湖北省十堰市2025_2026学年高二数学上学期10月月考试卷含解析

这是一份湖北省十堰市2025_2026学年高二数学上学期10月月考试卷含解析，共56页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 若复数 ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数 a 的值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的除法及纯虚数的定义列式求解.
【详解】依题意， ，
则 ，解得 ，
所以实数 a 的值为 .
故选：A
2. 如图所示，在 中， 为 BC 边上的三等分点，若 ， ， 为 AD 中点，则 （ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量 线性运算即可求解.
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【详解】
故选：A
3. 已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为 ，则其一条边所在直线的斜率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】以正方体的一顶点为坐标原点建立坐标系，设正方形的一对角线的倾斜角为 ，则 ，可
得到正方形边的倾斜角，利用两角和差的正切公式，即可求解.
【详解】
以正方形 的顶点 为坐标原点，建立如图坐标系，
根据题意，对角线 的斜率为 ，设其倾斜角为 ，
则正方形 的倾斜角分别为 ，
又 ，
所以两直角边的斜率分别为 或 .
故选: B.
4. 设 ， 是两个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ， ，且 ，则 B. 若 ， ，且 ，则
C. 若 ， ，且 ，则 D. 若 ， ，且 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】对于 ABC，由答案不完备可判断错误；对于 D，直接证明正确即可.
详解】对于 A，若 ， ，且 ，则 或 异面，故 A 错误；
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对于 B，若 ， ，且 ，则 平行或相交，故 B 错误；
对于 C，若 ， ，且 ，则 相交或 ，故 C 错误；
对于 D，若 ， ，则 ，因为 ，所以存在 使得 ，
所以 ， ，所以 .
故选：D.
5. 如图，平行六面体 的所有棱长为 2，四边形 是正方形，
，点 O 是 与 的交点，则直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】表达出 ，计算出 ， ，利用空间向量夹角余弦公式
计算出 ，得到直线 与 所成角的余弦值.
【详解】 ，
，
而
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，
故 ，
所以 ，
设直线 与 所成角的大小为 ，则 .
故选：D
6. 一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字 1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次
正四面体朝下的面上的数字.记事件 为“两次记录的数字和为奇数”，事件 为“两次记录的数字和大于 4”，
事件 为“第一次记录的数字为奇数”，事件 为“第二次记录的数字为偶数”，则（ ）
A. 与 互斥 B. 与 对立
C. 与 相互独立 D. 与 相互独立
【答案】D
【解析】
【分析】列举出基本事件，对四个选项一一判断：
对于 A：由事件 A 与 D 有相同的基本事件，否定结论；对于 B：由事件 C 与 D 有相同的基本事件，否定结
论；对于 C、D：利用公式法进行判断.
【详解】连续抛掷这个正四面体两次，基本事件有：
.
其中事件 A 包括： .
事件 B 包括： .
事件 C 包括： .
事件 D 包括： .
对于 A：因为事件 A 与 D 有相同的基本事件， 故 与 互斥不成立.故 A 错误；
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对于 B：因为事件 C 与 D 有相同的基本事件， 故 C 与 对立不成立.故 B 错误；
对于 C：因为 , ,而 .因为 ，所以
与 不是相互独立.故 C 错误；
对于 D：因为 , ,而 .因为两个事件的发生与否互不影响，
且 ，所以 与 相互独立.故 D 正确.
故选：D
7. 设 ， 为两个随机事件，以下命题正确的为（ ）
A. 若 ， 是对立事件，则
B. 若 ， 是互斥事件， ，则
C. 若 ，且 ，则 ， 是独立事件
D. 若 ， 是独立事件， ，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据对立事件的概念判断 A，根据互斥事件的概率加法公式判断 B，根据独立事件的定义及概率公
式判断 C、D.
【详解】对于 A，若 是对立事件，则 ，A 错误；
对于 B，若 是互斥事件， ，则 ，B 错误；
对于 C， ，则 ， ，
又 ，则 是独立事件，C 正确；
对于 D，若 是独立事件，则 是独立事件，而 ，
则 ，D 错误.
