广西壮族自治区南宁三中2025-2026学年度下学期高二年级期末考试数学试题（含答案）

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命题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 ．集合M ， N = {x | x2 _ 2x _ 3 ≤ 0} ，则M ∩ N = ( )
A ． (3, +∞ ) B ． [3, +∞ ) C ． [ \l "bkmark1" 0, \l "bkmark2" 3] D ． (0, 3]
2 ．已知随机事件A 与B 满足P P (B ) = ，且P 则P(B∣A) = ( )
1 1 1 1
A ． B ． C ． D ．
12 6 4 3
3 ．已知随机变量X 服从二项分布B(n, p) ，则“ p 是“方差D n ” 的 ( )
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4 ．已知函数f(x) 是定义在R 上的奇函数，当x ≥ 0 时，f(x) = x2 + 2x + m（m 为常数），则f(_2) = ( )
A ．4 B ．7 C ． _7 D ．8
5 ．若函数f(x) = (a _ 2)(ex + e_x)+ x + b 有奇数个零点，则4a2 + b2 的最小值是 ( )
A ．6 B ．8 C ．16 D ．18
6 ．某晚会由4 个歌舞节目和 2 个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前 3 个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种.
A ．216 B ．360 C ．432 D ．672
7 ．若直线l 同时是曲线f(x) = aex (a >1)和曲线g(x) = ex + a 的切线，则l 斜率的最小值为 ( )
A ．1 B ． e C ． e2 D ． 2e
8．已知函数 f(xx ≤ 0 ，若f(x ) = m 有四个零点x1 ，x2 ，x3 ，x4 ，且满足x1 < x2 < x3 < x4 ，则x1 _ x2 + x3x4 + m 的取值范围是 ( )
A ． (_4, _2] B ． C ． [_2, _1) D ．
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9 ．下列说法正确的有 ( )
A ．一组数据 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 的第 30 百分位数为 3
B ．若随机变量X ~ B 则E(X ) = 2
C ．若事件 A ， B 满足P(A)+ P(B) = 1 ，则 A 与B 是对立事件
D ．若事件 A ， B 满足P(AB) = P( A B) ，则事件 A ， B 相互独立
10 ．已知n 的展开式中第 3 项的二项式系数为 21 ，则下列说法正确的是 ( )
A ． n = 7 B ．展开式中存在常数项
C ．展开式的所有项的系数和为 128 D ． 27n - 6能被 7 整除
11．已知函数f(x) ， g (x) 的定义域为R ，且g(2 - x) + f (x) = 1 ， g (x)-f(x -1) = -1 ，若y = f (x) 的
图象关于直线x = 1 对称，则 ( )
A ． f (2026 - x) + f (x - 2025) = 2 B ． f
C ． g (x) 是奇函数 D ． = 2026
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 ．曲线y = x 在点（ 1 ，2）处的切线方程为 ．
13 ．已知函数f(x) = lnx - ax ，若f(x ) > 0 有且只有一个整数解，则实数a 的取值范围为 ．
14 ．一个袋子中装有形状大小完全相同的 6 个球，其中有 2 个红球，4 个白球，从中随机逐一取球，每
次抽取后不放回，记X 为抽完某一种颜色所有的球所需的次数，则X 的数学期望E(X) =
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，其中第 15 题 13 分，第 16 题 15 分，第 17 题 15 分，第 18 题
17 分，第 19 题 17 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15 ．在 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为a, b, c ，(2a- c)csB = bcsC ．
(1)求角B 的大小；
(2)若a = 2 ， c = 3 ，点D 在边AC 上，且BD 平分LABC ，求BD 的长．
16 ．为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中200 名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.
(1)若把年龄在[20, 40) 的锻炼者称为青年，年龄在[ \l "bkmark5" 40, \l "bkmark6" 60] 的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2 次的称为体育锻炼频率低，不低于 3 次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值“ = 0.01 的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
(2)从每周体育锻炼 5 次及以上的锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取 8 人，再从这 8 人中随机抽取 3 人，记这 3 人中年龄在[30, 40)与[ \l "bkmark7" 50, \l "bkmark8" 60] 的人数分别为X, Y, ξ = X _Y ，求ξ的分布列与期望；
参考公式： x n =a +b +c +d.
