黑龙江大庆市大庆中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷解析版

这是一份黑龙江大庆市大庆中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷解析版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 设复数，则z的共轭复数的虚部为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由复数得，则其虚部为4.
2. 已知圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则该圆柱的体积为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设该圆柱的底面半径为，高为，，，得，所以该圆柱的体积.
3.已知一组数据：4，6，a，10，12，14的平均数为9，则这组数据的第70百分位数为
A．9B．10C．11D．12
【答案】D
【解析】因为平均数为9，故，解得，由可得，第70百分位数为第5个数，即12 .
4.设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是
A．若，∥，∥，则
B．若⊂，⊂，∥，则∥
C．若，∥，∥，则∥
D．若，，∥，则
【答案】C
【解析】如下左图，正方体中，记底面为平面，侧面为平面，为，为，
显然满足，∥，∥，但是此时，A不正确；
如下右图，满足⊂，⊂，∥，但是此时，B不正确；
因为，所以存在平面，使得，根据线面平行的性质定理可得，
所以，又因为，根据线面平行的判定定理可得，
而，所以，又因为，所以，C正确；
因为，，所以，因为，所以，D不正确.
5.中国古代有一种盛米的重要容器叫“方斗”，其形状是一个上大下小的正四棱台，如图.已知一“方斗”上底面边长为3，下底面边长为1，若从这个恰好盛满米的“方斗”中取出38斤米
后，米的高度下降了一半，则剩余的米的质量为
A．14斤B．24斤C．38斤D．56斤
【答案】A
【解析】设线段、、、的中点分别为、、、，如下图所示：
易知四边形为等腰梯形，因为线段、的中点分别为、，
则，
设棱台的高为，体积为，
则棱台的高为，设其体积为，
则，则，
所以，，所以，该“方斗”可盛米的总质量为斤.
所以米的高度下降了一半，则剩余的米的质量为斤.
6.在等腰梯形中，，，，若，则
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图：
等腰梯形中，，所以，
又，，
所以.
7.设向量，定义一种向量运算，已知向量，，点在的图象上运动．点是函数图象上的动点，且满足 其中为坐标原点，则函数的值域是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为点在的图象上运动，所以，即，
由题意可得，
所以，消去，得，即，
所以的值域是.
8.古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由于平面，平面，所以，
由于四边形是矩形，所以，
所以两两相互垂直，
所以四棱锥可补形为长方体，且长方体的体对角线为，
所以四棱锥的外接球的直径，即，
所以四棱锥的外接球的体积.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，事件为“甲、乙中至少有一人中奖”，则下列说法错误的是
A．与互斥B．与对立C．与互斥D．与对立
【答案】ABD
【解析】与可以同时发生，所以与不互斥，故A错误；
与可以同时发生，所以与不互斥也不对立，故B错误；
为甲乙都中奖，为甲乙都不中奖，与不可能同时发生，所以与互斥，故C正确；
若事件发生，则事件一定发生，故与不是互斥事件，更不是对立事件，故D错误.
10.某班级有30名男生、20名女生，共50名学生参加数学单元测验，满分100分．下列说法正确的有
A．若按性别采用分层抽样抽取容量为10的样本分析数学成绩，则需要抽取4名女生的成绩
B．若数学成绩的众数为75，中位数为80，则数学平均成绩一定高于中位数
C．若男生数学成绩的方差为12，女生数学成绩的方差为8，则女生的数学成绩比男生的数学成绩更稳定
D．若将所有学生的数学成绩都加10分，则平均分增加10分，方差也增加10
【答案】AC
【解析】对于A：女生占总人数的，因此抽取的10人中，女生的人数为，A正确；
对于B：众数是出现次数最多的数，中位数是数据按从小到大或从大到小的顺序排列后处于中间位置的数，平均数受所有数据的影响，三者没有必然的大小关系，B错误；
对于C：方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小，数据越稳定、越整齐．女生数学成绩的方差8小于男生数学成绩的方差12，因此女生的数学成绩更稳定，C正确；
对于D：所有数学成绩同步加10分后，平均分增加10分，但方差反映数据的离散程度，整体加减不会改变数据的波动幅度，因此方差不变，D错误.
11.如图，在棱长为3的正方体中，是侧面内的一点，是线段上的一点，则下列说法正确的是
A．过点A，P，E的平面截该正方体所得的截面图形不可能为五边形
B．当点是线段的中点时，存在点，使得平面
C．存在点，使得平面平面
D．当为棱的中点且时，点的轨迹长度为
【答案】BCD
【解析】A选项，当为中点，为中点时，
在上取点Q ，使，在上取点T ，使
连接、，则，则四边形为平行四边形，则,
在平面内过点作，交于N，则,
连接，则同理可证,
则五边形为过点A，P，E的平面截该正方体所得的截面，故A错误；
B选项，当点重合时，平面，
若是线段的中点，则为和的交点，
因为平面，平面，所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以，
同理可证，，
因为平面，所以平面，
即平面，故B正确；
C选项，当为中点，为中点时，平面平面，
因为，平面，平面，则平面，
因为，又平面，平面，则平面，
又，则平面平面，故C正确；
D选项，当为棱的中点且时，点的轨迹长度为
取线段的中点，连接，则平面，
因为平面，所以，
因为，，所以，
则点在以为圆心，为半径且位于侧面内的圆上，
该圆分别交于点，
因为，所以，则，
故点的轨迹长度为，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.平面经过圆锥的轴，且截圆锥所得截面为边长为2的正三角形，该圆锥侧面积为________.
