2025-2026学年广东省深圳市第二高级中学高一（下）期末数学试卷

这是一份2025-2026学年广东省深圳市第二高级中学高一（下）期末数学试卷，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为48次，则在本次试验中，下列说法正确的是（ ）
A. 正面向上的频率为0.48B. 正面向上的概率为0.48
C. 反面向上的频率是0.48D. 反面向上的概率是0.48
2.某学校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，已知女学生一共抽取了80人，则n的值是（ ）
A. 193B. 192C. 191D. 190
3.已知复数z=1+i,则=（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
4.如图，△O′A′B′是用斜二测画法画出的水平放置的△OAB的直观图，若，△O′A′B′的面积为3，则OB=（ ）
A.
B.
C. 6
D. 12
5.已知△ABC的内角A，B所对的边分别为a,b,若atanB=btanA，则△ABC的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
6.已知A，B，C三点不共线，点O在平面ABC外，点P满足，则当点P，A，B，C共面时，实数x=（ ）
A. B. C. D.
7.将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（ ）
A. B. C. D.
8.已知△ABC为边长为8的等边三角形，设点M为AB边的中点，点P在边BC上（包括端点），则的最小值等于（ ）
A. 16B. -16C. 9D. -9
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知z1，z2都是复数，下列选项中正确的有（ ）
A. 若z1z2=0，则z1=0或z2=0B. 若，则z1+z2是实数
C. D. 若z1-z2＞0，则z1＞z2
10.已知随机事件A、B发生的概率分别为，，则（ ）
A. 若A与B互斥，则
B. 若A与B相互独立，则
C. 若A⊆B，则
D. 若，则事件与B相互独立
11.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=2，AB=a,若E是CD的中点.则（ ）
A. 过B，E，D1三点作长方体ABCD-A1B1C1D1的截面，则截面为菱形
B. 存在实数a,使得直线AC1与平面BED1垂直
C. 直线AC1∩平面CB1D1=P，则
D. 点B1到直线D1E的距离d的范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，这道题被解出的概率是______．
13.如图，为了测量某塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处的仰角为30°，从A处向正东方向走210米到地面B处，测得塔顶T处的仰角为60°，若∠AOB=60°，塔底在水平地面的中心为O，则铁塔OT的高度为 米.
14.已知Ω是棱长为的正四面体ABCD，设Ω的四个顶点到平面α的距离所构成的集合为M，若M中元素的个数为k,则称α为Ω的k阶等距平面，M为Ω的k阶等距集.如果α为Ω的1阶等距平面且1阶等距集为{m}，则符合条件的a有 个，m的所有可能取值构成的集合是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某学校组织高二数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取100人，将其成绩（百分制）分成[40，50），[50，60），…，[90，100]六组，得到频率分布直方图（如下图），请完成下列问题：
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计参加挑战赛的学生成绩的90%分位数；
（2）已知落在区间[60，70）的样本平均分是63，方差是5；落在区间[70，80）的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差s2.
16.(本小题15分)
如图，在△ABC中，AB=2，3acsB-bcsC=ccsB，点D在线段BC上.
（1）若，求AD的长；
（2）若BD=2DC，△ABC的面积为，求的值.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且AB⊥AD，AD=2AB=2BC=4，PA⊥平面ABCD，E、F分别是PD、AD的中点.
（1）求证：平面CEF∥平面PAB；
（2）若二面角P-CD-A的大小为45°：
（i）求AP的长；
（ⅱ）求直线CD与平面BCE所成角的正弦值.
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求A的值；
（2）若△ABC为锐角三角形，且，求△ABC面积的取值范围.
（3）若a+1=b,c＞2，当△ABC的周长最小时，求c的值.
19.(本小题17分)
如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为2，，M，N分别为AD，AA的中点.
（1）求证：平面BDD1⊥平面BND1；
（2）若动点P满足，且λ，μ∈[0，1].
（i）若，E为A1M上一动点，是否存在E使得EP∥平面ABCD，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
（ⅱ）若μ=2λ（λ≠0），点O为三棱锥P-MBD外接球的球心，求OP的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】ABC
10.【答案】ABD
11.【答案】ABC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】7

15.【答案】a=0.03，90%分位数为88 ；s2=58.4
16.【答案】
17.【答案】在△PAD中，E、F分别是PD、AD的中点，
所以EF∥PA，
又EF⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
所以EF∥平面PAB，
因为四边形ABCD是直角梯形，且AB⊥AD，
所以BC∥AD，
又AD=2BC，F是AD的中点，
所以BC∥AF，BC=AF，
所以四边形ABCF是矩形，所以AB∥CF，
又CF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
所以CF∥平面PAB，
而EF∩CF=F，EF⊂平面CEF，CF⊂平面CEF，
所以平面CEF∥平面PAB
（ⅰ）；（ⅱ）
18.【答案】
19.【答案】证明：如图，设BD1∩B1D=H，连接NH，DN，

因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为2，且M，N分别为AD，AA1的中点，
则，NH⊥BD1，
又因为，则，
，
易得DD1⊥BD，DD1=BD，
则，
故∠DHN是二面角D-D1B-N的平面角．
又因为NH2+DH2=DN2，可得∠DHN=90°，
故平面BDD1⊥平面BND1
（i）存在，；（ii）