附：
年龄次数
[20, 30)
[30, 40)
[40, 50 )
[ \l "bkmark3" 50, \l "bkmark4" 60]
每周 0~2 次
33
22
22
23
每周 3~4 次
12
17
25
22
每周 5 次及以上
3
3
12
6
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
xa
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
17．如图，已知四棱锥P__ ABCD 的底面 ABCD是平行四边形，LADC = 60O ，PA = 1，AB = 2 ，PB = 5 ，
平面PAB 丄 底面 ABCD ，直线PC 与底面 ABCD 所成的角为30O ．
(1)证明：平面PAD 丄 平面PAC ；
(2)求二面角B _ PC _ D 的余弦值．
18 ．已知椭圆的左、右顶点分别为 A1 , A2 ，上、下顶点分别为B1 , B2 ，记四边形 A1B1A2B2 的内切圆为C, P 为 Γ 上任意一点，过P 作C 的两条切线分别交 Γ 于M，N 两点．
(1)求C 的标准方程；
(2)求证： OP 丄 OM ；
(3)求 MP + NP最小值．
19 ．已知函数f(x) = lnx _ x +1 ．
(1)求f(x) 的极值；
(2)若f(x) + kx ≤ xlnx +1恒成立，求实数k 的取值范围；
(3)当a ≥ 1 时，讨论g(x ) = f (ex)+ axcsx 在区间上零点的个数．
南宁三中2025～2026 学年度下学期高二期考
数学试题参考答案
1．D【详解】由题意可得M 解x2 _ 2x _ 3 ≤ 0 ，得(x _ 3)(x +1) ≤ 0 ，则_1≤ x ≤ 3 ，故N = {x | x2 _ 2x _ 3 ≤ 0} = [_1, 3] ，故M ∩ N = (0, 3] .
2 ．C 根据公式P(AU B) = P (A)+ P(B)__ P(AB) ，即 ，解得P .所以
3 ．A【详解】若随机变量X 服从二项分布B(n, p) ，且p 则D = n n ，若随机变量X 服从二项分布B(n, p) ，且D n ，则np n ，解得p 或p 所以“ p 是“方差D n ” 的充分不必要条件.
4 ．C【详解】 由已知得f(0) = 0 ，则m = _1 ，所以当x ≥ 0 时， f(x) = x2 + 2x _1 ，所以f(2) = 7 ，故f (_2) = _f(2) = _7 ．
5 ．B【详解】 f (_x ) = (a _ 2)(e_ x + ex)+ _x + b = (a _ 2)(ex + e_ x)+ x + b = f (x ) ，又f(x) 定义域为 R ，则函数f(x)为偶函数，由函数f(x)有奇数个零点，则f(0) = 2 (a _ 2) + b = 0 ，即2a +b = 4 ，所以4a2 + b ，当且仅当2a = b ，即a = 1 ，b = 2 时等号成立，即4a2 + b2 的最小值是8 .
6 ．C【详解】步骤 1 ：先排 4 个歌舞节目： A EQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(4),4) = 24 ，排好后会产生 5 个空位（包括两端）；步骤 2：将 2 个机器人节目插入空位： A EQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),5) = 20 ；步骤 3 ：排除“前 3 个节目全是歌舞” 的情况：先从 4 个歌
舞节目中选 3 个排在前 3 个位置，有AEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(3),4) = 24 种方法，剩下的 1 个歌舞节目和 2 个机器人节目排在后3 个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机器人-歌舞-机器人” 的排列，有AEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),2) = 2 种方法.故不满足
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
C
A
C
B
C
B
C
ABD
AD
ABD
条件的情况有AEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(3),4) . AEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),2) = 48 . 故总数为： 24x 20 _ 48 = 432
7 ．B【详解】设直线l 与f(x) = aex (a > 1)切于(x1 , aex1) ，与g(x) = ex + a 切于(x2 , ex2 + a ) . 求导得
f, (x) = aex ， g,(x) = ex ，因此公切线斜率k = aex1 = ex2 ，整理得ex2 _x1 = a → x2 _ x1 = ln a ①. f(x) 的切线方程为y = kx +k (1_ x1) ； g (x) 的切线方程为y = kx +k (1_ x2)+ a . 同一直线截距相等，消去同类项得k(x2 _ x1) = a ② , 将①代入② , 得k 关于a 的函数k .对k求导得k, 令k,(a) = 0 ，得ln a = 1 → a = e ，当1< a < e 时， k,(a) < 0 ，k(a) 单调递减；当a > e 时， k,(a) > 0 ，
k(a)单调递增. 因此a = e 时k(a)取最小值，即kmin e .
