青海海东市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（含解析）

这是一份青海海东市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 已知，则， 已知向量，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册、第二册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为，所以．
2. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】，则．
3. 如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由斜二测直观图可知，且，
则的面积．
4. 已知函数则（ ）
A. 7B. 10C. 13D. 16
【答案】C
【解析】
【详解】由题意可得：，所以.
5. 如图，在△ABC中， E是AD的中点，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的加减法结合平面向量的线性表示计算求解.
【详解】在中， E是的中点，
则.
故选：D.
6. 以下对函数的图象的变换中，可以得到函数的图象的是（ ）
A. 先将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移个单位长度
B. 先将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移个单位长度
C. 先将的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
D. 先将的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
【答案】C
【解析】
【详解】对于选项A，得到函数的图象；
对于选项B，得到函数的图象；
对于选项C，得到函数的图象；
对于选项D，得到函数的图象．
C选项正确.
7. 已知点在点的正西方向，为了测量A, B 两点之间的距离，在观测点处测得在的北偏西方向，在的北偏东方向，且两点之间的距离为20米，则两点之间的距离为（ ）
A. 米B. 米
C. 米D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意作图，利用正弦定理求得，根据两角和的正弦公式计算得，代入计算即可得解.
【详解】根据题意作图，
则，,，
在中，根据正弦定理，，
即，则，
因为，
所以，.
即两点之间的距离为米.
故选：A.
8. 掷两枚均匀的骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件A，“两个点数都是奇数”为事件，“两个点数之和是偶数”为事件，“两个点数之积是奇数”为事件，则（ ）
A. 事件与事件互为对立事件
B. 事件与事件相互独立
C. 事件与事件不相互独立
D. 事件与事件互斥
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意列出事件A，事件B，再根据对立事件、独立事件、互斥事件的概念判断即可.
【详解】依题意，可用表示掷两枚骰子得到的点数，则，
对于，
而，
显然事件A与事件互斥但不对立，如，但，故A错误；
对于B，易得，故，
因为，所以，
而，则，则，
即事件与事件不相互独立，故B错误；
对于C，，而，则，
因为，所以，而
，
所以事件A与事件不相互独立，故C正确；
对于D，由以上分析可知，那么事件与事件不互斥，故D错误.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【详解】对于A：因为，由的单调性可得，故A正确．
对于B：因为，所以，所以，故B不正确．
对于C：因为，所以，，所以，故C正确．
对于D：因为，所以，所以，D不正确．
10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 与的夹角为钝角D. 在上的投影向量的坐标为
【答案】ABD
【解析】
【分析】借助向量数量积的坐标形式、模长公式及投影向量定义计算即可得.
【详解】对A：，故A正确；
对B：，故B正确；
对C：由，故与的夹角为锐角，故C错误；
对D：，故D正确.
故选：ABD.
11. 如图，在正四棱锥中，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 设平面，则
B. 三棱锥与正四棱锥的体积之比为
C. 若，则正四棱锥内切球与外接球的半径之比为
D. 正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用空间向量四点共面的结论判断A的真假；利用棱锥的体积公式判断B的真假；分别求内切球和外接球半径，判断C的真假；利用B选项的结论，可以判断D的真假.
【详解】对A：取为空间向量的基底.
则.
设.
因为四点共面，所以.
所以，即，故A正确；
对B：如图：
连接，交于，连接.
因为四棱锥为正三棱锥，所以平面平面，平面.
又分别为中点，为中点，所以，
所以，同理，
所以，即，故B正确；
对C：若，不妨设，,则，.
所以.
又，
设内切球的半径为，则，
即.
设外接球球心为，则在上，设外接球半径为，
则.
所以.故C错误；
对D：由B选项可知：，
且,所以，
又，所以，
所以.
所以正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知复数，则的虚部为______．
【答案】
【解析】
【详解】因为，所以，虚部为．
13. 已知角的终边经过点，则______．
【答案】
【解析】
【详解】因为角的终边经过点，所以，
则．
14. 已知函数满足对于任意的，当时，恒成立，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】应用对数函数的单调性列不等式求解.
【详解】由题可知，是上的增函数，则不等式等价于，即，
函数在上单调递增，且，
所以不等式的解集为，
从而不等式的解集为．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 甲袋中装有两个红球和一个黄球，乙袋中装有一个红球和两个黄球，这些球除颜色外完全相同．
（1）从这两个袋中各随机地取出一个球，求取出的球颜色相同的概率；
（2）将甲袋中的球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出两个球，求取出的球颜色相同的概率．
【答案】（1）．
（2）．
【解析】
【分析】（1）先求出这两个袋中各随机取出一个球的样本空间，再求出取出的球颜色相同的样本点，由古典概率即可得出答案.
