四川省自贡市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 含解析

这是一份四川省自贡市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 含解析，共19页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答， 设为双曲线， 在正方体中，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
第Ⅰ卷 （选择题 共58分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知直线，，两直线之间的距离为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用平行线间的距离公式计算即可.
【详解】直线，，
根据平行线间的距离公式得.
故选：C
2. 已知 ，则的最大值（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】设，，利用辅助角公式化简后，结合三角函数的有界性求解即可.
【详解】因为，所以可设，，其中;
则，其中 ;
又 ，所以时等号成立,
即的最大值是5.
故选：B.
3. 已知平行六面体（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量的加法运算，结合平行六面体计算即得.
【详解】平行六面体中，==.
故选：C
4. 已知为等差数列，Sn为其前n项和，则（ ）
A. 224B. 225C. 2024D. 2025
【答案】B
【解析】
【分析】由已知，利用等差数列的通项公式和前n项和公式可求得.
【详解】由题意，设等差数列的公差为，
所以，
则，
则，
所以 ，
故选:B.
5. 已知平面内两定点，动点满足，面积的最大值为（ ）
A. 9B. 10C. 11D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】根据两点间的距离公式列式，化简得到点P的轨迹方程，然后根据三角形的面积公式求解即可.
【详解】由题意可得：

化简得：
所以点P的轨迹方程为 圆半径为3，圆心为在直线上，又

故选：D
6. 已知椭圆过点的直线与椭圆交于、两点，为线段的中点，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用点差法可求出直线的斜率.
【详解】设点、，由题意可得，
若的斜率不存在时，则线段的中点在轴上，不合乎题意，
由题意可得，两式相减得，
即 0，所以
所以，即直线的斜率为.
故选：A.
7. 已知为各项均为正数的等比数列，为其前n项积， 当取得最大值时，n为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】由已知，求得，得，由，可得当 时，，当时，，则得时，取得最大值.
【详解】设等比数列的公比为q，则
，
，
，
当时，，
当时， ，即 ，
当时，取得最大值.
故选：D.
8. 设为双曲线（）的左右焦点，O为坐标原点，P为C的一条渐近线上一点，且成等差数列，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由数量积的运算律得，进而，求得，，，利用它们成等差列式平方化简得，即可得解.
【详解】由得，
即，又P为C的一条渐近线上一点，不妨取渐近线，
所以，又，则，
因为成等差数列，
所以，即，
又因为，所以即，
所以，所以，
所以.
故选：B
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共18 分.在每小题给出四个选项中有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，选对但不全得部分分，有选错得0份.
9. 函数 的图象为双曲线，下列关于该双曲线的说法正确的是（ ）
A. 焦距长为B. 实轴长为
C. 对称轴为D. 离心率为2
【答案】BC
【解析】
【分析】根据双曲线的概念，分析双曲线的性质，逐项判断即可.
【详解】如图：
由图可知，双曲线的渐近线方程为 ，对称轴为，
因为双曲线的渐近线互相垂直，所以双曲线为等轴双曲线.
点，为双曲线的顶点，所以，即双曲线的实轴长为；
所以虚轴长，所以，所以.
所以：
对A：双曲线的焦距：，故A错误；
对B：实轴长，故B正确；
对C：双曲线的对称轴为：，故C正确；
对D：双曲线的离心率为：，故D错误.
故选：BC
10. 在正方体中，下列说法正确的是 （ ）
A. 异面直线与所成的角为
B. 直线与底面所成的角为
C. 直线与垂直
D. 二面角 大小为
【答案】ACD
【解析】
【分析】应用线线平行得出异面直线所成角判定A，应用线面角定义计算判断B，先证明线面垂直得出线线垂直判断C，根据二面角定义计算判断D.
【详解】对于A，连接，
因为，所以是平行四边形，则
是异面直线与 所成的角，
，是等边三角形，
异面直线 与所成的角为，故A正确；
对于B，底面，直线 与底面所成的角为，
，故B错误；
对于C，连接，
平面，
平面，平面，，故C正确；
对于D，平面，是二面角 的平面角，
二面角 大小为 ，故D正确.
故选：ACD.