8 ．C【详解】作出函数f(x)的图象，如图：因为f(x) = m 有四个零
点，所以0 < m ≤ 1 ，因为x3 < 1< x4 ， lg2 x3 = lg2 x4 ，所以
_ lg2 x3 = lg2 x4 ，即lg2 x3 + lg2 x4 = 0 ，所以x3 . x4 = 1，则x1 - x2 + x3x4 + m = x1 - x2 +1 + m，因为x1 , x2是方程f(x) = m 的根，即 x +1_ m = 0 的根，所以x1 + x2 = _4,x1 . x2 = 3_ 3m ，又x1 < x2 ，所以x1 _ x2_4x1xm ，令y = x1 - x2 + 1+m ，则
y = _2·、1+ 3m +1+ m, m ∈ (0, 1] ，令t = s1+ 3m , t ∈(1, 2] ，则m 所以
y = _2t ]，因为y 在(1, 2]上单调递减，所以y ∈ _2, _1)，即x1 _ x2 + x3x4 + m的取值范围是_2, _1) .
9 ．ABD【详解】对于选项 A ，可知8x 30% = 2.4 ，所以 8 个数据的第 30 百分位数为第 3 个数字，即 3，所以 A 正确；对于选项 B ，由二项分布可知E 所以 B 正确；对于选项 C ，由
P (A)+ P(B) = 1 无法得出P(AB ) = 0 ，所以无法判定 A 与B 是否是对立事件，所以 C 错误；对于选项 D ，可知P(AB ) = , P (AB ) = PP()) = ，可得 化简得P(AB ) = P (A)P (B ) ，即事件 A ， B 相互独立，所以 D 正确；
10 ．AD【详解】 由题意得， C ，得n = 7 ，负值舍去，故 A 正确；通项为
Tr+1 = Cx7-r r = 2r Cx7-2r , r = 0, 1, , 7 ，因为7 - 2r ≠ 0 ，所以展开式中不存在常数项，故 B 错误；
令x = 1 ，则展开式的所有项的系数和为(1+ 2)7 = 2187 ，故 C 错误；
277 - 6 = (4× 7 -1)7 - 6 = CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(0),7) (4× 7 )7 - CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(1),7) (4× 7 )6 + + CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(6),7) (4× 7 )1 - CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(7),7) - 6
= CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(0),7) (4× 7 )7 - CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(1),7) (4× 7 )6 + + CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(6),7) (4× 7 )1 - 7 ，故27n - 6能被 7 整除，故 D 正确.
11．ABD【详解】 由y = f (x) 关于x = 1 对称，得f(2 - x) = f (x) ，已知 将第二个式子换元x → 2 - x ，代入化简得f(x) + f (1- x) = 2 ，因为f(2 - x) = f (x) ，则
f (2 - x) + f (1- x) = 2 ，将1- x用x 替换，可得f(x +1) + f (x) = 2 ，将x 用x +1替换，得
f (x + 2) + f (x +1) = 2 ，即f(x + 2) = 2 -f(x +1) = 2 - 2 -f(x ) = f (x ) ，故f(x)周期为T = 2 .又因为f(2 - x) = f (x) ，则f(-x) = f (2 - x) = f (x) ，即f(x)是偶函数. 由g(x) = f (x -1)-1 和
f (x -1) = 2 -f(x) ，得g(x) = 1-f(x) ，且g(-x) = 1-f(-x) = 1-f(x) = g (x) ，故g(x) 是偶函数.选项 A，f (2026 - x) = f (-x + 2× 1013) = f (-x) = f (x)，f (x - 2025) = f (x -1- 2× 1012) = f (x -1)，由f(x) + f (x -1) = 2 ，得f(2026 - x) + f (x - 2025) = 2 ，A 正确；选项 B ，对任意x ，
f (x )+ g (x ) = f (x ) + (1-f(x )) = 1 ，故f B 正确；选项 C ，推导得g(-x) = g (x)， g (x)是偶函数不是奇函数，C 错误；选项 D ，求和分组方式为f(1) + f (2)为一组， f (3) + f (4)为下一组，以此类推，直至f(2025) + f (2026) ，每组和为2 ，共1013 组，总和为1013× 2 = 2026 ，即 = 2026 ，D 正确.
