湖北省武汉市部分重点中学2025_2026学年高二数学上学期期中联考试卷含解析

这是一份湖北省武汉市部分重点中学2025_2026学年高二数学上学期期中联考试卷含解析，共56页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答， 已知直线， 已知椭圆， 已知圆等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19题.满分150分.考试用时120分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若直线：的倾斜角为，则实数值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由直线方程可得斜率，利用斜率与倾斜角关系，可得答案.
【详解】由直线，则该直线的斜率，
由题意可得，解得.
故选：C.
2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆的标准方程列不等式求解即可
【详解】，解得，
所以的取值范围是.
故选：D.
3. 在空间直角坐标系中，已知点，，若点P与点A关于平面对称，则（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据对称性求出点，结合空间中的两点间的距离公式求解即可.
【详解】点P与点A关于平面对称，则，所以；
故选：A
4. 已知直线过定点，点到直线的距离的最大值为5，则实数（ ）
A. 0或6B. 或7C. 6D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】根据定点到动直线的距离最大值列式求解即可.
【详解】设定点，则点到直线的距离的最大值为，
解得或6.
故选：A
5. 已知椭圆左、右焦点分别是，P是椭圆外一点，直线的倾斜角为，，线段的中点在C上，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合离心率的意义求解.
【详解】令椭圆半焦距为c,M为线段的中点，连接，
由,，得为等边三角形，则，
所以C的离心率为.
故选：B
6. 在平面直角坐标系中，已知点，，，且动点满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出点的轨迹图形，然后利用圆心到的距离求解即可.
【详解】设动点的坐标为
因为，故,
即，化简得：，
故点的轨迹是以为圆心，半径的圆，
故，
且故.
故选：D
7. 已知直线：，则曲线：上到直线的距离为的点的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由有，即曲线表示以为圆心，半径为的半圆，设与直线平行的直线为，由直线上的点到直线的距离为，解出，作出图象，利用数形结合即可求解.
【详解】由有，所以曲线表示以为圆心，半径为的半圆.
又直线，圆心到直线上的距离为：，
所以设与直线平行的直线为，使得直线到直线的距离为，
所以，解得，所以，
由圆心到直线的距离为：
，所以直线与曲线相交，
圆心到直线的距离为：
，
所以直线与曲线相交，
作出图象：
由图可知，曲线上有个点到直线的距离为，
故选：C.
8. 已知椭圆：的右焦点为，点在椭圆上，点在圆：上.若椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，且的最小值为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出的值，利用椭圆的定义结合三点共线可求得的值，利用椭圆的定义结合圆的几何性质，利用点共线的条件即可求解.
【详解】由于椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，所以，即，
设椭圆的左焦点，由椭圆的定义可知，
所以，
所以，解得或5，
因为，所以，故,, ，当且仅当共线，且在之间时取等号，
故选：B
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. 已知圆：与圆：有且仅有两条公共切线，则实数的取值可以是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由给定条件可得两圆相交，进而求出的范围即可.
【详解】圆：的圆心，半径；圆：的圆心，半径，
则，由圆与圆有且仅有两条公共切线，得圆与圆相交，
因此，选项中符合题意.
故选：ABC
10. 已知椭圆：的右焦点为，左、右顶点分别为，，直线与椭圆交于，两点，则（ ）
A. 椭圆的焦距为1
B. 为定值
C. 直线和的斜率的乘积为
D. 当以P，Q，F，B四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用给定的椭圆基本量求出焦距长度判断A，利用椭圆的对称性合理转化长度判断B，利用平行四边形性质求出的坐标，再求解平行四边形面积判断D，设出关键点的坐标，利用点在椭圆上消去参数，判断斜率乘积为定值求解C即可.
【详解】对于A，由，得到，
可得椭圆C的焦距为2，故A错误；
对于B，如图，设椭圆的左焦点为，连接
由椭圆的对称性有，故B正确；
对于D，由题意得，且，
又因为四边形为平行四边形，有，
可得点的坐标，代入椭圆中，得到，
解得，即的坐标为，
则平行四边形的面积为，故D错误；
对于C，由，设点的坐标分别为，
代入椭圆中有．又由，
，故C正确．
故选：BC．
11. 在长方体中，，，为的中点.动点P满足，，，则下列说法中正确的是（ ）
A. 点P一定在平面内
B. 当时，点P轨迹的长为
C. 当，，三点共线时，
D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，利用及共面向量基本定理即可判断；对B，取的中点，即可得出，计算长度即可；对C，由向量共线的性质得解；对D，利用基底表示，运算得解.
【详解】对于A，由，
所以，
所以共面，即故点在平面内，故A正确；
对于B，取的中点，连接，则，又，
所以，则四边形为平行四边形，
当时，，，
可知此时点的轨迹为线段，其长度为，故B正确；
对于C，由及三点共线，故，故C错误；
对于D，由题为一组基底，所以，
所以
，
当且仅当时，取得最小值，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 与直线垂直，且在y轴上的截距为2的直线的方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据两直线垂直的斜率关系，及直线的斜截式方程即可求解.
【详解】设该直线方程为，
直线与垂直，则，
直线在y轴上的截距为2，则，
所以该直线方程为.
故答案为：.
13. 已知正方体的棱长为，点是棱上的动点，则的面积的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用向量法求出的夹角，再利用三角形面积公式求解.
【详解】以为原点建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，
设，
所以
所以，
设直线与的夹角为，
则，所以
所以
所以当时，的面积的最小值为，
故答案为：
14. 已知从椭圆：外一点向该椭圆引两条切线，切点分别为，，则直线的方程为，且称该直线为点P关于椭圆C的极线.如图，两个椭圆，的方程分别为：和：，离心率分别为，.设椭圆在椭圆内，且椭圆上任意一点关于椭圆的极线为.若坐标原点到直线的距离为定值1，则的最大值为______.