故选：C
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8. 小张和小王两个小朋友玩游戏，已知小张手中有 3 张黑色牌和 3 张红色牌，小王手中有 3 张黑色牌和 2
张红色牌，游戏规则：两位小朋友同时出示一张牌，若两张牌同色，则小张胜，小张获得这两张牌，若两
张牌异色，则小王胜，小王获得这两张牌，按上述玩法进行两次后，小王手中有 7 张牌的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用独立事件概率的乘法原理计算即可.
【详解】进行两次后，小王手中有 7 张牌意味着小王这两次都赢了，
第一次总事件数为 种，小王赢的事件数是 种，
则第一次小王赢的概率是 ，
第一次赢之后小张有 5 张牌，第一种情况是有 2 张黑色牌，3 张红色牌，
小王有 4 张黑色牌，有 2 张红色牌，
第二次总事件数为 种，小王赢的事件数是 种，
则第二次小王赢的概率是 ：
第二种情况是有 3 张黑色牌，2 张红色牌，小王有 3 张黑色牌，有 3 张红色牌，
第二次总事件数为 种，小王赢的事件数是 种，
则第二次小王赢的概率是 ：
出现第一种情况是第一次小王出红色牌，概率是 ，
出现第二种情况是第一次小王出黑色牌，概率是 ，
则两次均赢的概率为： .
故小王手中有 7 张牌的概率为 .
故选：D.
二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 为防范新型毒品对青少年的危害，某校开展青少年禁毒知识竞赛，小星所在小组 5 个学生的真实成绩分
别为 80，86，95，96，98，由于小星将其中一名成员的 96 分错记为 98 分，则与所在小组的真实成绩相比，
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统计成绩的（ ）
A. 平均数变小 B. 平均数变大 C. 中位数不变 D. 众数不变
【答案】BC
【解析】
【分析】由平均数、中位数以及众数的概念逐一判断各个选项即可求解.
【详解】对于 AB，由于小星将其中一名成员的 96 分错记为 98 分，
则总成绩变大，从而与所在小组的真实成绩相比，统计成绩的平均数变大，A 错误，B 正确；
对于 CD，记录成绩为：80，86，95，98，98，真实成绩为：80，86，95，96，98，
他们的中位数都是 95，记录成绩的众数是 98，真实成绩无众数，C 正确，D 错误.
故选：BC
10. 已知 的三个内角分别为 A，B，C， ， ， ，D 在线段 上，且满足
平分 ．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 A，由正弦定理求解即可；对于 B，由 ，分别求出
，得 ，即可求解；对于 C，由 ，求出 ，结合
余弦定理可求解；对于 D，求出 ，由于 ，解得
，利用等面积法即可求解.
【详解】对于 A，在 中，由正弦定理可得 ，所以 ，故 A 正确；
对于 B，因为 ，则 ，则 ，
由于 ， ，则 ，
由于 ， ，则 ，
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所以 ，故 B 正确；
对于 C，因为 ，
在 中，由余弦定理： ，即 ，故 C 不正确；
对于 D，由于 ，
所以 ，解得 （负数舍去）；
因为 在线段 上，且满足 平分 ．则在 中，由等面积可得：
，
即 ，解得： ，故 D 正确.
故选：ABD.
11. 已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 底面边长为 1，AA1=1，点 P 满足 ，其中λ∈[0,1],μ∈[0,1]
，下列选项正确的是（ ）
A. 当λ=1 时，△AB1P 的周长为定值
B. 当μ=1 时，三棱锥 P﹣A1BC 的体积为定值
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C. 当 时，有且仅有两个点 P，使得 A1P⊥BP
D. 当 时，有且仅有一个点 P，使得 A1B⊥平面 AB1P
【答案】BCD
【解析】
【分析】对 A，当 时， 线段 ，由此判断 A；对 B，当 时， 点的轨迹为线段 ，证
明 平面 ，结合锥体体积公式判断 B；对 C，D 采用建系法，当 时，由 列方程
求 ，判断 C，同理当 时，求出 ，利用 ，可验证 点唯一，判断 D.