12 ． y = x +1
13 ． 【详解】令g ，当0 < x < 1时， ln x < 0 ，因此g ，求导可得
g , 则g(x)在(0, 1)上单调递减，值域为(0, +∞ )，但区间(0, 1) 内不存在正整数，不会
有整数解；当x ≥ 1时， ln x ≥ 0 ，此时g ，则 g , 当1 ≤ x < e 时， g, (x) > 0 ，即g(x)在[1, e)上单调递增；当x > e 时，g, (x) < 0 ，即g(x)在(e, +∞ )上单调递减；此时g(x)在x = e处取得极大值，也是最大值，为g 则函数g(x)在[1, +∞ )上的图象如下图所示：若f(x) > 0有且只有一个整数解，即不等式a x ∈ [1, +∞ )
只有一个整数解，又易知32 > 23 ，即ln 32 > ln23 ，可得 结合图象可知不等式的整数解一定为 3 ，又因为 因此可得a
64
14 ． 【详解】 由题可得： X 可能取值为： 2, 3, 4, 5 ， X = 2 ：表示前两次都抽到红色， 15
P X = 3 ：表示前两次都抽到一红一白，第三次抽完红球，
PX = 4 ：表示前三次都抽到一红两白，第四次抽完红球，或者前四次抽的全是白色PX = 5 ：表示前四次都抽到一红三白，第五次抽完红球，或者前四次抽到一红三白，第五次抽完白球，则
P 所以E
15 ．【详解】（1）将(2a _ c)csB = bcsC 展开，得2acsB = ccsB +bcsC ,
即2sinAcsB = sinCcsB + sinBcsC = sin(B + C) = sinA , 因为sin A ≠ 0 ，则cs B
又因为B ∈(0, π) ，所以B = 60O；
（2）设BD = x ，
因为B = 60O ， BD 平分LABC ，所以LABD = LDBC = 30O，
又因为S ABC = S ABD + S CBD 解得x ，故BD
16 ．【详解】（1）零假设H0 ：体育锻炼频率的高低与年龄无关.由题得2× 2 列联表如下：
根据小概率值“ = 0.01 的独立性检验推断H0 不成立，
即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于 0.01．
（2）由表知，利用分层抽样的方法抽取的 8 人中，年龄在[30, 40) ，[ \l "bkmark9" 50, \l "bkmark10" 60] 内的人数分别为 1 ，2，依题意， ξ 的所有可能取值为 0 ，1 ，2，
所以P
所以ξ 的分布列：
所以ξ 的数学期望为E
青年
中年
合计
体育锻炼频率低
55
45
100
体育锻炼频率高
35
65
100
合计
90
110
200
ξ
0
1
2
P
20
56
31
56
5
56
17 ．(1)证明如下：因为PA = 1 ， AB = 2 ， PB = ·5 ，所以PA2 + AB2 = PB2 ，则PA 丄 AB ．又因为平面PAB 丄 底面 ABCD ，平面PAB 平面ABCD = AB ，所以PA 丄 平面 ABCD ．
而 AC C平面ABCD ，所以PA 丄 AC .于是 LPCA即为PC 与底面 ABCD 所成的角，即LPCA = 30O ．因为PA = 1 ，所以AC = 3 ， PC = 2 ，由LADC = 60O ，DC = AB = 2 ，得
AC2 = AD2 + DC2 - 2 . AD . DC . cs60O ，解得 AD = 1 ，从而 AD2 + AC2 = DC2 ，于是AD 丄 AC ，因为 AD ∩ PA = A ，且 AD, PA C平面PAD ，所以AC 丄平面PAD ．
而 AC C平面PAC ，所以平面PAD 丄 平面PAC .（2）由（1）知AC 、AD 、AP 两两垂直，分别以AC 、 AD 、 AP 所在直线为x 轴、 y 轴、
z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．因为P(0, 0, 1) ， C ( ·3, 0, 0 ) ， B ( ·3, -1, 0 ) ，D(0, 1，0），所以 = (S3, 0, -1) ， = ( ·、3, -1, -1) ， = (0, 1, -1)，
设平面PBC 的一个法向量为 = (x, y, z ) ，则
故可设： = (1, 0, 3 ) ．设平面PDC 的一个法向量为 = (a, b, c) ，则
故可设： = (1, 、3, 、3 ) ．令二面角B - PC - D 为θ , 由图可知θ 为钝角，则 cs 所以二面角B - PC - D 的余弦值为 ．
18 ．【详解】（1） 由题意知： 中， a2 = 12 ，b2 = 4 ，故 A1 (-23 , 0 ) ， A2 (23 , 0 ) ，B1 (0, 2) ，B2 (0, -2)；
,
根据对称性可知，四边形 A1B1A2B2 为平行四边形，其内切圆圆心在原点直线 A1B2 ： ，整理得： -x + 3y - 23 = 0 ；
半径为r 故圆C 的标准方程为： x2 + y2 = 3
