山东省烟台栖霞市（五四制）2025-2026学年八年级下学期期末数学试题（含解析）

这是一份山东省烟台栖霞市（五四制）2025-2026学年八年级下学期期末数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了使用答题卡时请注意等内容，欢迎下载使用。
温馨提示：
1．本试卷共8页，共三道大题，24道小题．本试卷满分120分；考试时间为120分钟．
2．学生在答卷过程中不允许使用计算器．
3．使用答题卡时请注意：
①答题前，务必认真核对条形码上的姓名、准考证号和座号，将学校、姓名、考号、座号完整的填写在相应位置；
②答第Ⅰ卷时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净；
③答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，要求字体工整、笔迹清晰，务必在题号所指示的答题区域内作答；
④保证答题卡清洁、完整，严禁折叠、严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带；
⑤若未按上述要求填写、答题，影响评分质量，后果自负．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，满分30分；在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）
1. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了比例线段．根据比例线段的概念及比例的基本性质：内项之积等于外项之积，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】解：选项A：排序为，
∵，，，
∴不成比例；
选项B：排序为，
∵，，，
∴成比例；
选项C：排序为，
∵，，，
∴不成比例；
选项D：排序为，
∵，，，
∴不成比例；
故选：B．
2. 如图，等宽的丝带重叠部分一定是（ ）
A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 以上都有可能
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定和菱形的判定，正确掌握平行四边形的判定和菱形的判定是解题的关键．
过点A作于点E，于点F，先证明四边形是平行四边形，再证明，然后根据菱形的判定定理即可得出结论．
【详解】解：如图，过点A作于点E，于点F，
两条丝带宽度相同，
，
根据题意得：，，
四边形是平行四边形，
又，
，
是菱形，
即等宽的丝带重叠部分一定是菱形．
故选：C．
3. 等腰三角形一边长为4，另一边是方程的根，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A. 6或10B. 8C. 10D. 8或10
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，先解方程得到根，排除负根，得到正根为2，等腰三角形一边为4，另一边为2，分情况讨论哪两边相等，并验证是否符合三角形三边关系，只有腰为4、底为2的情况成立，计算周长即可．
【详解】解：由方程得：或，
∵三角形边长必须为正，
∴取，即另一边长为2，
∴等腰三角形一边为4，另一边为2，
若腰为4，底为2，则三边为4、4、2，
∵，满足三角形三边关系，
∴此时三角形的周长为：，
若腰为2，底为4，则三边为2、2、4，
∵，不满足三角形三边关系，
∴2、2、4三边不能构成三角形；
综上，这个等腰三角形的周长为10．
故选：C．
4. 如图是小孔成像图，根据图中所示的尺寸，像的长是物长的（ ）

A. B. 3倍C. D. 2倍
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
如图：先证明，再利用相似三角形的对应边成比例即可解答．
【详解】解：如图：过O作，，

∵，
∴，，
∴，即．
∴像的长是物的长的．
故选A．
5. 为了迎接中考、互相激励，小亮同学和他的小组成员约定：月考后每个人都要向组内其他成员赠送一份小礼物，若他们一共赠送了份礼物，设小亮及小组一共有人，则下面方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查列一元二次方程，小组共有人，每人要送出件礼物，据此列出方程即可．
【详解】解：设小亮及小组一共有人，根据题意得．
6. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即若一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现已知的三边长依次分别为2，2，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】的三边长分别为2，2，，将其代入题目中的面积公式求解即可．
【详解】解：∵，且的三边长分别为2，2，
∴的面积，
7. 化学是一门以实验为基础的学科．小星在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，小星教会了x名学习小组长，每名学习小组长又教会了x名组员，这样全班43名学生恰好都学会了这个实验．则根据题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意，总学会人数包括小星本人、x名小组长和名组员，总和为43，由此列出方程．
【详解】解：根据题意可知做实验的学生人数为名，
而全班有43名学生，则，
故选：B．
8. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据黄金分割点的定义：将一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，比值为 ,根据题意计算即可．
【详解】解：根据黄金分割点的定义，当点为的黄金分割点（）时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
