2026年北京市燕山区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2026年北京市燕山区中考数学二模试卷（含解析），共32页。试卷主要包含了选择题．，填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知，，，四点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．比大D．与互补
3．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．六边形的内角和为（ ）
A．B．C．D．
5．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在正方形中，点在上，，相交于点，．若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
8．连接正五边形的对角线，得到如图所示图形，中心为点，与交于点．连接与交于点，连接，，，．
观察后得出如下结论：
①；
②连接，则有；
③；
④连接，则有．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
二、填空题（共16分，每题2分）
9．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
10．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ．
11．写出一个比大且比小的整数 ．
12．如图，平分，点在射线上，若使，则还需添加的一个条件是 （只填一个即可）．
13．如图，在矩形中，，分别为，的中点，则的值为 ．
14．每年的6月6日是全国爱眼日．某校为了解九年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，得到如下的频数分布表：
该校九年级共有600名学生．根据上表数据，请估计这600名九年级学生的视力在范围内的人数为 ．
15．反比例函数的图象上，横、纵坐标都是整数的点的个数是 ．
16．晓聪被邀请玩一个拍灯挑战，规则如下：桌面上有40盏无差别的小灯，每个灯只有两种状态：亮或者暗，挑战者晓聪可以通过拍灯来切换一盏灯的亮暗状态，但是每一盏灯只能拍一次．现40盏小灯中，已知有15盏灯亮，其余都是暗的，要求挑战者蒙上双眼，将40盏小灯分成两组，如果玩家可以只通过拍灯的方式，使两组中亮着的小灯数一样多，就算挑战成功．
（1）若将灯平均分成两组，经检查第一组里有5盏灯亮．如果只拍第一组的灯，则最少需要拍 盏挑战成功．
（2）晓聪的做法是：从40盏灯中任意选出盏作为一组，然后将这盏灯逐一拍一下，结果他挑战成功了，那么 ．
三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
17．计算：．
18．解不等式组：．
19．已知，求代数式的值．
20．如图，在△中，，，分别为，的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
21．在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
（1）求，的值；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出的取值范围．
22．五一国际劳动节小长假，小聪一家驾驶某款新能源汽车外出游玩，去时选择普通公路，返回时选择高速公路．走普通公路比高速公路的路程多60公里，这款新能源汽车在普通公路上行驶平均每百公里耗电20度，在高速公路上行驶比普通公路上行驶平均每百公里耗电增加，该车选择的充电站的充电综合费用均为1.5元度．最终发现走普通公路的电费比高速公路电费少15元，求去时所走普通公路的路程．
23．为了解某年级200名学生，两门课程的学习情况，从中随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理描述和分析．下面给出了部分信息．
．课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，；
．课程成绩在这一组的是：
85 85 83 85 84 81 80
．，两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值；
（2）在此次测试中，学生甲的课程成绩为83分，课程成绩为83分，这名学生成绩排名更靠前的课程是 （填“”或“” ；
（3）在此次测试中，学生乙的课程成绩为84分，课程成绩为85分，下面有两个推断：
①学生乙这两门课程的总成绩一定高于这20名学生两门课程总成绩的平均数；
②若按这两门课程的总成绩对这20名学生由高到低排序，该名学生一定排在前10名；
其中所有正确推断的序号是 ；
（4）假设该年级200名学生都参加此次测试，估计课程成绩不低于80分的学生有 人．
24．如图，△是的内接三角形，，点在的延长线上，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求直径的长．
25．中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间．部分内容如下：
．探究活动在同一社团活动室进行，室温；
．经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；
．同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为（单位：，普洱茶茶水的温度为（单位：，绿茶茶水的温度为（单位：．记录的部分数据如下：