【答案】
【解析】平面截圆锥所得轴截面为边长2的正三角形，说明圆锥底面直径为2，母线长为2，故底面半径.圆锥的侧面积为 .
13.设，为单位向量，在上的投影向量为，则_______.
【答案】
【解析】因为在上的投影向量为，所以，又为单位向量，所以，
所以 .
14.某工厂的三个车间生产同一种产品，产量占比分别为.现在用分层随机抽样方法按比例分配从这三个车间生产的该产品中，共抽取70件做使用寿命的测试，则车间应抽取_______件；若三个车间产品的平均使用寿命分别为200，220，210小时，方差分别为30，20，40，则该样本的方差为________.
附：，其中为每层占比，为每层平均数，为每层标准差，为总体平均数.
【答案】 ；
【解析】由分层抽样方法可得：抽取车间应抽取的件数为：；
样本的总体平均数为：，
样本的总体方差为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.为了解中学生的身高情况，某部门随机抽取了某学校的100名学生，将他们的身高数据（单位：）按、，，，分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图
(1)求a值，并估计这100名学生身高的第45百分位数；
(2)在上述样本中，用分层抽样的方法从身高在的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人身高都不低于的概率.
【解析】（1），
1-5组的频率分别为，
前2组的频率之和为，
前3组的频率之和为，
所以第45百分位数落在，设为，
则，解得，
所以这100名学生身高的第45百分位数为165；
（2）身高在的学生有人，
身高在的学生有人，
故身高在的学生共有50人，
用分层抽样的方法从身高在的学生中抽取名，记为，
从身高在的学生中抽取名，记为．
从这5名学生中随机选取2名学生的所有结果为，共10种，
记A=“这2人身高都不低于160cm”，
则A包含的结果有：，共3种，
故所求概率 .
16.已知的内角的对边分别为，满足.
(1)求；
(2)若，求的周长.
【解析】（1）由及正弦边角关系得，
而，整理得，
因为，所以；
（2）由余弦定理，得，
进而得，得，
所以的周长为 .
17.如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求点到平面的距离．
【解析】(1)连接，交点O，连接，则O是的中点，
因为D是的中点，所以，
又平面，平面，所以平面.
(2)因为为等边三角形，且D是的中点，所以，
由正三棱柱的性质知，平面，而平面，所以，
又 平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面 .
（3）由（2）知平面，所以点A到平面的距离为，
而 2， 4，
设点B到平面的距离为d，且，
所以，即 ，解得，
所以到平面的距离为．
18.如图，在三棱锥中，，，平面平面．
(1)求三棱锥的体积；
(2)求异面直线与所成的角的余弦值；
(3)若点在棱上，当直线与平面所成的角最大时，求该角的正弦值．
【解析】（1）取棱BC的中点为，连接，
因为为边长2的等边三角形，所以，且；
因为平面平面，且平面平面，平面,
所以平面．
因为，，由，得，
故．
所以三棱锥的体积为．
（2）取棱和的中点分别为和，连接，，，
可得，，
则异面直线与的夹角为直线与所成的角．
过点作的垂线，垂足为，连接，
易得，所以平面，而平面，则，
，故．
在中，因,,
由余弦定理，得，
故异面直线与的夹角余弦值为．
（3）过点作平面的垂线，垂足为，连接和，
则为直线与平面所成角，
由（1）可知，，且平面，因为平面，
故，因为，且平面，
所以平面，所以，则，
在中，，，
则，
可得．
因为，所以．
因为，故当取最小值时，取最大值，则取最大值，
因为为棱上一动点，当且仅当时，取得最小值为，
此时．
即直线与平面所成最大角的正弦值为．
19.已知的内角的对边为，且.
(1)求；
(2)若的面积为；
（i）已知为的中点，求底边上中线长的最小值；
（ii）求内角的角平分线长的最大值.
【解析】（1）由正弦定理，得，即，
故，因为，所以，
所以；
（2）（i）由（1）知，且的面积为，
由三角形的面积公式得：，解得，
由于为的中点，则，两边平方可得：
由基本不等式可得：
（当且仅当时，等号取得到），
所以，故长的最小值为；
（ii）因为为角的角平分线，所以，
由于，
所以，
由于，所以，
由于，
又，所以，
由于（当且仅当时，等号取得到），
故，
故，即角平分线长的最大值为 .