烟花所在地大约相距多远？
22. 如图，在中，点在边的延长线上，平分，于点，于点，且，连接，．
（1）线段与相等吗？请说明理由；
（2）若比大，且点，，在同一条直线上，求的度数．
23. 问题提出
（1）如图，在中，，，直线经过点，过点，分别作直线的垂线，垂足为，，则线段，，的数量关系是；
（2）问题探究：如图，在四边形中，点在边上，连接，，，．若，求的长；
（3）问题解决：为弘扬中医药文化，某中学开展主题为“校园百草园”的种植实践活动．如图，是学校现有的型劳动实践基地的平面示意图．学校拟对该基地进行扩建种植中草药，以为直角边向外作等腰直角三角形，扩建完成后，将整体地块划分：区域种植板蓝根，区域种植紫苏．经测量：，．请你在图中画出图形，并直接写出种植板蓝根区域的面积．
数学
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 剪纸艺术是中国传统文化的瑰宝，下列剪纸图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
2. 已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长可以是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，再判断选项即可得到结果．
解答过程：解：设第三边长为，
∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，
∴，
即，
四个选项中只有在该范围内，因此第三边长可以是．
3. 跳高运动员跳跃横杆这一过程中，他所处的高度与时间之间的关系可以用图象近似的刻画为（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：本题考查了函数的图象，解答本题的关键是分析每种情形下函数值与自变量的变化关系．根据跳高运动员跳跃横杆时，开始要向上运动的，到最大高度后，会下落，高度就会降低，进一步求解即可．
解答过程：解：因为运动员跳跃横杆时高度在上升到最大高度，然后会下落，高度就会降低，与C图象符合．
故选：C．
4. 如图，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据平行线的性质及平角的定义进行计算即可．
解答过程：解：如图所示，
∵，，，
∴，
∴．
5. 某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树；
②沿河岸直走有一树，继续前行到达处；
③从处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处停止行走；
④测得的长为，利用全等三角形的性质，可得河宽也为．
图中和全等的依据是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：先根据垂直条件得到一组直角相等，再由已知线段长度得到一组边相等，最后利用对顶角相等得到另一组角相等，满足两角及其夹边对应相等，用判定三角形全等．
解答过程：解：由①③知：，，点、、共线，
∴，
由②知：，，
∴，
由④知：，
∵与是对顶角，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴图中和全等的依据是．
6. 下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D. ，，
答案：D
解析：
思路：利用三角形内角和定理判断角度类选项，根据勾股定理判断边长类选项，据此找出不能判定为直角三角形的选项即可．
解答过程：解：A选项：∵，符合勾股定理的逆定理，
∴是直角三角形，不符合题意；
B选项：设，
∵三角形内角和为，
∴，
解得，
∴，是直角三角形，不符合题意；
C选项：∵，且，
∴，解得，
∴是直角三角形，不符合题意；
D选项：计算得，，
∵，验证其余组合后，任意两边平方和也不等于第三边的平方，不符合勾股定理的逆定理，
∴不是直角三角形，符合题意．
7. 如图，点是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点．已知，，点为上一点，若满足，则的长度为（ ）
A. B. C. 或D. 或
答案：D
解析：
思路：如图，过点作于点，由角平分线的性质得，，证明得，而，则，证明得，再分两种情况讨论，一是点在线段上，则，二是点在线段的延长线上，则，于是得到问题的答案．
解答过程：解：如图，过点作于点，
∵点是的角平分线上一点，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点为上一点，点是线段上一点，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
如图1，点在线段上，
此时；
如图2，点在线段的延长线上，
，
此时，
综上所述，的长度为或．
8. 中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心．如图所示，在底面周长为，高为的柱子上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在柱子上的巨龙长至少为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
答案：B
解析：
思路：将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案．
