2026年中考数学真题完全解读（江苏省扬州卷）

这是一份2026年中考数学真题完全解读（江苏省扬州卷），共9页。试卷主要包含了12等内容，欢迎下载使用。
试卷总评·考情分析·复习策略·真题解读
试题分析
2026 年江苏省扬州市中考数学试卷结构稳定，全卷共 28 题，考试时间 120 分钟，满分 150 分；其中选择题 8 题（24 分）、填空题 10 题（30 分）、解答题 10 题（96 分）。试卷整体难度梯度清晰，基础题占比约三成六，中档题与压轴题分层明显。扬州卷在保持江苏中考共性的同时，突出地方文化与科技情境：第 3
题以江苏卫视“苏超”直播收视率为背景考查调查方式，第 9 题以红军长征数据为素材考查科学记数法，第
14 题以扬州漆器《春山畅游》正八边形为情境考查多边形内角和。整卷函数与几何并重，统计与概率稳定
命制，压轴题第 27 题正方形折叠与第 28 题抛物线新定义矩形问题体现较高的思维区分度。
试题亮点
扬州地方文化与人文科技情境有机融合，凸显城市辨识度：第 3 题以江苏卫视“苏超”直播节目全国收视
率为背景考查抽样调查与普查；第 9 题以红军长征“二万五千里”数据为素材考查科学记数法；第 14 题以扬州漆器作品《春山畅游》的正八边形轮廓为背景，将地方非遗工艺与正多边形内角和结合。这些情境具有鲜明的扬州及江苏地域印记，体现数学服务地方文化与红色教育的价值导向。
函数主线贯穿中高档题，数形结合与模型意识要求高：第 8 题将一次函数与反比例函数图象置于同一坐
标系，通过交点区域内部点的矩形面积与周长比较考查函数不等式与几何直观；第 12 题由一次函数图象经
过象限反求参数范围；第 25 题以行车速度与视野角度的测试数据为背景，建立反比例函数模型并解决安全速度控制问题；第 28 题围绕抛物线动点构造“矩形 R”，综合考查函数表达式、最值、分类讨论与存在性问题。
几何推理与尺规作图并重，传统证明与开放探究交相辉映：第 5 题利用一元二次方程判别式判断根的情
况；第 7 题以折叠椅侧面示意图为背景考查平行线与三角形外角；第 15 题考查圆内接四边形与直径所对圆
周角；第 17 题以两个正方形剪拼大正方形为情境，融合完全平方公式与几何构造；第 24 题证明平行四边
形并求周长；第 26 题要求尺规作图并作切线证明求半径；第 27 题在正方形折叠中探究线段关系与最值。几何题既保留传统推理，又强化作图、构造与探究。
命题趋势
扬州及江苏地方文化、科技成就情境将持续入题，应用意识考查常态化：第 3 题“苏超”直播收视率、第 9
题红军长征数据、第 14 题扬州漆器正八边形、第 25 题汽车驾驶视野测试，均选取具有地方或时代特征的真实素材。未来扬州卷将继续挖掘运河文化、非遗工艺、地方赛事、红色教育等素材，引导学生在真实情境中提取数量关系并建立数学模型。
函数与几何深度融合，中高档题成为区分主战场：第 8、12、25、28 题均体现函数思想，其中第 8 题一
次函数与反比例函数图象综合、第 28 题抛物线动点矩形问题，要求学生既能进行代数运算，又能结合图形性质进行分类讨论。预计未来函数与几何交叉题目将继续占据次压轴与压轴位置，数形结合能力要求进一步提高。
统计与概率注重数据观念与决策解释，实际应用色彩浓厚：第 3 题调查方式选择、第 11 题频率估计概率、
第 21 题统计量计算与样本估计总体、第 22 题列表法或树状图求概率、第 25 题反比例函数拟合实测数据，体现从数据收集、描述、分析到决策解释的完整统计思维链。未来统计概率题将更强调从图表中提取信息并用样本推断总体。
几何探究与尺规作图要求提升，思维过程成为压轴区分核心：第 17 题剪拼正方形、第 26 题尺规作图与