【详解】因为点 P 满足 ，其中 ，
所以点 在矩形 内部（含边界）．
对于 A 项，当 时， ．
即此时 线段 ，
因为 为变值，
故 的周长不是定值，故 A 项错误；
对于 B 项，当 时， ，
故此时 点的轨迹为线段 ，而 ，所以 平面 ，
则点 到平面 的距离为定值，所以其体积为定值，故 B 项正确；
对于 C 项，当 时， ，
取 ， 的中点分别为 ， ，则 ，
所以 点的轨迹为线段 ，
不妨建系解决，以 方向为 轴， 方向为 轴， 方向为 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ，
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所以 ， ，
，
所以 或 ，故 H，Q 均满足，故 C 项正确；
对于 D 项，当 时， ，
取 ， 的中点为 M，N， ，
所以 点的轨迹为线段 ，
设 ，因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
此时点 与 重合，故 D 项正确．
故选：BCD
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 已知 ， ， ，若 不能构成空间的一个基底，则
______．
【答案】1
【解析】
【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果.
【详解】若 不能构成空间的一个基底，
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则 共面，存在 ，使得 ，
即 ，解得 .
故答案为：1.
13. 哥德巴赫猜想被誉为“数学王冠上的明珠”，可以表述为“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，
如 .素数是除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的大于 1 的自然数.在不超过 15 的素数中，
随机选取两个不同的数，其和等于 16 的概率是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由于不超过 15 的素数有 2，3，5，7，11，13，共 6 个，所以 6 个中选 2 个有 种，而和
为 16 的有 2 种，从而可求出概率.
【详解】不超过 15 的素数有 2，3，5，7，11，13 共 6 个，则从这 6 个数中任选 2 个不同的数共有
种，而其中和为 16 的有 2 种，即 ，
所以所求概率为 ，
故答案为： .
14. 在空间直角坐标系 O-xyz 中，四面体 ABCD 各顶点坐标分别为 ， ， ，
.则该四面体外接球的表面积是___________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据题意，画出图形，作出辅助线，找到球心，利用半径列出方程，求出半径，进而去除四面体
外接球的表面积.
【详解】如图所示，设长方体底面四边形为正方形，边长为 2，高为 3，
根据图形得到 为直角三角形，AC⊥CD，
所以四面体外接球的球心在平面 ADC 上的投影为斜边 AD 的中点 M，
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其中 ，
设外接球球心为 N，则 MN⊥平面 ADC，
过点 B 作 BH⊥平面 ADC，垂足为 H，则 HM x 轴，且 HM=1
过点 N 作 NF HM，交 BH 于点 F，则 NF=HM=1，
设外接球半径为 r，连接 NB，NA，则 NB=NA=r，
设 MN=x，则 HF=x，所以 BF=3-x，
由勾股定理得： ， ，
所以 ，解得： ，
所以 ，
所以该四面体外接球的表面积为
故答案为：
【点睛】对于立体几何的外接球问题，通常处理方法为，找到球心在某个特殊平面上的投影，进而找到球
心的位置，设出未知数，根据半径相等列出方程，求出半径，从而求出表面积或体积.
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 在 中，a､b､c 分别是角 A､B､C 的对边，且 ．
（1）求角 B 的大小;
（2）若 ，求 的面积和周长．
【答案】（1） ；（2） ， ．
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【解析】
【分析】（1）由余弦定理化角为边可得 ，再利用余弦定理即可求解；
（2）由面积公式即可求出面积，再利用余弦定理得出 即可求出周长.
【详解】（1）由余弦定理，得 ，
将上式代入 ，整理得 ，
∴ ，
∵角 B 为 的内角，∴ ．
（2）在 中， ，
在 中，由余弦定理 ，
将 ，
代入得 ，
∴ ，
∴ ，
的周长为 ．
16. 为了解高一年级学生身体素质的基本情况，抽取部分高一年级学生开展体质健康能力测试，满分 分
.参加测试的学生共 人，考核得分的频率分布直方图如图所示.