（2）先求出将甲袋中的球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出两个球的样本空间，再求取出的球颜色相同的样本点，由古典概率即可得出答案.
【小问1详解】
记甲袋中的红球为，黄球为，乙袋中的红球为，黄球为．
从这两个袋中各随机地取出一个球，样本空间，共有9个样本点．
记事件“取出的球颜色相同”，则，共有4个样本点，
故，即取出的球颜色相同的概率为．
【小问2详解】
将甲袋中的球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出两个球，样本空间，，，共有15个样本点．
记事件“取出的球颜色相同”，则
，共有6个样本点，
故，即取出的球颜色相同的概率为．
16. 已知函数．
（1）判断的奇偶性并证明；
（2）若函数，求的值．
【答案】（1）是偶函数，
证明如下：由，可得，
则的定义域为，关于原点对称．
，
所以是偶函数．
（2）2
【解析】
【分析】（1）由奇偶函数的定义证明即可.
（2）令函数，先求出是奇函数，则，即可求出的值.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
令函数，则，
由（1）可知是偶函数，
因为
所以是奇函数，从而，
．
17. 如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，.
（1）证明：.
（2）证明：平面.
（3）证明：⊥平面CDE.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据正三角形的性质，结合线面垂直的性质和判定定理进行证明即可；
（2）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理
（3）根据勾股定理逆定理，结合（1）中结论、线面垂直的性质和判定定理进行证明即可.
【小问1详解】
因为△ABC为正三角形，D为AB的中点，
所以，因为平面ABC，平面ABC，
所以.因为平面平面，
，所以平面.
因为平面，所以.
【小问2详解】
连接，设与交于点F，则F为的中点.
连接DF.因为D为AB的中点，所以DF为的中位线，则.
又平面平面，所以平面.
【小问3详解】
易得，则，
所以.
由（1）可知CD平面，所以.
因为平面CDE，平面CDE，，所以平面CDE.
18. 为了解学生的身体素质，学校随机地抽取了名学生作为样本，将他们每周的运动时长（单位：小时）分成，，，，，六组．根据他们的运动时长绘制了如图所示的频率分布直方图，在样本中，运动时长在内的学生比在内的学生少10人．
（1）求，的值；
（2）求样本学生运动时长的中位数；
（3）若在，内的样本学生运动时长的平均数分别为10和14，方差分别为5和1，求在内的样本学生运动时长的方差．
【答案】（1），
（2）11.2 （3）7.25
【解析】
【分析】（1）分别算出已知组别的频率，利用频率之和为1算出未知组别的频率，再用频率除以组距算，用分别表示出运动时长在内的学生人数和在内的学生人数，结合已知条件算；
（2）明确中位数所以组别，列方程求解中位数即可；
（3）先计算出在内的样本学生运动时长的平均数，再利用相关公式计算方差即可.
【小问1详解】
运动时长在内的频率：，运动时长在内的频率：，运动时长在内的频率：，运动时长在内的频率：，运动时长在内的频率：，
由频率之和为1知，运动时长在内的频率为：，
故，
运动时长在内的学生人数为：，运动时长在内的学生人数为：，
依题意，，解得.
综上，，.
【小问2详解】
前两组和的频率之和为，前三组，，的频率之和为，
故样本学生运动时长的中位数出现在第三组，设为，
则，解得.
综上，样本学生运动时长的中位数为11.2.
【小问3详解】
在内的样本数为，在内的样本数为，
所以在内的样本学生运动时长的平均数为，
根据公式，在内的样本学生运动时长的方差为：
.
19. 已知锐角三角形的内角的对边分别为，且.
（1）若，求的面积；
（2）求的取值范围；
（3）求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理，结合所给条件可得，即可由面积公式求解，
（2）根据锐角三角形，结合余弦定理可得且，进而利用余弦定理以及对勾函数的性质求解，
（3）根据三角形面积公式以及余弦定理可得，进一步得，即可结合角的范围求解.
【小问1详解】
，则，
结合，故，
又，,故,
故面积为；
【小问2详解】
由于是锐角三角形，故，结合且，
，
由于对勾函数在单调递减，在单调递增，
或
，当且仅当时取等号，
故当时，，
故，因此，
由于，故
【小问3详解】
由于，其中为三角形的面积，
同理可得，
因此，
由于，故,
由于，所以，
故