9. 《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为尺，下列方程符合题意的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得：门高尺、宽尺，门对角线的长为尺，根据勾股定理列方程即可．
【详解】解：门对角线的长为尺，
门高尺、宽尺，
根据勾股定理可得：．
10. 如图，在中，是的平分线，与交于点M，，下列结论中正确的个数是（ ）

① ；② ；
③；④
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟练的结合角平分线的含义，利用两角分别相等的两个三角形相似逐一分析判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，故②符合题意；
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，；故①④符合题意；
与只有一组角相等，无法证明相似，
∴故③不符合题意；
故选C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6个小题，满分18分，只要求填写最后结果．）
11. 如图，将个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点、、、是各正方形的对角线交点，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据正方形的性质，每一个阴影部分的面积等于正方形的，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：如图连接正方形对角线，
∴，，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵正方形边长，
∴正方形面积，
∴，
同理可知：四块阴影的面积都是，
∴所有正方形重叠的部分（阴影部分）面积和．
12. 若，则_______．
【答案】1013
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数非负求出x的值，进而求出y的值，最后代入求值即可．
【详解】解：∵式子要有意义，
∴，
∴，
∴，
∴．
13. 若，是方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用一元二次方程的解得到，根据根与系数的关系得到，将所求代数式变形后整体代入计算即可得到结果．
【详解】解：∵是方程的根，
∴，即，
∵，是方程的两个实数根，
∴由根与系数的关系得，
∴．
14. 《疯狂动物城2》上映后票房持续增长，据统计连云港市首日票房约为100万元，第三天票房约为350万元，设票房收入平均每天增长率为，则可列方程为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程在增长率问题中的实际应用，解题的核心是掌握增长率的计算公式：若初始量为，平均增长率为，经过次增长后的量为，则公式为．
根据票房每日增长率，由第三天的票房量列方程即可．
【详解】解：设平均每天增长率为，则第二天票房为万元，
第三天票房为万元．给定第三天票房为350万元，
故得方程．
故答案为：．
15. 如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用位似图形的性质得出位似中心即可．
【详解】解：如图所示：位似中心的坐标为，
．
16. 如图1，木质镂空花格常见于江南园林的门窗与屏风．图2是其示意图，正八边形的内部包含4个全等的正方形和1个正八边形（阴影部分），则正八边形与阴影部分的面积比是_______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知是等腰直角三角形，设，可得，，由相似多边形的面积比等于相似比的平方，即可得出结论．
【详解】解：如图2：
正八边形，
，，，
四边形是矩形，
，
内部阴影是正八边形，
，
由4个全等的正方形可知：是等腰直角三角形，，
设，则，
，
阴影部分为正八边形，正八边形都相似，
∴正八边形与阴影部分的面积比为．
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 先化简，再求值．
，其中，．
【答案】，
【解析】
【详解】解：，
，
，
当，时，
原式．
18. 新学期伊始，小明在宣纸上写了一幅书法作品——厚德载物，作品宽，高，写好后进行了装裱，装裱时左右边衬宽度相等，上下边衬宽度相等，左右边衬与上下边衬宽度之比为，若装裱后作品的面积是原宣纸作品面积的2倍，应如何设计四周边衬的宽度？
【答案】左右边衬各为，上下边衬各为
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设左右边衬各为，上下边衬各为，由题意可知，因此可设，．根据题意列出一元二次方程，解方程，进而求得四周边衬的宽度．
【详解】解：设左右边衬各为，上下边衬各为，由题意可知，可设，，
装裱后成品的总宽为，
总高为，
原作品面积为，装裱后面积应是它的2倍，即，
因此有，
化简得，
解得(或，舍负取正)，
∴，，
答：左右边衬各为，上下边衬各为．
19. 在远古传说时代，我国已有了原始的测高工具，因它便于制作，森林伐木工叫它为森林测高仪．它是由一块边长为20cm的正方形木板做成，其中正方形木板每一边都分成了十等分．如图所示，聪明的小明制作了一个正方形森林测高仪，用它来测量树EF的高度，平行于地面，树梢点在测高仪的延长线上，已知米，米，测高仪的重垂线与交于点，点是线段的十等分点，，求树高的长度？
【答案】米
【解析】
【分析】根据题意可证，结合三角形相似的性质计算长度即可．
【详解】解：∵点 是线段的十等分点，且，
∴ （米），
，，
，
，
，
，
，
解得，
（米）．
