河南南阳市2025-2026学年高一下学期期终质量评估数学试题

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1.（ ）
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.若一个水平放置的等边三角形的边长为2，则其斜二测直观图的面积为（）
A. B. C. D.
4.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知角，，，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知，，为三条不同的直线，，为两个不同平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，且，，则
D. 若，，且，，则
6.已知点同时是函数与的对称中心，则的最小正整数值为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
7.如图，在中，，F为线段上的一点，，若E为的中点，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知，且，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量，，则（ ）
A. B. 与夹角为
C. D. 在上的投影向量为
10.如图所示的圆锥中，，的直径，点在上，且，点为中点，则（ ）
A. 平面B. 圆锥的侧面积为
C. 异面直线与的夹角为D. 与平面夹角的正弦值为
11.在中，内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（ ）
A. 若是锐角三角形，则
B. 若是直角三角形，则
C. 若，则是钝角三角形
D. 当，，时，若为的内心，则的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一个物体在大小为的力的作用下产生大小为的位移，且力与的夹角为，则力所做的功 ．
13.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，，，则此球的体积为 ．
14.在中，角为锐角，若，则的最大值为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数，，.
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)求．
16.(本小题15分)
已知正三棱柱，，，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
17.(本小题15分)
在中，内角、、的对边分别为、、，向量，，且．
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长．
18.(本小题17分)
已知的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)若，求在上的值域；
(3)若把的图象向右平移个单位后得到函数的图象，设，求在上的零点之和．
19.(本小题17分)
在四棱锥中，侧棱长均为，，，．
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的平面角的余弦值；
(3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成角最大？并求出最大角的正弦值．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】BCD
10.【答案】AD
11.【答案】ACD
12.【答案】500
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由，，得．
因为为纯虚数，所以，解得．
（2）方法一：由，，
得．
所以．
方法二：．
方法三：．
因为，所以
，
所以．

16.【答案】解：(1)证法一：连接交于，连接．
因为三棱柱为正三棱柱，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以为的中点．
因为点为的中点，所以．
因为平面，平面，所以平面．
证法二：取的中点，连接、、，如下图所示：
在正三棱柱中，且，
所以四边形为平行四边形，所以且，
因为、分别为、的中点，所以且，
故四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为且，、分别为、的中点，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以且，
又因为且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，、平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面.
（2）解法一：设点到平面距离为，连接．
在正三棱柱中，为等边三角形，
由，，点为的中点，可得，
因为平面，所以，
因为为等边三角形，为的中点，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
由勾股定理可得，
，
所以，
所以，解得：，
所以点到平面的距离为．
解法二：因为点为的中点，所以点到平面距离等于点到平面距离．
在正三棱柱中，为等边三角形，
因为点为的中点，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，、平面，所以平面，
过点在平面内作，垂足为点，
因为平面，所以，
因为，，、平面，所以平面，
所以即为到平面距离．
在中，由，，则．
又因为，所以，
所以点到平面的距离为.

17.【答案】解：（1）由，，且得：，
由正弦定理得．
因为，所以，
则，
整理得．
因为，所以，所以，所以．
因为，所以．
（2）因为的面积为，所以，所以．
由余弦定理得：，所以，
所以．
所以的周长为．

18.【答案】解：（1）设函数的最小正周期为，
由图可知，则，所以，即，
又因为，所以，，
因为，所以，，所以．
（2）解法一：由（1）知，
则．
．
因为，
所以．
因为，即，所以，
即，所以在上的值域为；
解法二：由（1）知，
则，
，
则
，
因为，即，所以，
即，所以在上的值域为．
（3）由题知，
则，
所以
，
令即，则或．
当时，，，即，．
因为，所以，化简得：，，
则，或，．
当时，，，即，，
因为，所以，
化简得：，，此时不存在，即无解.
故在上的零点之和为．

19.【答案】解：(1)在四棱锥中，侧棱长均为，，，
．
所以、、均为边长为的等边三角形．
证法一：分别取、的中点、，连接、、，则，．
因为、分别为、的中点，所以，，
由已知，，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以．
因为，所以．
又因为，平面，平面，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
证法二：取的中点，连接、、．
因为、为边长为的等边三角形，所以，，
且，所以为二面角的平面角．
在等腰梯形中，过、分别作、，垂足分别为、，
因为，，，所以四边形为矩形，则，
因为，，且，所以，
所以，则，
由勾股定理可得，
，
在中，，，所以，所以，
所以二面角为直二面角，所以平面平面．
证法三：延长、交于点，连接，
因为，，所以、分别为、的中点，
所以，则，
因为为等边三角形，所以，
所以，则，
所以，即，同理可证，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）分别取、的中点、，连接、、、、，
因为为等边三角形，为的中点，所以，
因为，，为的中点，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，同理可证，
因为，故，
因为为的中点，所以，且，
因为，所以，所以为二面角的平面角．
因为等边的边长为，所以．
在中，，，为的中点，所以,
所以．
在中，，，
由余弦定理得．
所以二面角的平面角的余弦值为.
（3）记直线与平面所成角为，设点到平面的距离为，则，
要使直线与平面所成角最大，则只需要最大，即的长最小．
由（1）方法1知：，平面，则平面．
过在平面内作，垂足为点，
因为平面，平面，所以．
因为，，所以平面．
又因为，平面，平面，所以平面，
所以点到平面距离等于点到平面距离，即为．
在等边中，为中点，，
所以．
由平面，平面，则，
因为，，、平面，所以平面，
因为平面，所以，所以取最小值时，点与重合．
连接，在等边中，为中点，则，
因为，，则，即是靠近点的四等分点，
所以当点在线段靠近点的四等分点处时，直线与平面所成角最大．
在等边、等边中，为中点，，
则，
则在中，，
所以．
综上所述：当点在线段靠近点的四等分点处时，直线与平面所成角最大，
其正弦值为．