解答过程：解：如图，
根据题意可得，柱身高为米，底面周长为米，
∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕圈到达柱顶正上方的点，
∴，，，，，，
∴，
∴（米），
∴雕刻在柱子上的巨龙长至少为米．
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9. 在单词“”中任选一个字母，这个字母为“u”的概率为_______．
答案：
解析：
思路：先确定所有等可能的结果总数，再确定字母为的结果数，代入概率公式计算即可．
解答过程：解：单词“”中共有个字母，任选一个字母，所有等可能的结果共有种，其中字母为的结果只有种，根据概率公式可得所求概率为．
10. 等腰三角形的顶角是，则它的一个底角是______°．
答案：30
解析：
思路：根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理，即可计算出底角的度数．
解答过程：解：设底角的度数为，
由题意得，
，
解得．
11. 已知，△ABC≌△DEF， BC＝EF＝6cm，△ABC的面积为18cm2 ，则EF边上的高是____ cm．
答案：6
解析：
解答过程：本题还可根据全等三角形的对应边上的高相等，求出BC边上的高，即可得到EF边上的高．
解：∵△ABC≌△DEF
∴S△DEF=S△ABC=18cm
设EF边上的高为h，则EF·h=18
即×6×h=18
h=6
故填6．
12. 自国家卫生健康委员会等多部门提出“体重管理年”的全民健康行动后，有越来越多的人更加关注自己的身体健康问题．体重千克的小丽做了一个可行的“瘦身计划”，计划平均每天减掉千克，天（）后的体重为千克，则与的关系式为_______．
答案：（且x为整数）
解析：
思路：解题思路是梳理实际问题中的等量关系，即天后的体重等于初始体重减去天一共减掉的体重，代入对应数量整理即可得到关系式．
解答过程：解：由题意可知，小丽初始体重为千克，平均每天减掉千克，则天一共减掉的体重为千克，
根据等量关系：天后体重初始体重天减掉的体重可得：
，
又∵天数为非负整数，且题目给出，
∴自变量范围为且x为整数，
即与的关系式为（且x为整数）．
13. 如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为，小臂到地面的距离约，则适合小明的绳长为____．
答案：
解析：
思路：本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．如图，过A作于D，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
解答过程：解：如图，过A作于D，
∵，
∴ ，
在中，，
∴，
∴绳长为；
故答案为：．
14. 如图，等边三角形的边长为8，是边上的中线，F是边上的动点，E是边的中点．当的周长取得最小值时，的度数为____________°．
答案：60
解析：
思路：本题考查了轴对称——最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质．过E作，交于M，交于N，连接交于F，连接，推出M为中点，求出E和M关于对称，则此时的值最小，的周长最小，根据等边三角形性质求出，，即可求出答案．
解答过程：解：如图，过E作，交于M，交于N，连接交于F，连接，
∴，
∵是等边三角形， E是边的中点．
∴，
∴，为等边三角形，
∴，
∴，
∵是边上的中线，是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴E和M关于对称，
则此时的值最小，的周长最小，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴
由轴对称的性质可得：，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共9小题，计78分．解答应写出过程）
15. 计算：
（1）；
（2）；
（3）．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）根据零指数幂、负整数指数幂及实数的乘法将原式化简，再进行加减运算；
（2）根据积的乘方及单项式乘单项式的运算法则将原式化简，再进行合并即可；
（3）根据多项式乘多项式及单项式乘多项式的运算法则将原式展开，再进行合并即可．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
16. 先化简，再求值：，其中，．
答案：，
解析：
思路：根据完全平方公式及平方差公式将中括号内的多项式展开，然后进行减法运算，再进行除法运算，最后将，代入计算即可．
解答过程：解：
，
当，时，
原式．
17. 如图，已知，，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
答案：过点作于点，则点即为所作．
解析：
思路：过点作于点，由三角形内角和定理可推出，则．
解答过程：略
18. 图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准．
答案：
该车符合安全标准．
理由：∵，，，，
∴，
在中，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴该车符合安全标准．
解析：