20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了已知一元二次方程的根的情况求参数，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据一元二次方程有两个实数根，得，解得，即可作答．
（2）理解题意，得出符合条件的最大整数，得，运用公式法进行求解，即可作答．
【小问1详解】
解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
即，
解得，
∴m的取值范围是．
【小问2详解】
解：由（1）知，m的取值范围是．
∴符合条件的最大整数，
∴一元二次方程化为，
此时，
∴，
∴或，
∴当m为符合条件的最大整数时，方程的根为或．
21. 如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且．
（1）试说明；
（2）若，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理、相似三角形的判定等知识点，弄清楚线段间的关系是解题的关键。
（1）由平行线等分线段定理可得，再结合即可证明结论；
（2）由可得，即，进而得到；从而得到，再结合即可证明结论。
【小问1详解】
解：∵，
，
，
。
【小问2详解】
证明：，
，
，
．
，
．
又，
．
22. 国庆假期佛山市某景区吸引了各地游客前来参观．据统计，假期第一天景区的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次．
（1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
（2）据悉，景区附近商店推出了旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低10元，平均每天可多售出2000个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？
【答案】（1）
（2）元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程在增长率问题和销售问题中的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键．
（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，根据题意得关于x的一元二次方程，解方程，然后根据问题的实际意义作出取舍即可；
（2）设售价应降低m元，根据每个的利润乘以销售量，等于2800，列方程并求解，再结合问题的实际意义作出取舍即可
【小问1详解】
解：设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，根据题意得：
，
解得：（不符合题意，舍去），
答：游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为；
【小问2详解】
解：设售价应降低m元，则每天的销量为个，根据题意得：
，
解得：，
∵为了让游客尽可能得到优惠，
∴，
即售价应降低元．
23. 探究不同情境，回答下面问题：
（1）【观察与猜想】如图，在正方形中，点、分别在边、上，连接与交于点，若，则和的数量关系是 ；
（2）【观察与猜想】如图，在矩形中，，点、分别在边、上，连接与交于点，若，请猜想和的数量关系并进行证明；
（3）【类比探究】如图，在平行四边形中，点、分别在边、上，连接与交于点，当时，求证：．
小颖同学通过对比图，发现图中和并不相似，经过思考，提出了如下问题：能否构造以和为对应边的相似三角形来转化呢？请你根据小颖的思考完成证明，也可以用其他思路完成证明．
【答案】（1）
（2），证明如下：如图，
∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）证明方法不唯一，例如：
方法1：以点为圆心，为半径画弧交于点，
则，
∴，
由平行四边形得，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
方法2：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】
【分析】（1）根据三角形全等对应边相等即可．
（2）根据三角形相似对应边成比例求解即可．
（3）根据三角形相似对应边成比例求解即可．
【小问1详解】
解：∵正方形，
∴，，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴．
【小问2详解】
略
【小问3详解】
略
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与x轴、y轴分别交于点C、点D，与相交于点E，线段、的长是一元二次方程的两根（），，．
（1）求点A、C的坐标；
（2）求直线的解析式；
（3）在x轴上是否存在点P，使以点C、E、P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；如不存在，请说明理由．
【答案】（1）A的坐标是，C的坐标是；
（2）；
（3）存在，P的坐标是和.
【解析】
【分析】（1）首先解方程求得方程的根，则A和C的坐标即可求得；
（2）根据三角函数求得B的坐标，作轴于点F，根据，利用相似三角形的性质求得和的长，即可求得E的坐标，利用待定系数法确定函数关系式；
（3）根据题意可判断点P在x轴正半轴，设P的坐标是，则．分成和两种情况进行讨论即可求解．
【小问1详解】
解：（1）解方程，即，
即或，
解得：，
又，
，，
的坐标是，的坐标是．
【小问2详解】
解：，
，则B的坐标是．
.
，
.
过点作轴于点F．
则，
.
，
，.
则，则点E的坐标是 .
设直线的解析式是，
，
解得： .
则直线的解析式是.
【小问3详解】
解：当时，，
即，
.
，
.
，
.
根据题意可知点P在x轴正半轴，设P的坐标是，则．
①当时，，
即，
解得：，
则点P的坐标是；
②当时，，
则，
解得：，
则点P的坐标是．
综上可知，点P的坐标是和．