四川泸州市2025-2026学年高二下学期期末质量监测题数学试卷（含答案）

这是一份四川泸州市2025-2026学年高二下学期期末质量监测题数学试卷（含答案），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线y2=4x的准线方程为( )
A. x=−1B. y=−1C. x=1D. y=1
2.设随机变量X∼B2,p，若EX=23，则p=( )
A. 13B. 12C. 23D. 34
3.二项式2x−16展开式的第3项的二项式系数是( )
A. 15B. 15x2C. 20D. 20x3
4.如图，在空间四边形OABC中，设OA=a，OB=b，OC=c，且OM=2MA ，BN=NC，则MN=( )
A. 23a+23b+12cB. 12a+12b−12c
C. 12a−23b+12cD. −23a+12b+12c
5.已知an是等差数列，则“数列an是递减数列”是“a1>a2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知随机变量X∼Nμ,σ2，若PX≤94+P(X0的左，右焦点分别为F1,F2，P是C上一点，且PF2⊥x轴，直线l平分∠F1PF2，O是坐标原点．下列结论正确的有( )
A. 若PF1=5PF2，则C的离心率为 62 B. 若F2Q⊥l，垂足为Q，则OQ=a2
C. l与C有唯一公共点 D. l与x轴的交点在直线x=a2c上
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从4名男生和3名女生中任选4人参加主持人大赛，则选中的4人中恰有1名女生的选法共有 种．
13.直线y=2x+3a与曲线y=x+lnx相切，则a= ．
14.底面边长为 2的正四棱锥的体积为43，则该棱锥的外接球球心到其侧面的距离为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列an为等差数列，Sn是其前n项和，且S3=a1+a5=18.数列bn满足b1=12，bn+1=12bnn∈N∗
(1)求数列an和bn的通项公式；
(2)设cn=ban，求数列cn的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
某科技公司为优化智能客服系统，收集了10000名用户对AI客服的满意度评分(满分100分)从中随机抽取100名用户的评分数据作为样本，整理得到如下频率分布直方图．
(1)求a的值；
(2)若给满意度评分从高到低排名前25%的用户发放“AI体验官专属福利”，请估计获得福利的用户的最低评分(结果精确到1分)；
(3)现从评分位于60,90的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2人，设这2人中评分落在60,70内的人数为X，求X的分布列及数学期望．
17.(本小题15分)
如图，在多面体ABCDE中，AB⊥平面BCD，BC=CD=1，BC⊥CD，F为BD中点，FE=CA
(1)证明：AE⊥平面ABD；
(2)若直线AE与平面ACD所成角的正弦值为 1010，求平面ABE与平面ADE夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1，a>b>0过点 2,1和2,0，过点Mm,0的直线l与C交于A，B两点，A在第一象限．
(1)求C的方程；
(2)若m=1，点D3,0，求S▵ABD的取值范围；
(3)直线l交y轴于点N，M为AN中点，点A关于y轴的对称点为P，延长PM交C于点Q，PM=2MQ，求直线BQ的斜率．
19.(本小题17分)
已知函数fx=12x2−a+1x+alnx
(1)当00)，则A(0,1,a)．
设平面ACD的一个法向量m=(x,y,z)，
则m⋅CA=0m⋅CD=0⇒y+az=0x=0，令y=a，则x=0,z=−1，所以m=(0,a,−1)．
AE=CF=(12,12,0)，
因此直线AE与平面ACD所成角的正弦值为|cs|=|AE⋅m||AE||m|=a2 22 a2+1= 1010，
解得a=12．
所以A(0,1,12)．
设平面ABE的一个法向量n1=(x1,y1,z1)，AE=(12,12,0),BA=(0,0,12)，
则n1⋅AE=0n1⋅BA=0⇒12x1+12y1=0z1=0,
令x1=1，则y1=−1,z1=0，所以n1=(1,−1,0)．
设平面ADE的一个法向量n2=(x2,y2,z2)，AE=(12,12,0),AD=(1,−1,−12)，
则n2⋅AE=0n2⋅AD=0⇒12x2+12y2=0x2−y2−12z2=0,
令x2=1，则y2=−1,z2=4，所以n2=(1,−1,4)．
平面ABE与平面ADE夹角的余弦值为|cs|=|n1⋅n2||n1||n2|=1+1 2×3 2=13．

18.【答案】解：(1)因为椭圆C：x2a2+y2b2=1，a>b>0过点 2,1和2,0，
则2a2+1b2=14a2=1，解得a2=4b2=2,
所以椭圆C的标准方程为x24+y22=1．
(2)若m=1，可知直线l的斜率不为0，且直线l与椭圆C必相交，

设直线l：x=ty+1，Ax1,y1，Bx2,y2，
联立方程x=ty+1x24+y22=1，消去x可得t2+2y2+2ty−3=0，
则y1+y2=−2tt2+2，y1y2=−3t2+2，可得y1−y2= −2tt2+22+12t2+2=2 2 2t2+3t2+2，
且MD=2，则S▵ABD=12×MD⋅y1−y2=2 2 2t2+3t2+2，
令u= 2t2+3≥ 3，则t2=u2−32，可得S▵ABD=2 2uu2−32+2=4 2u+1u，
令fu=u+1u，u≥ 3，
可知fu在 3,+∞内单调递增，则fu≥f 3=4 33，
即u+1u≥4 33，则00，可知nx在0,+∞内单调递增，
当x趋近于0时，nx趋近于−∞；当x趋近于+∞时，nx趋近于1；
可知nx在0,+∞内存在唯一零点x0，
当01，当x∈0,1∪x0,+∞，g′x>0；当x∈1,x0，g′x