思路：本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可得出结论．熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
解答过程：略
19. 在一个不透明的袋子中装有蓝色和红色小球共个，每个小球除颜色外都相同．小明和小亮做摸球试验，将袋子中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作一次试验．不断重复上述过程，大量摸球试验后，累计试验结果，将摸到蓝球的频率绘制成如下折线统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请估计袋子中蓝球的个数是 ；
（2）小明和小亮向袋子中再放入个除颜色以外都相同的红球，开始游戏：将袋子中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸到蓝球小明获胜，摸到红球小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请你比较概率大小，加以说明．
答案：（1）
（2）游戏对双方公平，理由如下：
共有种等可能的结果，其中摸到蓝球的有种，摸到红球的有种，
∴（小明获胜）；（小亮获胜）；
又∵，
∴游戏对双方公平．
解析：
思路：（1）大量重复试验下摸到蓝球的频率可以估计摸到蓝球的概率，据此求解；
（2）确定摸到蓝球的有种，摸到红球的有种，然后根据概率公式计算并比较后即可作出判断．
（1）解：观察折线统计图发现随着摸球次数的增多摸出蓝球的频率逐渐稳定在附近，
估计袋子中蓝球的个数是：（个）；
（2）略
20. 如图，在中，是边上一点，垂直平分，垂直平分，垂足分别为，．
（1）若，则 ；
（2）判断的形状，并说明理由．
答案：（1）
（2）是直角三角形，理由如下：
如（1）题图，
∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴，，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，即，
∴是直角三角形．
解析：
（1）解：如图，连接，
∵垂直平分，垂直平分，，
∴，，
∴，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴；
（2）略
21. 科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律地变化．某数学兴趣小组查阅资料，得到气温和声音在空气中传播速度的部分对应数据如下表：
观察表格，解决以下问题：
（1）声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为 ；
（2）某日的气温为，小亮看到烟花燃放后听到了声响，则小亮与燃放烟花所在地大约相距多远？
答案：（1）
（2）小亮与燃放烟花所在地大约相距
解析：
思路：（1）观察表格数据，气温每增加，声速增加，由此得到的数量关系；
（2）把代入解析式求出对应声速，再根据路程速度时间计算距离．
（1）解：由表格可知，时，；气温每升高，声速增加．
因此关系式为：．
（2）解：当气温时，代入解析式求声速：
，
声音传播时间为，则两地距离：
．
22. 如图，在中，点在边的延长线上，平分，于点，于点，且，连接，．
（1）线段与相等吗？请说明理由；
（2）若比大，且点，，在同一条直线上，求的度数．
答案：（1），理由如下：
∵平分，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解析：
思路：（1）根据角平分线的性质及垂直的定义得，，证明，即可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质及等边对等角得，，设，，可得，求出，，证明得，最后根据角平分线的定义可得答案．
（1）略
（2）解：由（1）知：，，
∴，，
设，，
∵比大，且点，，在同一条直线上，
∴，
∴，
∴，即，
∴中，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
23. 问题提出
（1）如图，在中，，，直线经过点，过点，分别作直线的垂线，垂足为，，则线段，，的数量关系是；
（2）问题探究：如图，在四边形中，点在边上，连接，，，．若，求的长；
（3）问题解决：为弘扬中医药文化，某中学开展主题为“校园百草园”的种植实践活动．如图，是学校现有的型劳动实践基地的平面示意图．学校拟对该基地进行扩建种植中草药，以为直角边向外作等腰直角三角形，扩建完成后，将整体地块划分：区域种植板蓝根，区域种植紫苏．经测量：，．请你在图中画出图形，并直接写出种植板蓝根区域的面积．
答案：（1）
（2） （3），种植板蓝根区域的面积为或
解析：
思路：（1）证明，即可得到数量关系；
（2）过点作于，过点作于，证明，结合等腰三角形性质可得的长；
（3）分和构造三垂线全等求的面积即可．
（1）证明：，
，
，，
，
，
∴，
在和中：
，
，，
，
．
（2）解：过点作于，过点作于，
，
，
，
，
，
∴，
∵，
，
∴，
，
是等腰三角形，
，
，
，
由全等：，
，
是等腰三角形，
，
．
（3）解：过作于，
，
情况1：（），
过作交延长线于，
，
，
，
，
又，，
，
得：，，
；
情况2:（），
过作交延长线于，
由情况一，同理得
得，
，
．
综上，种植板蓝根区域的面积为或．气温
声音在空气中的传播速度
气温
声音在空气中的传播速度