四川自贡市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

这是一份四川自贡市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题，共2页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.函数在处切线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
2.一箱产品中，有8件合格品，2件次品，从中不放回地抽取3件产品作为样本，用表示样本中次品的个数，则（ ）
A. B. C. D.
3.三名志愿者被分配到交通劝导，文明服务两项工作进行社会服务，要求每项工作至少一人参加，每人只参加一项工作，则不同的分配方案种数为（）
A. 4B. 6C. 9D. 12
4.随着雨季的来临，甲，乙两地每天下雨的概率分别为，，且两地同时下雨的概率为，则雨季的某一天在甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.函数在上的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
6.若是函数的极大值点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.数轴上一质点在外力作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左或者向右移动1个单位，经过5秒后，这个质点在数轴上的位置为，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，则（ ）
A. 函数在点处的切线方程为
B. 函数在上单调递增
C. 函数存在唯一极值点
D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A. B. C. D.
10.下列说法中，正确的是（）
A. 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线
B. 用决定系数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好
C. 已知，若根据列联表得到的估计值为，依据的独立性检验，则认为两个分类变量无关
D. 已知变量，线性相关，由样本数据算得经验回归方程为，且由样本数据得，，则
11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 是偶函数B. 在处取得最小值
C. 方程有且仅有一个实根D. 对任意，都有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.展开式中的系数为 ．（用数字作答）
13.已知定义在上的函数图象如图所示，设的导函数为，则的解集为 ．
14.已知集合，，现甲、乙两人分别从集合，中随机抽取3个不同的元素各构成最大的三位数和，则的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列，满足：，且是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前项和．
16.(本小题15分)
已知椭圆：的一个顶点，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点为椭圆上一动点，直线与坐标轴交于，两点，求面积的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面，平面平面．
(1)证明：四边形是矩形；
(2)若，，，求直线与平面所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)任意时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)求证：．
19.(本小题17分)
有一种病毒在某地区蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年．该地区总人口约60万人，专家分析其中约有1000名感染者，疾病预防控制中心现决定对该地区所有人员进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂．已知感染者的检测结果为阳性，未被感染者检测结果为阴性，另外被感染者与未被感染者的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变．
(1)若对该地区人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排查，设每个组个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，求每个分组的最优人数；
(2)根据医学数据分析，这种病毒的感染率为．现把个人分为一组，将其血样混合后进行化验．若结果为阴性，则通过检验；若结果为阳性，则这个人需要再逐个化验一次．记这个人的化验次数为．
（ⅰ）求的分布列与期望；
（ⅱ）若，求证：当时，，并以此为依据说明实施混检的理由．
（参考数据：，）
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】ABD
10.【答案】BD
11.【答案】ABC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）因为，
所以，①
，②，
则①②除以2得，②①除以2得.
（2）由（1）知，
③，
两边同时乘以3得④，
③④得：，
即，
所以.

16.【答案】解：（1）由题意，椭圆短轴上顶点为，故，即.
已知离心率，即，结合椭圆参数关系，
代入得：，解得，
因此椭圆的标准方程为.
（2）对直线，令得，即，令得，即，
故.
设椭圆上点的参数坐标为，
由点到直线距离公式，到直线的距离为：，
因，故，取绝对值得，因此.
的面积，代入的范围得.

17.【答案】解：(1)证明：过点作⊥于点，
因为平面平面，且它们的交线为，其中平面，
所以⊥平面，而平面，所以⊥，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
因为四边形为平行四边形，所以四边形是矩形；
（2）因为平面，平面，所以，，
又⊥，所以两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，，，故，
，
设平面的法向量为，
则，解得，
令得，故，
设直线与平面所成角的大小为，
则.
直线与平面所成角的正弦值为.

18.【答案】解：（1）当时，，函数的定义域为，，
当时，，故在上单调递减；
当时，，故在上单调递增，
故在处取得最小值，.
（2）令，
则，.
（1）若，因为，此时，故，
即在上单调递增，故，
即，因为，故无解；
（2）若，因为，此时，故，
即在上单调递减，故，即，
又因为，所以；
（3）若，令，可得，
易知单调递增，故当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增.
因此，要使，需使，
解得，又因为，故.
综上所述，.
(3)要证，
两边同时取自然对数，只需证，
即证.
由（1）可知，当时，，且在上单调递增，
故当时，，得当时，恒成立.
因此，当时，