（1）由频率分布直方图，求出图中 的值，并估计全校高一年级体测成绩的 分位数；
（2）为提升同学们的身体素质，校方准备增设体育课的活动项目.现采用分层抽样的方法，从得分在
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内的学生中抽取 人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自 和 的概率；
（3）现已知直方图中考核得分在 内的平均数为 ，方差为 ，在 ）内的平均数为 ，方
差为 ，求得分在 内的平均数和方差.
【答案】（1） ， 分位数为
（2）
（3）平均数为 ，方差为
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为 ，可求出 的值，利用百分位数的概念可求出
分位数；
（2）分析可知，抽出的 位同学中，得分在 的有 人，设为 、 ，在 的有
人，设为 、 、 ，利用列举法结合古典概型的概率公式可求出所求事件的概率；
（3）利用分层抽样的均值和方差公式可求得结果.
【小问 1 详解】
由题意得： ，解得 ，
抽取的样本中，设第 百分位数为 ，
前三个矩形的面积之和为 ，
前四个矩形的面积之和为 ，所以， ，
则 ，
解得 ，因此高一年级体测成绩的 的分位数为 .
【小问 2 详解】
由题意知，抽出的 位同学中，得分在 的有 人，设为 、 ，
在 有 人，设为 、 、 .
则样本空间为 ，
，
设事件 两人分别来自 和 ，
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则 ，则 ，
因此 ，所以两人得分分别来自 和 的概率为 .
【小问 3 详解】
由题意知，落在区间 内的数据有 个，
落在区间 内的数据有 个.
记在区间 的数据分别为 、 、 、 ，平均分为 ，方差为 ，
在区间 的数据分别为为 、 、 、 ，平均分为 ，方差为 ；
这 个数据的平均数为 ，方差为 .
由题意， ， ， ， ，
且 ， ，则 .
由分层抽样方差公式可得：
故得分在 内的平均数为 ，方差为 .
17. 甲、乙两位同学在一起做猜拳（石头剪刀布）游戏，他们规定每次猜拳赢的一方得 1 分，输的一方得
分，平局时两个人都各得 0 分.出现得 3 分者，则游戏结束，得 3 分者获胜.
（1）求两次猜拳后，乙得 2 分的概率；
（2）求在至多进行四次猜拳后，甲获胜的概率；
（3）若进行五次猜拳后游戏结束，求此时乙得 分的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）
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【解析】
【分析】（1）依题意每局比赛赢、输、平局的概率均为 ，根据相互独立事件的概率公式计算可得；
（2）分甲连赢 3 局和甲在前 3 局中赢两局平一局，第 4 局赢，根据相互独立事件的概率公式计算可得；
（3）分①两次平局，甲赢 3 局，且平局出现在前 4 局；②没有平局，甲输 1 局赢 4 局，且输的一局在前 3
局，根据相互独立事件的概率公式计算可得；
【小问 1 详解】
解：依题意每局比赛赢、输、平局的概率均为 ，则两次猜拳后，乙得 2 分，即乙连赢两局，则概率
【小问 2 详解】
解：依题意甲连赢 3 局或甲在前 3 局中赢两局平一局，第 4 局赢了，则概率
【小问 3 详解】
解：五次猜拳后游戏结束且乙得 分，有两种情况：①两次平局，甲赢 3 局，且平局出现在前 4 局；②没
有平局，甲输 1 局赢 4 局，且输的一局在前 3 局；
故概率
18. 如图，在棱长为 3 的正方体 中.
（1）求二面角 的正切值；
（2）若 与平面 交于点 E，求线段 BE 的长；
（3）若点 P 是平面 内一个动点，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦
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值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）取 的中点 F，连接 、BF，先根据二面角的定义得出 为二面角 的
平面角；再根据线面垂直的性质及三角形的有关计算即可求解.
（2）连接 ，先根据正方体的性质、线面垂直的性质定理及判定定理得出 平面 ；再根据
正方体的性质得出 E 为正 的中心；最后根据中线的性质可求解.
