广东揭阳市2025-2026学年高一下学期期末教学质量测试数学试题（含解析）

这是一份广东揭阳市2025-2026学年高一下学期期末教学质量测试数学试题（含解析），共14页。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处．
2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．
3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀．考试结束后，请将本试题及答题卡交回．
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，，则（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【详解】由题可得.
2. 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化简集合，再由交集的定义计算可得。
【详解】因为集合，又集合，
所以.
3. 设，则“”是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先解出分式不等式的解，再判断充分性和必要性即可.
【详解】由，得到，解得或，
又“或”是“”的必要不充分条件，
即“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4. 如图所示，已知在中，是边上的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得，再由，即可得到答案.
【详解】由于是边上的中点，则.
.
故选：B.
5. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱与球的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】设球的半径为，则球的体积，
又圆柱的底面直径和高都等于球的半径，所以圆柱的体积，
所以圆柱与球的体积之比为．
6. 已知函数，则（ ）
A. B. 1
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为，
所以，
因为，
所以，即，故选项A正确.
7. 已知函数，其中，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由辅助角公式将函数化简为，再由正弦函数的性质可得最小值.
【详解】因为函数，
其中.
由，令.
因为，所以，.
所以函数在上单调递增，在单调递减.
因此函数在区间的左端点或右端点取得最小值.
当时，即，；
当时，即，.
因为，所以当时，函数有最小值.
8. 定义是a，b中的较大者．已知函数，．若，且方程有个不同的解，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合题意，由进行求解．
【详解】因为，由方程有个不同的解，
所以在内有两个零点，
则，得，得，
得．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的值域为B. 的图象关于直线对称
C. 的最小正周期为D. 是的一个零点
【答案】ACD
【解析】
【详解】因为对,，故的值域为，即A正确；
，故不是的对称轴，故B错误；
的最小正周期为，故C正确；
因，故D正确.
10. 一质地均匀正八面体,八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件 “得到的点数为奇数”，事件 “得到的点数不大于4”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ）
A. 事件B与C互斥B.
C. 事件A与C相互独立D. 事件与相互独立
【答案】BD
【解析】
【详解】由题意：事件，事件，事件，
由于，所以事件B与C不互斥，A错误；
由于，所以，B正确；
由于，即，
即，所以事件A与C不独立，C错误；
由于，即，
即，所以事件与相互独立，D正确.
11. 已知函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 为偶函数B. 2是的一个周期
C. 图象关于对称D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项A，由与，得，是偶函数，A正确.选项B，由，推出，周期为，不是，B错误.选项C，有对称中心，周期为，半个周期平移后得到对称中心，C 正确.选项D，每项函数值之和为，前项和为，剩余两项得；除以余，故，D正确.
【详解】令，
因为为奇函数，所以，
即，
令，解得，即，
得到，即，
所以关于点中心对称.
因为为偶函数，所以，
即，关于直线轴对称.
由轴对称得，
由中心对称得，
联立得，
把换成得到，
则，所以的周期，故B错误.
因为的对称中心为，所以，
又周期，
，，
由，
令得到，即，
即，
所以图象关于对称，C正确.
由，则，
又，则，
则，对比，
得到 ，即，
所以是偶函数，A正确.
周期，先看一个周期内，
由，
令得到，
由为奇函数，令得到，
又都是对称中心，故，
一个周期：，
中，有项，包含个完整周期加上，
个周期的和为，
又，，故，
所以每项之和为，前项和为，
余下两项，
因为，所以，解得，
则，D正确.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若复数z满足，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用复数的乘除法即可求解.
【详解】.
13. 甲、乙、丙、丁四人各掷骰子次（骰子每次出现的点数等可能为），并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述：①中位数为，众数为；②中位数为，极差为；③中位数为，平均数为；④平均数为，方差为；可以判断一定没有出现点的描述序号是_________．（错选或漏选不给分）
【答案】①④
【解析】
【分析】根据中位数，极差，平均数，方差，众数等定义分别判断计算各个选项即可.
【详解】①由于中位数为，众数为，故出现两次，又中位数为，则数据从小到大为，一定没有；
②中位数为3，极差为3，则数据从小到大为符合题意，故可能出现；
③中位数为，平均数为，则设数据从小到大为符合题意，故可能出现6；
④平均数为，方差为，则设满足要求且含的数据从小到大为，
故且，
那么且，，
平方和不可能为负数，不存在满足条件的正整数数据，故一定没有.
综上，①④一定没有.
14. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有、、三点，且、、在同一水平面上的投影、、满足，，由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则、两点到水平面的高度差约为___________．
【答案】
【解析】
【分析】过C作，过B作，由已知条件求出BD、AE，所求高度差即为
【详解】过C作，过B作，如图所示，
已知与的差为，则，
又，则 ，
因
则 ，
又，，则，
由正弦定理， 则，
因，
即 ，
又，所以 ，
则，两点到水平面的高度差
（米）.
