安徽宣城市2025-2026学年第二学期高二期末测试数学试题

这是一份安徽宣城市2025-2026学年第二学期高二期末测试数学试题，共2页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知向量，，，，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知，，，则下面结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
5.等比数列的前项和，则（ ）
A. 1B. C. D.
6.已知，分别是双曲线C：（，）的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7.已知某圆台的上、下底面半径分别为，，且，若半径为1的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.以下说法正确的是（）
A. 数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为9
B. 已知随机变量~，若随机变量，则
C. 将4名志愿者安排到3个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，则不同排法共有72种
D. 若随机变量~，且，则
10.如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截口曲线是一个椭圆，、为该椭圆的焦点，为椭圆上任意一点.若圆柱的底面圆半径为，.则下列结论正确的是（）
A. 椭圆的长轴长为B. 椭圆的离心率为
C. 满足的点共有个D. 的最小值是
11.已知函数（），若方程在区间有且仅有5个解，则（ ）
A. B. 在极值点个数为3
C. 在零点个数为2或3D. 在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点的直线与圆：交于、两点，则的最小值是___ _____．
13.展开式中项系数是 ．
14.已知a，b，，（其中是自然对数的底数），则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设．
(1)求角；
(2)若角的平分线交于点，且，，求的面积．
16.(本小题15分)
如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，D为棱的中点，平面平面．

(1)求证：平面平面；
(2)若，且三棱柱的体积为，求直线与平面所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
某校为了全面提高学生的综合素养,举办了“最强中学生”知识竞赛,为了调查学生对这次活动的满意程度,在所有参加“最强中学生”知识竞赛的同学中抽取容量为的样本进行调查,并得到如下列联表,其中为正整数:
(1)用频率估计概率,求该校任意一个不满意该活动的学生是男生的概率;
(2)若依据的独立性检验,认为是否对该活动的满意度与性别有关,求的最小值;
(3)若竞赛成绩在前20名的同学进入决赛环节,该环节共设置3道试题,且每一道试题必须依次作答,至少答对2道才能进入总决赛,每人答对这3道试题的概率分别为,,,且3道试题答对与否互不影响．记表示这20人中能进入总决赛的人数,求的数学期望．
附:,其中.
18.(本小题17分)
已知椭圆的右焦点为，且过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆相交于，两点，求的取值范围．
19.(本小题17分)
已知抛物线，点在抛物线上，若按照如下方式依次构造点：作轴，垂足为，过点作直线与抛物线第一象限的部分相切于点，记点的坐标为．
(1)证明：是等比数列；
(2)欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如，．记，求数列的前项和；
(3)若对任意时，不等式恒成立，求实数的最大值．
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】BD
10.【答案】ABD
11.【答案】ABC
12.【答案】
13.【答案】30
14.【答案】 /0.2
15.【答案】解：（1）已知，
展开左侧得：，
移项整理得,
由正弦定理得：.
则，又，因此.
（2）由(1)得，为角的平分线，故.
设，，
，
.
由，代入得：，解得，
因此

16.【答案】解：（1）连接，因为四边形是菱形，，
所以是等边三角形，又因为D为棱的中点，
所以，
又平面平面，且平面平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
（2）由（1）知：平面，且，
所以三棱柱的体积为，则，
而，则，又，所以，
建立如图所示空间直角坐标系：

则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，所以，
所以AD与平面所成的角为，
则.

17.【答案】解：(1)由调查数据可知:当a足够大时,以频率估计概率,
​​​​​​​可得该校任意一个不满意该活动的学生是男生的概率为=.
(2)由题意得:
而==,
依据小概率值=的独立性检验,认为是否对该活动的满意度与性别有关,
则=,解得a,
因为a为正整数,所以a的最小值为10.
（3）由题意得，
设Ai=“答对第i道题”（i=1，2，3）；B=“某同学进入总决赛”，
则，，，
所以
=，
依题意，，
所以；
18.【答案】解：（1）由题意，椭圆的右焦点为，且过点，
所以可得，解方程组得，
所以椭圆的方程为；
（2）当过点的直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与椭圆无交点，不成立；

当过点的直线斜率存在时，设斜率为，直线的方程为，
与椭圆联立，化简得，

因为直线与椭圆相交于，两点，设，，
所以，解得，
又，所以，，，，
所以
，
令，则，由，所以，
所以，
因为，所以，则，所以，
所以，即的取值范围是.

19.【答案】解：(1)证明：由点在抛物线上，所以，所以抛物线，
因为，且轴，垂足为，所以，
又过点作直线与抛物线第一象限的部分相切于点，所以切点为，
由，则，切点处切线的斜率为：，
此时对应的切线方程为：，
又点在切线方程上，所以，即，
又在抛物线上，所以，所以，
因为，所以，
所以数列是以首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）知数列的通项公式为：，则，
当时，，此时所有不超过正整数，且与互质的正整数只有，共个，故；
当时，，此时所有不超过正整数，且与互质的正整数为，共个，故；
当时，，此时所有不超过正整数，且与互质的正整数为，共个，故；
当时，，此时所有不超过正整数，且与互质的正整数为，共个，故；
，
所以当时，所有不超过正整数且与互质的正整数为，共个，故，
所以，
所以，①
，②
①②得：
，
即.
（3）由（2）知若对任意时，不等式恒成立，
等价于对任意恒成立，
因为，所以，
所以上述问题等价于：对任意恒成立，即求，
令，则，
令，
所以在上单调递增，
由，又，
所以，所以，
，又，
所以，所以，
所以存在唯一，使得，
且当时，，当时，，又，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，所以，
由，则，
又，
所以，所以，
所以，即实数的最大值为.
满意
不满意
合计
男生
3a
2a
女生
合计
4a
15a
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
满意
不满意
合计
男生
3a
2a
5a
女生
8a
2a
10a
合计
11a
4a
15a