备战2027年高考数学(2024-2026年)真题汇编专题10计数原理(原卷版+解析)

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考点01 排列与组合
1．（2026·全国II卷·高考真题）现有甲、乙、丙、丁等8人分成A、B两个技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在一起，丙、丁不能在一起，则不同的分配方案有（ ）
A．10种B．12种C．16种D．24种
2．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·上海·高考真题）在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有____________种选法.
4．（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种．
5．（2024·上海·高考真题）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值为__________．
6．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______．
7．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为______．
8．（2024·新课标II卷·高考真题） 在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________．
9．（2025·上海·高考真题）甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边．

(1)分别求甲、乙两组组员身高的第60百分位数；
(2)从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率；
(3)为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大？
10．（2024·上海·高考真题）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．
(1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；
(2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；
(3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．
考点02 二项式定理
1．（2026·北京·高考真题）已知的展开式中的的系数是280，则（ ）
A．2B．-2C．1D．-1
2．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·上海·高考真题）已知，则展开式中的系数为__________．
4．（2026·天津·高考真题）展开式中的系数为__________．
5．（2026·上海·高考真题）的二项展开式中，的系数为____________.
6．（2025·北京·高考真题）已知，则________；________．
7．（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为________．
8．（2025·上海·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为_________．
9．（2025·上海·高考真题）已知的展开式中常数项为20，则实数m的值为______．
10．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________．
11．（2024·上海·高考真题） 展开式中的系数为______.
12．（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为______．
13．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为______．
14．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，．
(1)求，的通项公式；
(2)，，有，
（i）求证：对任意实数，均有;
（ii）求所有元素之和．考点分类
三年考情（2024-2026）
命题规律
考点01 排列与组合
2026年：全国卷、上海卷
2025年：上海卷
2024年：全国甲卷、新课标II卷、天津卷、上海卷
题型覆盖选择、填空、解答，为计数原理核心必考基础题型，常与概率综合命题
1. 核心考法固定：优先考查特殊元素、特殊位置限制类排列组合问题，包含捆绑法、插空法、分组分配等经典模型；
2. 题型综合度高：高频结合古典概型、条件概率联合出题，将计数作为概率计算的核心工具；
3. 情境贴近生活：以小组分配、队列排列、比赛出场、抽样选点、农业实践等真实场景命题，规避纯理论计算；
4. 卷型特色鲜明：全国卷侧重分组分配、方格计数等综合计算，上海卷多基础计数、限定条件选排小题，难度梯度清晰；
5. 创新融合考查：部分题型结合茎叶图、分层抽样、数据统计，实现计数与统计概率模块交汇命题。
考点02 二项式定理
2026年：北京卷、天津卷、上海卷
2025年：北京卷、天津卷、上海卷
2024年：全国甲卷、天津卷、上海卷
以选择、填空小题为主，少量结合数列出综合解答小问，属于高频基础得分点
1. 基础考点稳定：常年考查二项展开式通项、指定项系数、常数项求解，公式套路固定，是高考基础送分题型；
2. 拓展考查丰富：新增系数最值、各项系数和、参数求值、复合型二项式展开计算等延伸考法；
3. 综合创新命题：上海、天津卷偶尔结合等差数列、等比数列命题，融合数列证明、集合求和等综合设问；
4. 难度分层明确：小题以基础公式代入计算为主，压轴小题侧重复杂二项式变形、多参数求解，区分度适中；
5. 考情覆盖面广：2024-2026年各省市卷连年考查，题型稳定无断层，是高考必考高频考点。