河北沧州市部分校2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题（含解析）

这是一份河北沧州市部分校2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题（含解析），共14页。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合，再结合集合的交集和补集的概念即可求解.
【详解】已知集合，解不等式，可得，
又因为，所以，
已知集合，解不等式，可得或，则，
因此，故B正确.
2. 某职工食堂周五供应5种不同的主食和10种不同的菜品，小李这天从该食堂选择1种主食和3种不同的菜品，则不同的搭配方案有（ ）
A. 50种B. 60种C. 120种D. 600种
【答案】D
【解析】
【详解】根据题意，不同的搭配方案有种．
3. 已知两个线性相关变量与的统计数据如下表，其经验回归方程为，则下列说法错误的是（ ）
A. 样本相关系数B.
C. 样本中心点为D. 时，残差为
【答案】D
【解析】
【分析】根据经验回归方程进行检验计算判断可得.
【详解】选项A：经验回归方程斜率为，说明与正相关，因此样本相关系数，A说法正确；
选项B、C：，经验回归直线必过样本中心点，
代入回归方程得，因此样本中心点为，C说法正确；
再由，解得，B说法正确；
选项D：当时，预测值，
所以残差，因此D说法错误.
4. 乒乓球运动深受青少年学生的喜爱．据统计，某学校初一、初二两个年级中喜欢乒乓球运动的学生分别占本年级总人数的，，且这两个年级的学生人数之比为，现从这两个年级中随机抽取一名学生，则该学生喜欢乒乓球运动的概率为（ ）
A. 0.36B. 0.42C. 0.54D. 0.72
【答案】B
【解析】
【详解】设随机抽取一名学生，该学生来自初一、初二年级分别为事件，，该学生喜欢乒乓球运动为事件，
用频率估计概率，则，，，，
所以.
5. 已知函数是上的奇函数，且当时，，函数,若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件，利用奇函数的性质求出时，的解析式，进而求出的解析式，再利用的单调性，即可求解.
【详解】因为函数是上的奇函数，且当时，，
当时，，所以，得到，所以时，，
则，其图象如图，
由图知在上单调递增，由，得，
即，解得或，
所以实数的取值范围是.
6. 已知幂函数在上单调递减，若正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A. 5B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂函数定义与性质可得，再利用“1”代换结合基本不等式运算求解.
【详解】因为幂函数在上单调递减，
则，解得，
可得正实数a，b满足，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
7. 已知，．命题p：对任意，都存在，使得；命题q：存在，使得．则“”是“命题p，q同时成立”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】对于命题p：将问题转化为，利用单调性求最小值，对于命题q：将问题转化为，利用单调性求最大值，再解一元二次不等式，最后根据充分性和必要性的判断即可得出结论.
【详解】对于命题p：若对任意，都存在，使得，
等价于，
易知在上单调递增，，
在上单调递减，，
即有，解得：.
对于命题q：易知在上单调递增，
所以，即
，所以命题p，q同时成立时；
易知为的必要不充分条件.
8. 一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向移动2个单位或沿数轴的负方向移动1个单位，共移动11次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（ ）
A. 1或7B. 7或10C. 1或4D. 4或7
【答案】D
【解析】
【分析】先算出质点向左平移了次的概率，再利用组合数的性质得到的取值，从而可计算质点最可能移动到的位置的坐标.
【详解】设质点向左平移了次，则向右平移了次，其概率为.
所以.
由的性质得，取得最大值时或.
当时，质点最终移动到的位置的坐标为；
当时，质点最终移动到的位置的坐标为.
所以质点最可能移动到的位置的坐标为或.
本题关键是利用二项式组合数判断概率大小，结合单次位移列式计算终点坐标，注意正负向位移单位不同，不可仅凭移动次数判断位置.
二、选择题：本题共小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
B. 已知随机变量，则随机变量X的分布越集中，的值越小
C. 在独立性检验中，随机变量的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小
D. 不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】
【详解】在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，所以选项A正确；
正态分布中，随机变量X的分布越集中，的值越小，所以B正确；
在独立性检验中，随机变量的观测值越大，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小，所以C错误；
由得且，
化简得，解得，所以解集为，即选项D正确.
10. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A. 所有项的系数之和为32B. 没有常数项
C. 含项的系数为5D. 有理项共有4项
【答案】BC
【解析】
【详解】对于二项式，令，可得所有项的系数之和为，故A错误；
因为展开式的通项为，，
令，解得，所以展开式中没有常数项，故B正确；
令，解得，含x项的系数为，故C正确；
令，解得，所以展开式中有理项共有3项，故D错误.
11. 已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，，则（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 的一个周期为4
C.
D. 的图象关于点对称
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据抽象函数的对称性，及条件的变形即可判断ABD选项，再通过函数的周期可求解选项C
【详解】对于A：因为为偶函数，所以，
所以关于直线对称，故A正确.
对于B：因为，
因为为奇函数，所以，即，
，所以的最小正周期为4，故B正确.
对于C：因为，
所以；
所以，
故C正确，
对于D：由B的解析可知，
所以的图象关于点对称.故D错误
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知事件A、B满足．若，，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用对立事件概率关系，全概率公式，条件概率公式即可.
【详解】因为，所以.
因为
所以，所以.
13. 现安排6名学生去参加3个项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案种数为________．（用数字作答）
【答案】390
【解析】
【分析】本题主要考查分组分配问题，采用间接法：先求总方案数，再减去甲、乙同项目的方案数.总方案数：将6名学生分配到3个不同项目，每个项目至少一人，利用容斥原理计算.甲、乙同项目：先捆绑甲乙，再分配剩余4人，保证其他两个项目有人，最后减去.
【详解】总方案数：每个学生有3种选择，但需每个项目非空;
方案数为：
甲、乙同项目的方案数：先让甲乙选一个项目，有种选择. 剩余4人分配到3个项目，要求甲乙未选的两个项目至少各有一人;
剩余4人的分配数：
故甲乙同项目的方案数为.
因此满足甲乙不同项目的方案数为.
14. 已知，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】首先将函数的零点转化为方程有三个根，再按，和分类讨论：①若，当时方程有个不同负根，当方程有个根；②若：当时方程无根，当方程有个根；③若：当时方程无根，当需有个根，再分和两段讨论，用判别式及根与系数的关系判断可得.
【详解】恰有三个零点等价于方程有三个根，且，按，和分类讨论：
①若：
当时：因为，所以方程化为，得或，
解得或，共个不同负根，只需再有个根即可.
当时，因为，方程为，因为时，，
所以方程化为，判别式，两根乘积为，恰有个正根，
满足方程总共有三个根，因此所有都符合条件.

②若：方程为
当时，因为，方程无根，
当时，因为，方程有个根，不符合题意.
③若：
当时，因为，所以方程为，得或，
解得或，所以当时方程无根，因此需要时方程有个根.
当时：因为， 方程为，再分区间讨论：
当​时：，方程化为，，两根的乘积为，恰有个正根，
所以方程有个正根，且该根满足，故方程在上有个根.
当时​：，得，要在上有个不同根，
需满足： 判别式，
此时，对称轴​恒成立，两根都满足，方程在上有个根.
综上，当时，方程共有个根，符合条件.

综上所述，实数的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，或．
（1）当时，求；
（2）若，且，求实数m的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【小问1详解】
当时，集合，
且或，所以或.
【小问2详解】
因为，则，
又因为，则，可得，
又因为或，则，解得，
所以m的取值范围是．
16. 已知函数是定义在上的奇函数,且．
（1）确定函数的解析式;
（2）当时,判断函数的单调性,并证明;
（3）解不等式．
【答案】（1）
（2）单调递增, 证明如下:
设为上的任意两个数,且,
,
,
,
,
故函数在上为增函数;
（3）
【解析】
【分析】(1)根据奇函数可得,结合代入可得的解析式;
(2)先判断单调性,根据单调性的定义证明,先取值,再做差,变形至几个因式的乘积,定号,最后写出结论即可.
(3)将移至右侧,根据奇函数,将不等式转化为,再根据(2)的结论转化为,再加上均在定义域内,即可求出不等式解集.
【小问1详解】
解:由题意可知为奇函数,
,
即,,
∵,∴,
∴;
【小问2详解】
当时,函数单调递增,证明略.
