2025-2026学年北京市第二十中学高一（下）期末数学试卷

这是一份2025-2026学年北京市第二十中学高一（下）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知数列{an}的前n项和，则a6=（ ）
A. 11B. 42C. 31D. 20
2.已知函数f（x）=ln（2x+1），则f′（1）=（ ）
A. B. C. D. 3
3.已知函数f（x）=x2-，则y=f（x）在[1，2]上的平均变化率为（ ）
A. 4B. 3C. 2D.
4.由数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字，并且比30000大的数有（ ）
A. 12种B. 18种C. 30种D. 48种
5.如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图像，则下列说法错误的是（ ）
A. f（x）在x=2处取极大值B. f（1）＜f（2）
C. f（x）在（-2，5）上存在最小值D. f（x）在（-3，5）上至多有3个零点
6.展开式的第8项的系数是（ ）
A. 135B. -135C. D.
7.已知各项均为正数的等比数列{an}，公比不等于1，且a1a2026=1，若，则f（a1）+f（a2）+…+f（a2026）=（ ）
A. 2025B. 4050C. 2026D. 4052
8.袋中有5个球，其中红、黄、蓝、白、黑球各一个，甲、乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件A：甲和乙至少一人摸到红球，事件B：甲和乙摸到的球颜色不同，则P（B|A）=（ ）
A. B. C. D.
9.已知数列{an}，则“∀n∈N*，an+2=an+k（k为常数）”是“{an}为等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
10.已知不等式ex-ln（ax）＞（a-1）x（a＞0）对任意x＞0恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. （0，1）B. （0，e）C. （e,+∞）D. （1，e）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数f（x）=x3-2x在点（1，-1）处的切线方程为 .
12.已知的展开式中，所有二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为 .
13.设Sn为等差数列{an}的前n项和，a6+a7=1，则S12= ，若a7＜0，则使得不等式Sn＜0成立的最小整数n= .
14.已知函数f（x）的导数f′（x）=a（x+1）（x-a），若f（x）在x=-1处取到极大值，则a的取值范围是 .
15.已知数列{an}满足.
①若a1≠1且a1≠2，则{an}单调递减；
②若存在无数多个n使得an+1=an，则a1=1或a1=2；
③当a1＞2时，存在k∈N*使；
④当a1=3时，对任意n∈N*，都有.
则上述说法正确的是 .
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=16，a4=7.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求的值.
（Ⅲ）设，求数列{bn}的前n项和Tn.
17.(本小题14分)
心理学研究表明，人类学习新知识后，记忆留存会随时间先快后慢逐渐下降.同学甲为了解自己的记忆能力，他先练习背诵一首古诗，然后分别在练习结束后20分钟、1小时、1天这三个时间节点进行测试，假设他在这三个时间节点完成背诵的概率依次为，，，且每次是否完成互不影响.
（Ⅰ）求甲在3次测试中至少完成背诵1次的概率；
（Ⅱ）设X表示甲在3次测试中完成背诵的次数，求X的分布列及数学期望E（X）.
18.(本小题14分)
已知函数f（x）=（x+1）ex-a.
（1）当a=0时，若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，求点P的坐标；
（2）若f（x）≥-x2-4x恒成立，求a的取值范围.
19.(本小题14分)
随着人们生活水平的提高，参观文博馆成为人们外出旅游的一项重要活动.某市2015年到2025年的文博馆接待的成年人和未成年人的参观次数（单位：万人次）统计图如下：
假设各年的参观情况互不影响.
（1）在2016年到2025年这10年中任选一年，求这一年与其前一年相比，该市未成年人参观文博馆次数出现增长的概率；
（2）从2015年至2020年这6年中任选1年.再从2021年至2025年这5年中任选2年，记选出的3年中该市年参观文博馆总人次超过120万的年数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）记2015年至2025年该市未成年人和成年人年参观文博馆次数的方差为和、年参观文博馆总人次的方差为，给出，，的大小关系.（结论不要求证明）
20.(本小题14分)
已知函数.
（1）若m=2，求f（x）的单调区间；
（2）g（x）是f（x）的导数，若g（x）有三个不同的零点a,b,c（a＜b＜c）.
①求实数m的取值范围；
②证明：f（c）＜f（a）.
21.(本小题15分)
设{an}为无穷数列，{n1，n2，…，nk，…}为正整数集N*的无限子集，且n1＜n2＜…＜nk＜…，则数列，，…，，…称为数列{an}的一个子列.
（1）请写出一个无穷等差数列，其任意子列均为等比数列；
（2）设无穷数列{an}为等差数列，a1=1，a3=2+1，证明：{an}的任意子列不是等比数列；
（3）对于公差不为零的无穷等差数列{an}，试探究其任意子列不是等比数列的一个充分条件.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】x-y-2=0
12.【答案】240
13.【答案】6 ； 13
14.【答案】（-∞，-1）∪（0，+∞）
15.【答案】①②④
16.【答案】an=2n-1
Tn=n2+2n+1-2
17.【答案】（Ⅰ）．
（Ⅱ）．
18.【答案】
19.【答案】
，
20.【答案】若m=2，求f（x）的单调区间；
①（2，+∞）；
②证明：由①可知，函数g（x）在（0，x1）恰有一个零点，在（x1，x2）恰有一个零点x=1，在（x2，+∞）恰有一个零点，
则0＜a＜1，b=1，c＞1，
由x0是方程g（x）=0的根，
可得，
所以，
所以即也是方程g（x）=0的根，所以ac=1，
要证f（c）＜f（a），只需证，
令，
又，
则，
g（x）=，，，
函数u（x）在（0，1）上单调递减，
∀x∈（0，1），u（x）＞u = f - f =0，
因此在（0，1）上恒成立，
则f（a）-f（c）＞0恒成立，
所以f（c）＜f（a）
21.【答案】解：（1）既是等差数列又是等比数列的数列最简单的是非0常数列，
如an=2，它是等差数列，它的任意子列均为公比为1的等比数列；
（2）证明：若{an}存在一个子列是等比数列，则{an}中必存在某三项成等比数列，
现证{an}的任意三项不能构成等比数列，
假设=aiam，其中i,j,m∈N*且i＜j＜m,
∵公差d==，∴an=1+（n-1）=n+（1-），
∴=[i+（1-）]•[m+（1-）]，
整理得（i+m-2j）=2[（j2-im）+（i+m-2j）]，
若i+m-2j=0，则j2-im=0，∴i=m,这与i＜m矛盾，
∴i+m-2j≠0，此时（1）中左边为无理数，右边为有理数，不可能相等，
∴假设不成立，即{an}的任意三项不能构成等比数列，
∴{an}的任意子列不是等比数列；
（3）若无穷等差数列{an}的任意三项均不能构成等比数列，则其任意子列必定不是等比数列，
设{an}的公差为d,则d≠0，现证“是无理数”为满足题意的一个充分条件．
假设=aiam，其中i,j,m∈N*且i＜j＜m,
∵an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d），
∴=[di+（a1-d）][dm+（a1-d）]，
整理得a1d（i+m-2j）=d2[（j2-im）+（i+m-2j）]，
若i+m-2j=0，则j2-im=0，∴i=m,这与i＜m矛盾，
∴i+m-2j≠0，此时=为有理数，
∴当是无理数时，假设不成立，∴{an}的任意三项不能构成等比数列，
即{an}的任意子列不是等比数列，
∴“是无理数”为“{an}的任意子列不是等比数列”的一个充分条件． X
0
1
2
3
P