对以上数据进行分析，补充完成以下内容．
（1）可以用函数刻画与，与之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象；
（2）探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为 时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为 （结果保留小数点后一位）；
（3）在探究普洱茶茶水温度与放置时间函数关系的活动中选取了三个时刻，，，，，对应的温度分别为，，，若，则 （填“”“ ”或“” ．
26．在平面直角坐标系中，点为抛物线上一点，点坐标为，点与点不重合．
（1）求此抛物线的顶点坐标和对称轴（用含的代数式表示）；
（2）连接．
①当线段与抛物线有且只有1个公共点时，直接写出的取值范围；
②在①的条件下，过点作轴的垂线交抛物线于点，若线段的长随的增大而减小，求的取值范围．
27．已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点在射线上，连接．
（1）如图1，用等式表示与的数量关系，并证明；
（2）如图2，当时，过点作的垂线交射线于点．连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系中，对于点和图形，若存在以点为直角顶点的直角，使得图形都在该直角内部，就称点是图形的“直盖点”．如图1点是图形的“直盖点”．
（1）若图形是线段，其中点的坐标为，点的坐标为，则以下三点，，中是线段的“直盖点”的是 ；
（2）若的半径为，直线，记直线上的“直盖点” 的横坐标为，直接写出的取值范围；
（3）设的半径为，圆心是轴上的动点，直线与轴，轴分别交于点，，若线段上存在的“直盖点”，直接写出的取值范围．
参考答案
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
解：．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
2．已知，，，四点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．比大D．与互补
解：．由图可得，，那么错误，故不符合题意．
．由图可得，，那么错误，故不符合题意．
．由图可得，，，得与一样大，那么错误，故不符合题意．
．由图可得，，，得，即两个角互补，那么正确，故符合题意．
故选：．
3．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
解：．，
，故选项错误；
．，
，故选项正确；
．，
，故选项错误；
．，
，故选项错误．
故选：．
4．六边形的内角和为（ ）
A．B．C．D．
解：根据多边形的内角和可得：
．
故选：．
5．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
解：根据题意得△，
解得，
故选：．
6．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
解：列表如下：
共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球标号相同的结果有3种，
两次摸出的小球标号相同的概率为．
故选：．
7．如图，在正方形中，点在上，，相交于点，．若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
解：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
在△中，由勾股定理得，
，
，
，
故选：．
8．连接正五边形的对角线，得到如图所示图形，中心为点，与交于点．连接与交于点，连接，，，．
观察后得出如下结论：
①；
②连接，则有；
③；
④连接，则有．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
解：①正五边形内接于，
，
，
因此①正确；
②如图，连接，，对称性可知，点、、、共线，
，，
，
，
因此④正确；
，
，
同理，
，
四边形是菱形，
，
，
因此②正确；
③由题意可得，；
，
因此③不正确；
综上所述，正确的结论有：①②④，
故选：．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
10．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ．
解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为：，
故答案为：．
11．写出一个比大且比小的整数 3（答案不唯一） ．
解：，，
所有比小且比大的整数有3，4，
这个整数可以是3，
故答案为：3（答案不唯一）．
12．如图，平分，点在射线上，若使，则还需添加的一个条件是 （答案不唯一） （只填一个即可）．
解：平分，
，
若添加，
在和中，
，
，
若添加，
在和中，
，
，
若添加，
在和中，
，
，
故答案为：（答案不唯一）．
13．如图，在矩形中，，分别为，的中点，则的值为 ．
解：连接，
四边形是矩形，
，
，分别为，的中点，
是△是中位线，
，
，
故答案为：．
14．每年的6月6日是全国爱眼日．某校为了解九年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，得到如下的频数分布表：
该校九年级共有600名学生．根据上表数据，请估计这600名九年级学生的视力在范围内的人数为 240人 ．
解：估计这600名九年级学生的视力在范围内的人数为：（人．
