河南省开封市五校2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题（含解析）

这是一份河南省开封市五校2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册，必修第一册第一章~第三章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由，得.
2. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】已知，要使函数有意义，需满足被开方数大于0，
即，综上所述，，C正确.
3. 根据下表数据得到关于的线性回归方程，则（ ）
A. 0.5B. 1C. 2.5D. 4.5
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的数表求出样本的中心点，再利用回归直线方程求出的值.
【详解】
所以，解得.
4. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据充分性和必要性的定义，结合比较法和特例法进行判断即可.
【详解】当时，即，
，
因此由能推出，
当时，显然当时成立，但是不成立，
因此由不一定能推出，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
5. 在某市2026年5月份的高二质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的全市学生有10000人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（ ）参考数据：，则，
A. 8414名B. 6827名C. 3175名D. 1588名
【答案】D
【解析】
【详解】因为学生的数学成绩服从正态分布，,
则，
而，所以该学生的数学成绩大约排在全市第1588名.
6. 已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数将函数的单调递增转化为不等式恒成立问题，再通过分离参数法将其转化为求已知函数的最大值问题，从而最终确定参数的取值范围.
【详解】由在区间上单调递增，得在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，所以，
因为在区间上单调递减，在区间上单调递减，
所以在区间上单调递减，
所以的最大值为，
即实数m的取值范围为．
7. 已知数列是首项和公比均为4的等比数列，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，则数列的前40项的和（ ）
A. 1399B. 1464C. 1468D. 1486
【答案】A
【解析】
【分析】确定前5项共插入多少项，进而可求解.
【详解】因为，
由题意前5项共插入项
则数列的前40项和.
8. 已知，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，将转化为，化简后利用基本不等式即可得求最小值.
【详解】∵，令，则
当且仅当时等号成立.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数是幂函数，则（ ）
A. B.
C. D. 是奇函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】由为幂函数，有，可判断BC选项；由的值得函数解析式判断AD选项.
【详解】函数是幂函数，则有，
所以，解得或，B选项正确，C选项错误；
或，则有是奇函数，，AD选项正确.
故选：ABD.
10. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A. 展开式共8项B. 含项的系数为
C. 无常数项D. 所有项的二项式系数之和为1
【答案】AC
【解析】
【详解】对于A，的展开式共项，A正确；
对于BC，展开式的通项公式为，
由，得，的系数为，而无整数解，即无常数项，B错误，C正确；
对于D，所有项的二项式系数之和为，D错误.
11. 在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中．定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为．在6维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记所取两点间的曼哈顿距离为随机变量，则（ ）
A. 6维“立方体”的顶点有36个B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】应用分步乘法原理计算判断A，应用古典概型结合组合数计算判断B，先写出概率再应用数学期望公式及方差公式计算判断C，D即可.
【详解】对于6维坐标，其中，即有2种选择，
故共有种选择，即6维“立方体”的顶点有64个，故A错误；
当时，在与中有3个坐标值不同，
即有3个（，）满足，有3个满足，
所以满足的顶点对有组，因此，故B正确；
满足的顶点对有组，所以，
即，，，，，.
因此，故C正确；
而，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某班6人（含学生甲）站成一排拍照，若甲不站最右端也不站最左端，则不同站法数为________．
【答案】480
【解析】
【分析】优先排列限制元素甲，剩下人全排列即可.
【详解】先安排甲从除最左端和最右端的4个位置中选一个站，有种站法；
将剩余的人任意排序，有种站法．
所以不同站法数有种．
13. 已知命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【详解】当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意；
当时，对任意恒成立，需满足：
，解得，
综上可得．
14. 已知的定义域为，且，对于任意正数x，y，都有，若当时，，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用赋值法先求，进而得，利用定义法证单调性，最后利用单调性即可解不等式，进而求解.