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，分别是棱的中点．
（1）证明：；
（2）证明：平面．
【答案】（1）
如图，连接交于点，由四边形是正方形，可得，
因平面，平面，则，
又，平面，
所以平面，又平面，
所以．
（2）
如图，取的中点，连接，
由分别是棱的中点．可得，
又，则，即得，所以
因平面，平面，
所以平面．
【解析】
【分析】（1）先证和，再由线线垂直证明线面垂直，易得；
（2）取的中点，易证，得到，则得，由线线平行即得线面平行.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
16. 揭阳古城底蕴深厚，进贤门、揭阳学宫等历史建筑屹立千年，特色美食、传统非遗更是潮汕文化中亮眼的瑰宝．基于此，某中学积极响应，举行了一次古城文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值并估计样本的平均数；
（2）若本次竞赛中，分数排名前的参赛人员为获奖人员，试估计获奖分数线（精确到0.1）；
（3）现采用样本量按比例分配的分层随机抽样，从和两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的分数在这一组的概率．
【答案】（1），68.5
（2）78.6 （3）
【解析】
【分析】（1）利用所有矩形面积（频率）之和为1，列方程求出；每组用区间中点代表本组数据，用“中点 × 本组频率”再求和，得到样本平均数.
（2）从低分段向上累加频率，得到分数线落在这一组，利用分位数公式列方程求解，最后精确到0.1.
（3）两组分别抽取4人和2人；给6个人编号，列举法求出概率.
【小问1详解】
因为小长方形面积和为1，
所以，解得，
则平均数为
；
【小问2详解】
由题意可得：本次竞赛中，分数排名前的参赛人员为获奖人员，
即求第80百分位数，
又，
，
则分数线在内，且设分数线为x，
可得，
解得，即获奖分数线为78.6.
【小问3详解】
由题意得两组的频率之比为，现从两组中用分层抽样的方法抽取6人，
则从中抽取4人，记为，
从中抽取2人，记为，
所有可能的情况为，，，，，，，
，，，，，，，，共15种，
其中至少有1人的分数在的情况有，，，，
，，，，，共9种，
故所求概率.
17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且的外接圆的周长为．
（1）求角A；
（2）求边的长；
（3）若为边上的高，且，求的面积．
【答案】（1）
（2）3 （3）
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换化简计算可得；
（2）先求外接圆的半径，利用正弦定理求解；
（3）根据题意得结合数量积可得，再利用余弦定理即可求出的面积.
【小问1详解】
，
又，，，
，
，又，，
，；
【小问2详解】
设的外接圆的半径为r，
则
由正弦定理可得：；
【小问3详解】
由余弦定理可得：，
，
，，又，
，
即：，
结合：，解得：，，
．
18. 如图，是圆的直径，与圆所在的平面垂直，且，为圆周上不与点，重合的动点，，分别为点在线段，上的投影．

（1）证明：平面；
（2）求三棱锥外接球的表面积；
（3）当的面积最大时，求二面角的平面角的大小．
【答案】（1）因为点在圆的圆周上，为圆O的直径，
所以，
因为平面，平面，
所以，
因为，平面，，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，，平面，，
所以平面．
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由为直径，可得，再由平面，从而得平面，则，再结合利用线面垂直的判定定理可证得结论；
（2）通过线面垂直得到线线垂直，再根据投影可知为的中点，进而得到外接球的半径从而求出外接球的表面积；
（3）通过线面垂直得到线线垂直，从而找到二面角，再根据基本不等式得到三角形为等腰直角三角形，从而得出二面角的大小.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
因为平面，平面，
所以，
因为平面，平面，
所以，
因为为点在上的投影且，
所以为的中点，因此，
所以三棱锥外接球的半径为，
则外接球的表面积为.
【小问3详解】
因为平面，平面，
所以，
因为，，平面，，
所以平面，
因为平面，所以，
因此即为二面角的平面角，
因为平面，平面，
所以，即为直角三角形且斜边为定值，
所以，即，当且仅当时等号成立，
因此，当且仅当时等号成立，
此时为等腰直角三角形，所以，
故当的面积最大时，二面角的平面角的大小为．
19. 已知函数．
（1）证明：对，都有；
（2）求不等式的解集；
（3）是否存在实数，对任意一个整数，关于x的方程在区间内至少有3个互不相等的实数解？若存在，求出m的最小值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）因为，
所以对，都有
（2）或．
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）代入化简即可；
（2）解，利用辅助角公式化简，最后利用三角函数的性质解不等式；
（3）分、、、四种情况解方程，将根从小到大排列找出前3个根即可.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
因为，且，所以，
所以，则，
则
（i）当时，，其中、，
即，得；
（ii）当时，即，
得，其中、，得．
综上，原不等式的解集为或．
【小问3详解】
假设存在正数m，对于任意，关于x的方程在区间内至少有三个不同实数解．
所以，
所以①或②．
对于方程①，若，则，方程①不成立，所以，
所以对于任意恒成立，所以，所以；
对于方程②，
（i）若，则，当n为奇数时，，方程②无解；
（ii）若，则对于任意，，所以，得．
（iii）若，则对于任意，，则，则；
（iv）若，则，
所以且，
所以，因此方程②无解．
综上，原方程的解为或或．
若，则方程的解为；若，则方程的解为；
所以若，对任意一个整数，关于x的方程在区间内至少有3个互不相等的实数解，
故正数m的最小值为．