（3）先根据线面垂直的性质及三角形的有关计算得出点 P 的轨迹；再根据线面垂直得出 与平面
所成的角为 ，且 ；最后根据同角三角函数基本关系即可求出 .
【小问 1 详解】
取 的中点 F，连接 、BF，
则由正方体的性质可得： ， ，且 平面
∴ ， ，
故 为二面角 的平面角，
又∵ 平面 ，
∴ ，
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则 .
∵正方体 的棱长为 3，
∴ ，
则 ，
∴二面角 的正切值为 .
【小问 2 详解】
如图，连接 ，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
由正方体性质可知： 平面 ，
∵ 平面 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 平面 .
∵ 平面 ，
∴ ，
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同理可证得 ，
∵ ，
∴ 平面 .
∵ ， 与平面 交于点 E，
∴ ，
∴ ，即 E 为 的外心.
∵由正方体的性质可得： ，
∴ 是正三角形；
∴E 为正 的中心.
∵正方体 的棱长为 3，
∴
∵因为点 F 为 的中点，
∴ .
【小问 3 详解】
如图，由（2）知 ，则 .
由正方体的体对角线公式可得： ，
∴ .
∵ 平面 ， 平面 ，
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∴ ，即 ， .
∵ ，
∴ ，即 ，
即 ，两边平方后，整理得 ，
又∵ ，
∴ ，
∴点 P 的轨迹是以点 E 为圆心，半径为 的圆.
∵ 平面 ，
∴ 与平面 所成的角为 ，且 ，
∵ ，
∴
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
19. 在空间直角坐标系 中，已知向量 ，点 .若直线 l 以 为方向向量且经过
点 ，则直线 l 的标准式方程可表示为 （ ）；若平面 以 为法向量且经
过点 ，则平面 的点法式方程表示为 .平面内任一点 在面
的两侧分别对应 和 .
（1）已知直线 的标准式方程为 ，平面 的点法式方程可表示为 ，
求直线 与平面 所成角的余弦值；
（2）已知平面 的点法式方程可表示为 ，点 与点 在平面 外
的同侧，点 B 在平面 内的投影点为 ，且 ，点 C 为平面 内任意一点，求
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的最小值；
（3）若平面 为 ，平面 与平面 的交线 为 ，且平面 与平面 所
成面面角余弦值大小为 ，求平面 的点法式方程.
【答案】（1）
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）会借助公式，从条件中得到直线的方向向量和平面的法向量，即可求解；
（2）会利用将军饮马问题的解法，来求对称点坐标，从而计算两点间距离即可；
（3）利用方程组求解思想来求法向量，然后通过取一个点来写出平面的点法式方程.
【小问 1 详解】
由直线 的标准式方程为 可知，直线 的一个方向向量坐标为 ，
由平面 的点法式方程为 可知，平面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
所以有 ，
所以 ，即直线 与平面 所成角的余弦值为 .
【小问 2 详解】
由平面 的点法式方程为 可知，平面 的法向量为 ，
设点 在平面 内的投影点为 ，易知 与 共线，
故 ，又由点 在平面 上，则满足 ，
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令 ，则把 代入 可得：
，解得 ，
再代入 ，即可得 ，
由点 A 及点 B 在平面 外的同侧，点 C 为平面 内任意一点，要求 的最小值，
利用将军饮马问题，可设点 关于平面 的对称点为 ，
则 为 中点，故由中点公式可得 ，
所以由两点间距离公式可得 ，
因为 ，所以 ，
由几何关系可知 .
【小问 3 详解】
由平面 为 可知，平面 的法向量 ，
由交线 方程为 可知， 的方向向量 ，
设平面 的法向量 ，则有 ，
整理得 ，不妨设 ，解得 或 ；
故平面 的法向量 或
又直线 在平面 内，不妨取其上一点 ，
若 ，则平面 为 ；
若 ，则平面 为
综上，平面 的点法式方程为：
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或
【点睛】关键点点睛：根据题干知识点求相关平面方程及其法向量，结合空间向量的坐标运算求线面角、
面面角和距离.
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