故答案为：240人．
15．反比例函数的图象上，横、纵坐标都是整数的点的个数是 8 ．
解：当、2、3、6时的对应值为、、、，
在第四象限内有四个点符合条件，
此函数的图象关于原点对称，
在第二象限内必有四个点符合此条件，
横坐标和纵坐标都是整数的点的个数是8个．
故答案为：8．
16．晓聪被邀请玩一个拍灯挑战，规则如下：桌面上有40盏无差别的小灯，每个灯只有两种状态：亮或者暗，挑战者晓聪可以通过拍灯来切换一盏灯的亮暗状态，但是每一盏灯只能拍一次．现40盏小灯中，已知有15盏灯亮，其余都是暗的，要求挑战者蒙上双眼，将40盏小灯分成两组，如果玩家可以只通过拍灯的方式，使两组中亮着的小灯数一样多，就算挑战成功．
（1）若将灯平均分成两组，经检查第一组里有5盏灯亮．如果只拍第一组的灯，则最少需要拍 5 盏挑战成功．
（2）晓聪的做法是：从40盏灯中任意选出盏作为一组，然后将这盏灯逐一拍一下，结果他挑战成功了，那么 ．
解：（1）一共有40盏小灯，
每组有盏小灯，
一共有15盏灯亮，第一组有5盏灯亮，
第二组有盏灯亮，第一组有盏灯暗，
第二组亮灯数不变，只拍第一组灯，且要使两组中亮着的小灯数一样多，
拍完灯后第一组有10盏灯亮，
要使拍灯盏数最少，
所拍的灯都是暗的灯，使它们都变亮后满足第一组有10盏灯亮，
最少需拍盏灯，
故答案为：5；
（2）设选出的盏灯中原有盏亮灯，则剩余一组的原有亮灯数为，
将选出的盏灯每一盏都拍一下后，原有盏亮灯变为暗，原有盏暗灯变为亮，
因此拍完后选出组的亮灯数为，
拍完后两组中亮着的小灯数一样多，
，
解得，
故答案为：15．
三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
17．计算：．
解：原式
．
18．解不等式组：．
解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
该不等式组的解集是．
19．已知，求代数式的值．
解：
，
当，即时，
原式．
20．如图，在△中，，，分别为，的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【解答】（1）证明：点、分别是边、的中点，
是△的中位线，，
，，
又，
四边形是平行四边形，
，，
．
平行四边形是菱形；
（2）解：如图，连接，
由（1）可知，，
，
△是等边三角形，
，
，△是直角三角形，，
，
是的中点，
，
即的长为．
21．在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
（1）求，的值；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出的取值范围．
解：（1）由题意，函数的图象由函数的图象平移得到，
．
函数为．
又函数过，
．
．
答：，．
（2）由题意，结合（1）可得为，为，
在同一坐标系中画出，的图象如下．
当时，，则，且当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，
结合图象可得，．
22．五一国际劳动节小长假，小聪一家驾驶某款新能源汽车外出游玩，去时选择普通公路，返回时选择高速公路．走普通公路比高速公路的路程多60公里，这款新能源汽车在普通公路上行驶平均每百公里耗电20度，在高速公路上行驶比普通公路上行驶平均每百公里耗电增加，该车选择的充电站的充电综合费用均为1.5元度．最终发现走普通公路的电费比高速公路电费少15元，求去时所走普通公路的路程．
解：设返回时所走高速公路的路程为公里，则去时走普通公路的路程为公里，
根据题意得，
解得，
（公里）．
答：去时所走普通公路的路程610公里．
23．为了解某年级200名学生，两门课程的学习情况，从中随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理描述和分析．下面给出了部分信息．
．课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，；
．课程成绩在这一组的是：
85 85 83 85 84 81 80
．，两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值；
（2）在此次测试中，学生甲的课程成绩为83分，课程成绩为83分，这名学生成绩排名更靠前的课程是 （填“”或“” ；
（3）在此次测试中，学生乙的课程成绩为84分，课程成绩为85分，下面有两个推断：
①学生乙这两门课程的总成绩一定高于这20名学生两门课程总成绩的平均数；
②若按这两门课程的总成绩对这20名学生由高到低排序，该名学生一定排在前10名；
其中所有正确推断的序号是 ；
（4）假设该年级200名学生都参加此次测试，估计课程成绩不低于80分的学生有 人．
解：（1）将被调查的20名学生的课程成绩从小到大排列，处在第10、第11位的两个数的平均数为，所以课程成绩的中位数是82分，即；
（2）学生甲的课程成绩为83分，在其中位数82分之上，课程成绩为83分，在其中位数84分之下，所以学生甲的课程成绩排名靠前，
故答案为：；
（3）①学生乙的课程成绩为84分，课程成绩为85分，均比相应的中位数大，所以学生乙这两门课程的总成绩一定高于这20名学生两门课程总成绩的平均数，因此①正确；
②学生乙的课程成绩为84分，课程成绩为85分，均在相应的中位数之上，所以按这两门课程的总成绩对这20名学生由高到低排序，该名学生一定排在前10名，因此②正确；
故答案为：①②；
（4）（人，
故答案为：120
24．如图，△是的内接三角形，，点在的延长线上，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求直径的长．
【解答】（1）证明：连接，