【小问3详解】
,
,
为奇函数,
∴,
当时,函数单调递增,
,
,
不等式的解集为．
17. 某网站统计了某网红饭馆在2026年2月至6月的营业额y（单位：万元），得到如下数据：
（1）根据表中所给数据，用相关系数r加以判断，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？若可以，求出y关于x的线性回归方程；若不可以，请说明理由（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则没有很强的线性相关性）；
（2）为调查顾客对该饭馆的评价情况，随机抽查了200名顾客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为“顾客是否喜欢该网红饭馆与年龄段有关联”．
参考数据：．
参考公式：相关系数，
线性回归方程：，其中，，，其中．
临界值表：
【答案】（1）可用线性回归模型拟合y与x的关系，
（2）
可以认为“顾客是否喜欢该网红饭馆与年龄段有关联”
【解析】
【分析】（1）根据题中数据和公式求得，进而分析判断，再求，，即可得回归方程；
（2）完善列联表，求的值，并与临界值对比，根据独立性检验思想分析判断.
【小问1详解】
由题意可知：，，，，，
则，且，
说明y与x的线性相关关系很强，可用线性回归模型拟合y与x的关系，
可得，，
所以y关于x的线性回归方程为．
【小问2详解】
完善列联表如下所示：
零假设为：顾客是否喜欢该网红饭馆与年龄段无关联．
根据列联表中数据得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
所以可以认为“顾客是否喜欢该网红饭馆与年龄段有关联”．
18. 某个抽奖箱设置个白球和6个黑球，若一次抽取2个球全是黑球的概率为．
（1）求m的值；
（2）门店推出消费福利：每满200元可抽奖1次（例如消费500元可抽奖2次），抽奖规则如下：每次从箱中一次性抽取3个球，每抽到1个黑球返现25元．完成一次抽奖后，将所抽取的3个球再放回袋中．
①若只抽奖1次，记抽到黑球数量为随机变量X，求X的分布列；
②门店同时推出购物享八折优惠活动，该优惠活动和抽奖返现活动只能选一个，假设某顾客消费800元，请问该顾客选择抽奖返现还是直接八折更划算？若顾客消费950元呢？
【答案】（1）
（2）①
②消费800元时，选择抽奖返现的方式更划算；消费950元时，选择八折优惠的方式更划算.
【解析】
【小问1详解】
由题可得，抽奖箱内共有个球，一次抽取2个球全是黑球的概率，
化简得，因为， ．
【小问2详解】
①X的可能取值为0，1，2，3，根据超几何分布的概率公式可得：
，，
，．
则X的分布列如下：
②由①知X的数学期望，
则单次抽奖的返现金额的期望为元，
情况1：消费800元．
抽奖优惠：每满200元抽1次，可抽4次，总的返现金额的期望为元，
八折优惠：节省金额为元，
由于，故消费800元时，选择抽奖返现的方式更划算．
情况2：消费950元．
抽奖优惠：每满200元抽1次，可抽4次，总的返现金额的期望为元，
八折优惠：节省金额为元，
由于，故消费950元时，选择八折优惠的方式更划算.
19. 在一次物理实验测量中，某同学的测量数据近似服从正态分布，且．
（1）在的条件下，求的概率；
（2）已知事件“”与事件“”相互独立，求实数；
（3）现随机抽取组独立的测量数据，每组基础检测费用为元；若该组数据满足，则额外加收元检测费用．记组总检测费用为，求的数学期望、方差．
【答案】（1）
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用正态分布的对称性和条件概率公式，即可求解；
（2）根据条件，求出事件“”的概率，再利用相互独立事件的定义，即可求解；
（3）根据条件得到，再利用正态分布的期望和方差及期望和方差的运算性质，即可求解.
【小问1详解】
在的条件下，的概率等价于，
由题意可知，其概率密度函数图象关于直线对称，所以，
根据对称性，，
故．
【小问2详解】
设事件A为“”，事件B为“”，
且事件“”等价于事件“或”，
由题意得，
则由对称性得，
由事件“”与“”互斥，则，
因为事件与相互独立，所以，
当时，等价于事件“”，
则，解得，无解，
当时，等价于事件“”，
则，即，解得，
由于，故，
当时，等价于事件“或”，
此时有，
故由正态分布性质，拆分可得，
又，代入解得，
而，故，无解，
综上所述，．
【小问3详解】
由题可知，
抽取组，设为其中满足的组数，则，则，
，
因为每组基础检测费用为元，所以组总的基础检测费用为元，
因为若一组数据满足，则额外加收元检测费用，所以总的额外加收费用为，
因此，
所以，.
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