四川泸州市2025-2026学年高三下学期质量监测数学试卷（含答案）

这是一份四川泸州市2025-2026学年高三下学期质量监测数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=xxx−30的最小正周期为π，则( )
A. ω=2B. f3π2= 32
C. fx的图象关于点5π12,0对称D. fx在0,π2上的最小值为−12
10.若P是正四棱台ABCD−A1B1C1D1的棱BB1上的动点(包括端点)，则( )
A. 存在点P，使得AP⊥平面BB1C1C
B. 直线AP与DD1异面
C. 平面PAC⊥平面BDD1B1
D. 若PB=PB1，则平面DA1C1//平面PAC
11.设抛物线C1:y2=4x的焦点为F，点P在C1上，点Q在圆C2:x−32+y2=1上，则( )
A. PF+PC2的最小值为4
B. 对任意点Q，总存在两点P满足PF=PQ
C. 若直线FQ与C2相切，则FQ被C1所截得的弦长为8
D. ∠FPC2的最大值为π4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量a，b满足a=b=a−b=1，则a，b的夹角为 ．
13.设Sn为等比数列an的前n项和，若S2+a2=0，S4=5，则an的最小值为 ．
14.已知圆台的下底面半径是上底面半径的2倍，母线长为6，若一个球与该圆台的上下底面和侧面均相切，则球与圆台的侧面切点所形成的曲线的长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcsC=2a+c．
(1)求B；
(2)已知a=1，b= 7，求AC边上的高．
16.(本小题15分)
已知函数fx=ax2−x−1ex，其中a>0．
(1)当a=1时，求函数fx的极小值；
(2)当x>0时，fx≥−e恒成立，求a的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABF−DCE中，侧面ADEF⊥侧面ABCD，侧面ABCD为矩形，∠FAD=120 ∘，AD=2AF=4，点M在棱FB上，且BD//平面AME．

(1)求证：MB=MF；
(2)若三棱锥M−AEF的体积为2 33，点N为BC的中点，求平面MAE与平面NAE夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)经过点P(−2, 33)，F(2,0)为C的右焦点．
(1)求C的标准方程；
(2)过点F的直线l与C的右支交于A，B两点，设点B关于x轴的对称点为D．
(i)已知S▵ADF=2，求l的方程；
(ii)设▵ADF的外接圆圆心为E，证明：直线EF的斜率与AD的斜率之积为定值．
19.(本小题17分)
在一个盒子中，装有5个大小相同的小球，小球上的编号依次为1，2，3，4，5，现从中有放回地依次随机抽取小球若干次，每次仅抽取1个小球并记录小球上的编号．记Xi为第i次抽取后出现的编号种类数(例如，依次抽取3次，小球编号分别为3，3，1，于是X3=2).
(1)求X2=2的概率；
(2)记Mi为第i次抽取后出现的编号中的最小编号，Ni为第i次抽取后出现的编号中的最大编号．
(i)若Mi≥4的概率不超过0.1，求i的最小值；
(ii)设Mi，Xi，Ni的数学期望分别为EMi，EXi，ENi，探究是否存在正整数i和正整数m，使得EMi，mEXi，ENi成等差数列．若存在，求出所有满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.A
2.B
3.D
4.D
5.A
6.C
7.C
8.B
9.ACD
10.BC
11.ABD
12.π3
13.−4
14.163π
15.解：(1)因为2bcsC=2a+c，由正弦定理得2sinBcsC=2sinA+sinC，
所以2sinBcsC=2sin(B+C)+sinC，即2sinBcsC=2(sinBcsC+csBsinC)+sinC，
整理可得(2csB+1)sinC=0，▵ABC中sinC>0，
所以csB=−12，且00，问题转化为a≥x+1−e1−xx2x>0，
令ℎx=x+1−e1−xx2，则a≥ℎxmax，
ℎ′x=1+e1−xx2−x+1−e1−x⋅2xx4，令分子为0，化简得
1+e1−xx=2x+1−e1−x，整理得e1−xx+2=x+2，
∵x>0，x+2≠0，故e1−x=1，解得x=1，
当01时，ℎ′x0，fx≥−e成立；
当a0，
由点B关于x轴的对称点为D，得直线FD,FA的斜率之和为0，即y1x1−2+y2x2−2=0，
则y1(ty2+m−2)+y2(ty1+m−2)=0，整理得2ty1y2+(m−2)(y1+y2)=0，
因此2t⋅m2−3t2−3+(m−2)(−2tmt2−3)=0，而t≠0，解得m=32，
即直线AD过定点G(32,0)，y1+y2=−3tt2−3,y1y2=−34(t2−3)>0
则S▵ADF=12|GF||y1−y2|=14 (y1+y2)2−4y1y2=14 9t2(t2−3)2+3t2−3=2，
整理得64(t2−3)2=12t2−9，而t20.1，不满足题意．
令i=2，则25i=252=425=0.16>0.1，不满足题意．
令i=3，则25i=253=8125=0.0641−452=925，51−45i>5×925=95，
所以当i≥3时，0