(2)（方法一）
① P 在顶点时，由(1)知OP 丄 OM 成立；
② P 不在顶点时，设PM : mx + ny = 1 ，因为PM 与曲线C 相切，
则 m21+n 即m2 + n
联立
即 2 → (12n mnm 2 - 1= 0 ，
即kOM , kOP 是该方程的两根，则kOM . kOP 即 OP 丄 OM ．
（方法二）
① PM 的斜率不存在时，则P 在直线x = ± 3 上，
当P 在直线x = 3 上时， P 点坐标为( 3, 3 ) ，M ( 3, - 3 )，此时 . = 0 ， OP 丄 OM ；
根据对称性可知， PM 的斜率不存在时， OP 丄 OM 恒成立；
② PM 的斜率存在时，设PM : y = kx + m ，P (x1 , y1) ，M (x2 , y2) ．联立 即(3k2 +1)x2 + 6kmx + 3m2 -12 = 0
则x1 + x x1x y1y 则 x1x2 + y1y
又因为直线PM 与曲线 C 相切，即 ，解得： m2 = 3k2 + 3 ；
代入上式得 . = 0 ，即 OP 丄 OM
（3） 由(2)知OP 丄 OM ，同理OP 丄 ON ，则M、O、N 三点共线，即 MP = NP ．
① P 在顶点时，则 MPNPa2+b
② P 不在顶点时，设OM : y = kx ，联立 ，
可得： (3k2 +1)x2 _12 = 0 ，解得： x
则 OM2 = x2 + y 同理： OP
则 MP + NP = 2 MP = 2 ·OM 2 + OP 2 = 2
12 +12k2 12 +12k2
3k2 +1 3 + k2
+

≥ 43 ，当且仅当 即k2 = 1时，等号成立．综上： MP + NP 的最小值为43 ．
19 ．【详解】（1） 由f(x)= ln x _x +1 ，则f, x ∈(0, +∞ )，
当x ∈(0, 1)时， f,(x)> 0 ；当x ∈(1, +∞ )时， f,(x)< 0 ， f (x)在(0, 1)上单调递增，在(1, +∞ )上单调递减，所以f(x) 的极大值为f(1)= 0 ，无极小值；
（2） f (x)= ln x _x +1 ，此时f(x)+kx ≤ xln x +1 ⇋ ln x _x +kx ≤ xln x ，法一：分离参数法，从而kx ≤ ln x + x → k ≤ 1+ ln x
令h = 1+ lnx 则h,(x)= _ = ，所以h,(x)> 0 → x > 1 ； h,(x)< 0 → 0 < x 0 时， h (x) ≥ 0 恒成立，
由一次函数m (k )= (x _1)lnx +x _kx 在(_∞, 1]上递减，
则m (k ) ≥ m(1) → (x _1)lnx +x _kx ≥ (x _1)lnx ，
在x ∈(0, 1)和x ∈(1, +∞ )上(x__ 1)lnx > 0 恒成立，且x = 1 时(x _1)lnx = 0 ，所以h(x)≥ 0 恒成立，故k 的取值范围为(_∞, 1]；
（3） g (x)= x _ex +1+ ax cs x 在区间 上有 3 个零点，
理由如下： 由于g(0)= 0 ，所以x = 0 是函数g(x) 的一个零点，
g,(x)= 1__ex _a (x sin x _cs x)，
①当x 时，此时axcsx < 0 恒成立，又x +1 __ex < 0恒成立，
从而g(x)< 0 恒成立，所以g(x)在区间x 上没有零点；
②当x 时，此时g ,(0) = a > 0 ， g ，
设m (x) = g, (x) = 1_ ex _ a (x sin x _ cs x) ，m,(x) = _ex + a(_2sin x _ x cs x) ，
由于2sinx + xcsx > 0 恒成立，所以m, (x) < 0 ，即m (x) = g,(x)在(|(0, l上单调递减，
从而存在x 使得g,(x1) = 0 ，
即g(x)在区间(0, x1)上递增，区间 上递减，从而g(x1) > g (0) = 0 ，又g
所以g(x)在 有唯一零点，即在 上有唯一零点， ③当x 时，此时csx _ xsinx < 0 ， a ≥1 ，
所以a(csx _ xsinx) ≤ csx _ xsinx
从而g,(x) = 1_ ex + a(cs x _ x sin x) ≤1_ ex + (cs x _ x sin x) ，由于x x < sinx ， sinx < 0 ，所以xsinx > sin2x ， g,(x) = 1_ ex + a(cs x _ x sin x) ≤1_ ex + (cs x _ x sin x)
< 1_ ex _ sin2 x + cs x = _ex + (cs2 x + cs x )，
又cs2 x + cs x = cs x .(cs x +1) < 0 ，从而g,(x) < 0 在x 上恒成立，所以g(x)在区间x 上单调递减，
因为g = _π +1_ e_π + aπ = π +1_ e_π > 0 ，因此g(x)在区间x 上有唯一零点，
综上所述，函数g在区间上有 3 个零点