2025-2026学年江苏省常州市高级中学高一（下）期末数学试卷

这是一份2025-2026学年江苏省常州市高级中学高一（下）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数（a+i）（2+i）是纯虚数，则实数a等于（ ）
A. 2B. C. -D. -2
2.数据1，2，4，5，7，9的第60百分位数为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
3.已知圆锥的底面面积为6π，体积为4π，则其母线长为（ ）
A. B. C. D.
4.设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，（ ）
A. 若l⊥m，m∥α，则l⊥αB. 若l∥β，α⊥β，则l⊥α
C. 若l⊥m，m⊥β，α⊥β，则l⊥αD. 若l⊥β，m⊥β，m⊥α，则l⊥α
5.甲、乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率均为，每局比赛彼此独立且没有平局，则乙获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF的中点，则（）
A. B. C. D.
7.如图，四边形ABCD是矩形，AD=2，DC=1，CD⊥平面BCE，BC=EC，BC⊥EC，则AC和平面ABE所成角的正弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
8.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知，b2+c2-bc=3，则b-c的取值范围是（ ）
A. （-1，1）B. （-1，1]C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数，则下列结论正确的有（ ）
A. z对应的点在第四象限B.
C. z的共轭复数为1-iD. z的虚部为1
10.下列值为的式子有（ ）
A. B.
C. D.
11.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱C1D1，A1D1，BC的中点，Q为平面PMN上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 平面PMN截正方体表面所得截面为五边形
B. 平面PMN与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为
C. 若QB1与DB1的夹角为30°，则Q点的轨迹长度为π
D. 若A1C1，B1D1交于O1，正方形A1B1C1D1的四个顶点绕着O1在上底面逆时针旋转45°得到一个十面体ABCD-EFGH（如图），则该十面体的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若，c=2，A=60°，则角C= .
13.已知某圆台的母线长为3，下底面的半径为1，若球O与该圆台的上、下底面及侧面都相切，则球O的表面积为______.
14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，3，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，4，8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所得卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量，函数f（x）=2•-1.
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若，求的值.
16.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，四边形AA1C1C是菱形，AC⊥BC，D，E分别是棱BB1，A1C1的中点.
（1）证明：AC1⊥平面A1BC.
（2）证明：DE∥平面A1BC.
17.(本小题15分)
某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有n人，按年龄分成5组，其中第一组[20，25），第二组[25，30），第三组[30，35），第四组[35，40），第五组[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求a的值，并根据频率分布直方图，估计这n人的平均年龄；
（2）现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率.
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，AC与BD交于点O.
（1）设平面SAB交平面SCD于直线l,求证：AB∥l；
（2）若，且M是棱SD的中点，点M到平面SAB，平面SBC，平面ABCD的距离分别为d1，d2，d3.求的值；
（3）若P，Q分别是线段SB、线段AC上的点，且满足，设PQ与SC所成的角为α，PQ与BD所成的角为β，求sinα+sinβ的最大值.
19.(本小题17分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,∠ACB的角平分线交AB于D.
（1）若b=2a,求的值；
（2）若，证明：∠C=2∠A；
（3）若的三条角平分线相交于点O，AB=7，△OAB的面积为，求OC.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】BCD
10.【答案】ACD
11.【答案】BC
12.【答案】30°
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】π

16.【答案】∵平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC=AC，
BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面AA1C1C．
∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面AA1C1C．
∵四边形AA1C1C是菱形，∴A1C⊥AC1．
又AC1⊂平面AA1C1C，平面A1BC∩平面AA1C1C=A1C，
∴AC1⊥平面A1BC
取棱A1B1的中点F，连接DF，EF．
∵D，E分别是棱BB1，A1C1的中点，
∴DF∥A1B，EF∥B1C1．
∵BC∥B1C1，∴EF∥BC．
∵EF⊄平面A1BC，BC⊂平面A1BC，
∴EF∥平面A1BC，
同理由DF∥A1B，得DF∥平面A1BC．
∵DF∩EF=F，DF，EF⊂平面DEF，
∴平面DEF∥平面A1BC，
又DE⊂平面DEF，
∴DE∥平面A1BC
17.【答案】a=0.07 平均年龄为31.75；

18.【答案】因为AB∥CD，CD⊂平面SCD，AB⊄平面SCD，所以AB∥平面SCD，
又因为AB⊂平面SAB，平面SAB∩平面SCD=l，所以AB∥l

19.【答案】2
因为S△ABC=S△ACD+S△BCD，所以，
整理得，又，则，
在△ABC中，由余弦定理，
整理得，所以，，
则，，，
所以csC=cs2A，又csC＞0，csA＞0，cs2A＞0，则，
所以∠C=2∠A