【详解】由题意有：令有：，
令有：，
对任意的且，所以，即，
所以，
即，所以，
所以在上单调递增，
又，所以，
所以，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某大学想了解本校学生对食堂的满意度情况，对该大学的100名学生进行食堂满意度调查，调查结果如表所示：
（1）根据小概率值的独立性检验，分析该大学的学生对食堂的满意度是否与年级有关联；
（2）从样本中对食堂满意的学生中随机抽取2人，求这2人均是大三或大四学生的概率.
附：，.
【答案】（1）有关 （2）
【解析】
【分析】（1）根据零假设，结合所给卡方公式进行运算判断即可；
（2）根据古典概型运算公式，结合组合的定义进行求解即可.
【小问1详解】
零假设：该校学生对食堂的满意度与年级无关.
经计算得，
依据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立，即该校学生对食堂的满意度与年级有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1.
【小问2详解】
对食堂满意的学生共60人，其中大一或大二学生：20人，大三或大四学生：40人，
抽取2人均为大三或大四学生的概率：.
16. 已知函数的图象过点和点．
（1）求实数，的值；
（2）求函数的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到且，联立方程组，即可求解；
（2）由函数，确定的定义域为，法一：化简函数为，令，转化为关于的方程有正实数根，求得函数的值域；法二：当时，化简，结合基本不等式和，进而求得函数的值域.
【小问1详解】
由题意得，即，
解得．
【小问2详解】
由（1）知，所以的定义域为．
法一：由得，
令，当时，，
当时，，关于的方程有正实数根，，且，，，所以，
所以的值域为．
法二：由题意可得，
当时，，
因为，当且仅当时，取等号，
所以，即，
所以的值域为．
17. 在数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）构造给定的递推公式，利用构造法求出通项公式.
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即得.
【小问1详解】
在数列中，，，则，即，
因此数列是公差为的等差数列，
又，则，
所以数列的通项公式.
【小问2详解】
由（1）知，
所以数列的前项和．
18. 甲､乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球有1个，标号为1的有3个，标号为2的有个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是.
（1）求的值；
（2）从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，求另一个标号也是1的概率；
（3）从两个袋子中各取一个小球，用表示这两个小球的标号之和，求的分布列和期望.
【答案】（1）
（2）
（3）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算取到的标号都是2的概率即可；
（2）利用条件概率的公式计算；
（3）利用互斥事件和独立事件的概率公式计算分布列，再根据期望公式计算即可.
【小问1详解】
从一个袋子中任取两个球的总组合数为，取到两个标号为2的球的组合数为.
则取到的标号都是2的概率是，
整理得，解得或（舍去）.
【小问2详解】
设事件表示“其中一个标号是1”，事件表示“另一个标号也是1”.
因为，，
所以.
【小问3详解】
的可能取值为，
因为从袋子中取个球，编号为的概率分别为，
所以，，
，，
.
所以的分布列为：
所以.
19. 已知函数（）.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若在上的最大值为0，求a的值；
（3）若，恒成立，求的最大值.
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据导数几何意义求出切线斜率，再结合切点坐标，利用点斜式方程求出切线方程；
（2）求出导函数的零点，根据零点与给定区间的位置关系分情况讨论函数在该区间上的最大值，进而求出的值；
（3）将不等式恒成立问题转化为最值问题，得到，
代入到后通过构造新函数，利用导数研究函数单调性，进而求得最值.
【小问1详解】
当时，，，所以，
所以切线方程为，即；
【小问2详解】
定义域为，；
（i）当时，在区间上，，所以在上单调递减，
所以，由解得，符合题意；
（ii）当时，在区间上，，所以在上单调递增，
所以，由解得，符合题意；
（iii）当时，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，，
由解得或，均不符合题意，
所以的值为或.
【小问3详解】
由恒成立，即恒成立.
令，则恒成立.
，
当即时，，所以在单调递增，
当时，，所以不满足恒成立；
当即时，令，解得；
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以，
若恒成立，则，即，
则.
令，则，设，
则，令，解得.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以，即最大值为.1
2
3
4
1
4
5
8
满意
不满意
合计
大一或大二
20
20
40
大三或大四
40
20
60
合计
60
40
100
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
0
1
2
3
4