则，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：过点作，交的延长线于，则四边形是正方形，
，
，
，
，
在△中，，
，
解得．
即直径的长为2．
25．中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间．部分内容如下：
．探究活动在同一社团活动室进行，室温；
．经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；
．同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为（单位：，普洱茶茶水的温度为（单位：，绿茶茶水的温度为（单位：．记录的部分数据如下：
对以上数据进行分析，补充完成以下内容．
（1）可以用函数刻画与，与之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象；
（2）探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为 5.5 时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为 （结果保留小数点后一位）；
（3）在探究普洱茶茶水温度与放置时间函数关系的活动中选取了三个时刻，，，，，对应的温度分别为，，，若，则 （填“”“ ”或“” ．
解：（1）由题意，描点、连线作图如下．
（2）由题意，结合函数的图象可得，
茶水温度降至饮用，口感最佳，
当绿茶茶水的放置时间约为，此时普洱茶茶水的温度约为．
故答案为：5.5；66.0．
（3）由题意，不妨令，，，
满足，
，，．
，．
．
故答案为：．
26．在平面直角坐标系中，点为抛物线上一点，点坐标为，点与点不重合．
（1）求此抛物线的顶点坐标和对称轴（用含的代数式表示）；
（2）连接．
①当线段与抛物线有且只有1个公共点时，直接写出的取值范围；
②在①的条件下，过点作轴的垂线交抛物线于点，若线段的长随的增大而减小，求的取值范围．
解：（1）抛物线，
抛物线的对称轴为直线，顶点为；
（2）①点，点为，
轴，
点为抛物线上一点，
点关于对称轴的对称点为，
线段与抛物线有且只有1个公共点，
或，
解得或．
故或且；
②点为抛物线上一点，点坐标为，
，
，
把代入得，，
，
，
当，
或时，，
线段的长随的增大而减小，
；
当，
时，，
时，的长随着的增大而减小，
由①可知或且，
综上，满足条件的的取值范围是．
27．已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点在射线上，连接．
（1）如图1，用等式表示与的数量关系，并证明；
（2）如图2，当时，过点作的垂线交射线于点．连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
解：（1），证明如下：
，，三点共线，
，
，
，
线段绕点旋转得到线段，
，
．
（2），证明如下：
，，
，
，
作，且使，连接，，如图，
，
，
，
，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
在△中，，
，
．
28．在平面直角坐标系中，对于点和图形，若存在以点为直角顶点的直角，使得图形都在该直角内部，就称点是图形的“直盖点”．如图1点是图形的“直盖点”．
（1）若图形是线段，其中点的坐标为，点的坐标为，则以下三点，，中是线段的“直盖点”的是、 ；
（2）若的半径为，直线，记直线上的“直盖点” 的横坐标为，直接写出的取值范围；
（3）设的半径为，圆心是轴上的动点，直线与轴，轴分别交于点，，若线段上存在的“直盖点”，直接写出的取值范围．
解：（1）根据定义可得线段的“直盖点”均在以该线段为直径的圆外，
如图，作以长为直径的圆，线段的“直盖点”为点、．
故答案为：、；
（2）根据定义可得，在其“直盖点” 为直角顶点的直角内部，如图，引两条切线相交于点，
的半径为，
当两条切线夹角为时，，
的直盖点在以为圆心，以2为半径的圆外．
作以为圆心，2为半径的圆与直线交于．两点，
设，两点的坐标为，，，，
由勾股定理得，解得，，
点的横坐标的取值范围为或；
（3），
由（2）得的“直盖点”在以6为半径的圆外，
当线段全部在半径为6的圆内时不能满足题意，
①当圆心在线段左侧时，如图，作以为圆心，6为半径的圆，当线段全部在大圆内时，设此时的圆心为此时大圆过点，易得圆心的坐标为；
②当圆心在线段右侧时，如图，作以为圆心，6为半径的圆，当线段全部被大圆包含时，
设此时的圆心为，此时大圆过点，
在△中，由勾股定理得，则的坐标为，
综上所述，观察图象可得圆心的横坐标的取值范围是或．
分组
人数（频数）
2
8
14
12
4
课程
平均数
中位数
众数
80
85
79.9
84
86
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
10.0
95.0
88.5
82.6
77.2
72.4
68.0
64.0
60.3
57.1
54.1
51.4
85.0
79.5
74.5
70.0
65.8
62.0
58.6
55.5
52.7
50.2
47.9
1
2
3
1
2
3
分组
人数（频数）
2
8
14
12
4
课程
平均数
中位数
众数
80
85
79.9
84
86
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
10.0
95.0
88.5
82.6
77.2
72.4
68.0
64.0
60.3
57.1
54.1
51.4
85.0
79.5
74.5
70.0
65.8
62.0
58.6
55.5
52.7
50.2
47.9