11. 已知椭圆 为左，右焦点. O为原点，P为椭圆上一点， 下列说法正确的是 （ ）
A. 满足条件的P点总共有4个B. =4
C. |PO|=3D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题设求出，设 再在焦点中，运用余弦定理结合椭圆的定义得到求得即可判断B；设P（x₀，y₀），由=4得代入椭圆方程得从而，故P点共有4个，可判断A、C，求得即可判断D,
【详解】由题意得，，设 则
在中，由余弦定理得，，
即 ，即 ，解得
故B项正确；
设P（x₀，y₀），
代入椭圆方程得， 解得
则 故C项错误；
由故P点共有4个，故A项正确；
对于D， 故D项正确.
故选：ABD.
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 双曲线 两条渐近线所成的锐角为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线的性质得出渐近线的方程，再利用两角差的正切公式进行求解．
【详解】解：双曲线的两条渐近线方程为，
则两条渐近线所成的锐角的正切为：
，
则有所求锐角为．
故答案为：．
13. 已知是、的等差中项，直线恒过定点，则定点的坐标为_____.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得出，将直线方程变形得出，由可求得点的坐标.
【详解】因为为、的等差中项，则，所以，，
所以，直线的方程即为，即，
由可得，
所以，直线恒过定点.
故答案为：.
14. 在四面体中，且，，则四面体外接球的表面积为_____.
【答案】
【解析】
【分析】合理作出四面体的高，利用给定条件求出的长度，再找到外接球球心，在直角梯形内利用勾股定理求解外接球半径，最后求解表面积即可.
【详解】如图，作面，连接，
因为面，所以，
因为，所以，
因为，面，
所以面，而面，
故，因为，，
所以由锐角三角函数定义得，
故，由勾股定理得，
而，则，故，
设，，由勾股定理得，
在中，由余弦定理得，
在中，得到，
联立，，解得(其它根舍去)，
取中点，过点作面，
设点为外接球球心，外接球半径为，
由余弦定理得，
直角梯形中，，
故，解得，
且设四面体外接球表面积为，故.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是作出四面体的高，然后求解关键线段的长度，再找到外接球球心，利用勾股定理求出外接球半径，得到所要求的表面积即可．
四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的顶点，边上的高所在的直线方程为．
（1）求直线的方程；
（2）若边上的中线所在的直线方程为，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解；
（2）根据题意，求得，设点，求得，再求得点，进而求得的斜率，进而求得直线的方程．
【小问1详解】
解：因为边上的高所在的直线方程为，可得斜率为，
可得直线的斜率，又因为的顶点，
所以直线的方程为，即；
所以直线的方程为.
【小问2详解】
解：直线边上的中线所在的直线方程为，
由方程组，解得，所以点，
设点，则的中点在直线上，所以，即，
又点在直线上，，解得，所以，
所以的斜率，所以直线的方程为，
即直线的方程为．
16. 已知数列，为其前n项和，.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 求数列的前n项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当 时，根据求解，再检验时是否满足；
（2）由根据错位相减法求和即可.
【小问1详解】
∵数列 ，为其前n项和，
，
，
当 时，
，
当时，上式成立，
∴数列 的通项公式为
【小问2详解】
∵
∴数列的前n项和：
①
②
①-②得：
，
17. 已知椭圆，长轴长为4，离心率为
（1）求椭圆的方程；
（2）过点倾斜角为的直线与椭圆相交于、，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求得，进而求得椭圆的方程.
（2）求得直线的方程，并与椭圆方程联立，利用弦长公式求得.
【小问1详解】
由题意可得，，则，
又，
则，
∴椭圆的方程为.
【小问2详解】
∵直线l过点倾斜角为
∴直线l的方程为即，
联立，得，
设，
则，
∴
.
18. 在长方体中，点E，F分别在上，且.
（1）求证：；
（2）当时.
（i）求到平面AEF的距离；
（ii）求平面AEF与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）利用数量积等于0，分别得出，，从而利用线面垂直的判定定理和性质定理证明即可；
（2）（i）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点面距离的向量公式求解即可；
（ii）求出平面的法向量，结合平面的法向量，利用面面夹角的向量公式求解即可．
【小问1详解】
因为，
所以，
因为，
所以，
又，平面，故平面，
又平面，所以；
【小问2详解】
以点为原点，分别以直线、、为、、轴，建立空间直角坐标系，
由得，
（i）由（1）知是平面的一个法向量，，
所以到平面AEF距离为；
（ii），，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
又是平面的一个法向量，
所以，
设平面和平面的夹角为，
则.
即平面AEF与平面的夹角的余弦值为.
19. 已知抛物线：（）上横坐标为4的点到焦点的距离为5.
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线与抛物线C交于两点 Ax1,y1，Bx2,y2且（），且为常数，我们把叫做抛物线的弦，若 是弦中点，过作平行于轴的直线交抛物线于点，得到，求证：的面积为定值；
（3）在（2）的条件下，再分别过弦、的中点作平行于轴的直线依次交抛物线于点、 ，得到和 ，按此方法继续下去，若设 …,是第次操作时得到的个三角形面积的和，记 试比较与 大小并说明理由.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3） ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的定义求，可得抛物线方程.
（2）分和两种情况，求的面积，进行判断即可.
（3）归纳数列的通项公式，利用等比数列求和公式求和即可.
【小问1详解】
依题意得 ，解得.所以抛物线方程为
【小问2详解】
如图：
若 ，即直线 AB 垂直于x 轴，不妨设 由 又由抛物线对称性可得
又 得 故
若 设直线 AB 方程：
由方程组消去x得
依题意可知， 由已知得
由 得 即 整理得
所以
AB中点 所以点
依题意知
又因为方程（*）上判别式 得
所以
又 所以
又a为常数，故 的面积为定值.
【小问3详解】
依题意得

故
【点睛】关键点点睛：第二问中，一定要分和两种情况讨论.