【答案】##0.25
【解析】
【分析】利用设动点，可得极线方程，即可求原点到极线的距离，通过距离为定值1，得到相等关系，再通过动点在椭圆上得相等关系，由于这两个等式恒成立，则可得系数关系，最后转化到离心率上求最值即可.
【详解】设椭圆，则．
设椭圆，，则．
设，由题意可得方程为：，
因为原点到直线的距离恒为1，所以．
又因为为椭圆上的点，所以，
所以，，
所以，
设，则，，
当时，取得最大值，
故答案为：．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，.
（1）求边上的高所在的直线方程；
（2）若直线l过点C，且对直线l上异于点C的任意一点P都满足和的面积相等，求直线l的方程.
【答案】（1）；
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据斜率公式以及垂直关系，结合点斜式即可求解方程，
（2）根据面积相等，可得直线与平行或过的中点，即可求解直线方程.
【小问1详解】
设边上的高为，
∵直线与垂直，又直线的斜率，
∴的斜率.
又∵直线过点，
∴的方程为，整理成一般方程为.
【小问2详解】
∵对直线上异于点的任意一点都满足，则，两点到直线的距离相等，
∴直线与平行或过的中点.
①当直线与平行时，的斜率与的斜率相等且过点，
则直线的方程为，整理成一般方程为；
②当直线过中点时，直线的斜率且过点，
则直线的方程为，整理成一般方程为.
综上，直线的方程为或.
16. 已知圆C过点和，且圆心C在y轴上.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线l过点，且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）设圆的标准方程为，将和代入求解即可;（2）讨论直线斜率存在与否，当直线斜率存在时，设：，根据圆的弦长公式求得直线方程.
【小问1详解】
∵圆的圆心在轴上，不妨设圆的标准方程为，
代入点，，得,
解得,即圆的标准方程为.
【小问2详解】
∵直线被圆截得的弦长为，且圆的半径为4，
∴圆心到直线的距离为.
①当直线斜率不存在，即直线为时，满足；
②当直线斜率存在时，设：，
则由，解得，即直线的方程为.
综上，直线的方程为或.
17. 已知椭圆：的长半轴长等于焦距，且过点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点分别为点A，B，过椭圆C的右焦点F作一条直线与椭圆交于M，N两点，求四边形面积的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，解方程即可求解；
（2）不妨设直线：，，，联立方程由韦达定理可得：，化简四边形的面积，结合不等式即可求解.
【小问1详解】
由椭圆的长半轴长等于焦距，且过点，
得,又，解得，
则椭圆的方程为；
【小问2详解】
当直线与轴重合时，四边形显然不存在.
不妨设直线，，，
将直线方程与椭圆联立，得，
显然恒成立，则，且，异号.
则四边形的面积，
令，四边形的面积可化为.
∵函数在上单调递增，则，
∴四边形的面积的取值范围为.
18. 如图1，在梯形中，，，，点E是上的点，且.现将沿折起，使得点D到达点P的位置，且，如图2.
（1）求证：平面平面；
（2）设的中点为M，的中点为N.
（ⅰ）经过C，M，N三点的平面交于点F，求；
（ⅱ）在平面内取一点Q，使得直线平面，求的长.
【答案】（1）证明见解析；
（2）（ⅰ）6；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）在平面内过点作于点，连接，利用边长关系以及勾股定理可得，
从而可得平面，即可证明平面平面；
（2）过点作的平行线交于点，易得.
以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.
（ⅰ）设，即，分别表示出各点坐标，利用四点共面得，从而求出即可求解；
（ⅱ）利用得到，利用线面垂直的空间向量关系即可求解.
【小问1详解】
在平面内过点作于点，连接.
在梯形中，由，，，
易得，则，，即.
在中，由余弦定理，得
.
∵，且，
∴，又，得平面.
∵平面∴平面平面.
【小问2详解】
过点作的平行线交于点，易得.
以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.
由已知，得
，，，，
则的中点，的中点.
（ⅰ）设，即，由，得，
则.
∵，，，四点共面，∴，即
，
得，解得，即.
（ⅱ）设，
则，.
∵直线平面，得，解得.
则，
∴.
19. 已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线与椭圆交于点，且点在第一象限，直线与直线交于点，过点且平行于的直线与直线交于点.
（ⅰ）若，求直线的斜率；
（ⅱ）轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）（ⅰ）1；（ⅱ）存在，
【解析】
【分析】（1）由题意可得，解出即可得；
（2）（ⅰ）由可得，代入椭圆方程则可得，从而可得点坐标，再利用两点间斜率公式计算即可得；（ⅱ）可猜想，使得平分，设，则可计算出点坐标，再分斜率存在与否，得到，最后利用相似三角形的性质可得点符合要求，即可得.
小问1详解】
由题意，得，解得，则，
故椭圆的方程为；
【小问2详解】
（ⅰ）由，且，，三点共线，则，
则，解得，又，则，
由，则直线，即，
令，则，故，又，则直线；
（ⅱ）设直线与轴的交点为，由（ⅰ）猜想平分，
由直线不与轴重合，可设，，
联立，消去得，
则，即，
将直线的方程与直线联立，则，则，
①当斜率不存在时，由（ⅰ）得；
②当斜率存在时，，则，
又，故；
由，得，则，
设点关于直线的对称点为，则，则，
由，则，
又，故，则，
故轴上存在定点，使得.