切线证明、第 27 题正方形折叠探究线段关系与最值、第 28 题抛物线“矩形 R”多情况讨论，均要求学生不仅掌握结论，更要呈现推理、构造与分类讨论的思维过程。未来压轴题将继续淡化复杂计算、强化探究路径与作图表达。
考点细目表
题号
题型
分值
具体考点
关键能力
1
单选
3
数与式→实数与数轴→绝对值与数轴上点到原点距离
运算能力、几何直
观
2
单选
3
数与式→整式的运算→合并同类项、幂的运算
运算能力
3
单选
3
统计与概率→统计调查方式→普查与抽样调查的适用场景
数据观念
4
单选
3
图形的性质→三视图与几何体→常见几何体的主视图
空间观念、几何直
观
5
单选
3
方程与不等式→一元二次方程→根的判别式
运算能力、推理能
力
6
单选
3
图形的性质→圆→弧长公式
几何直观、运算能
力
7
单选
3
图形的性质→平行线与三角形→平行线性质与三角形外角
定理
推理能力、几何直
观
8
单选
3
函数→一次函数与反比例函数→函数图象综合、矩形面积与
推理能力、几何直
考点模块占比分析
数与式模块（约 18%，27 分）：重点考查第 1、2、9、10、19 题，涵盖绝对值、科学记数法、整式运算、因式分解与实数混合运算，突出基础运算能力与代数变形能力。
周长
观
9
填空
3
数与式→科学记数法→大数的科学记数法表示
运算能力
10
填空
3
数与式→因式分解→提公因式法与公式法
运算能力
11
填空
3
统计与概率→概率→频率估计概率
数据观念
12
填空
3
函数→一次函数→一次函数图象与系数关系
推理能力、几何直
观
13
填空
3
方程与不等式→二元一次方程组→古代数学问题中的方程
组建模
模型观念、运算能
力
14
填空
3
图形的性质→多边形→正多边形内角和
几何直观、运算能
力
15
填空
3
图形的性质→圆→直径所对圆周角、圆内接四边形
推理能力、几何直
观
16
填空
3
图形的性质→三角形→三角形中线与中位线
推理能力、几何直
观
17
填空
3
图形的性质→正方形→正方形性质、完全平方公式与面积计
算
推理能力、几何直
观
18
填空
3
图形的变化→旋转→旋转、特殊角三角函数与线段关系
推理能力、几何直
观
19
解答
8
数与式→实数运算→实数混合运算
运算能力
20
解答
8
方程与不等式→一元一次不等式组→解不等式组及整数解
运算能力
21
解答
8
统计与概率→统计量→众数、中位数、平均数与样本估计总
体
数据分析、数据观
念
22
解答
8
统计与概率→概率→画树状图或列表法求概率
数据观念
23
解答
8
方程与不等式→分式方程→分式方程应用（工程效率问题）
模型观念、运算能
力
24
解答
10
图形的性质→平行四边形→平行四边形的判定与性质
推理能力、几何直
观
25
解答
10
函数→反比例函数→反比例函数模型、描点作图与不等式应
用
模型观念、应用意
识
26
解答
10
图形的性质→圆→尺规作图、切线判定与勾股定理
几何直观、推理能
力
27
解答
12
图形的性质→正方形折叠→正方形折叠、相似三角形与最值
推理能力、几何直
观
28
解答
12
函数→二次函数综合→二次函数表达式、动点矩形与分类讨
论
创新意识、推理能
力
函数模块（约 22%，32 分）：重点考查第 8、12、25、28 题，覆盖一次函数与反比例函数图象综合、一次函数参数范围、反比例函数建模及二次函数动点矩形问题，体现函数建模与数形结合思想。
图形的性质模块（约 34%，51 分）：重点考查第 4、5、6、7、14、15、16、17、18、24、26、27 题，涉及三视图、一元二次方程判别式、圆、三角形、正方形、平行四边形、尺规作图、折叠与旋转，几何推理内容丰富。
图形的变化与综合实践模块（约 4%，6 分）：主要考查第 17 题正方形剪拼、第 18 题旋转构造，渗透图形变换与数学文化；第 25、27 题虽以实际情境或折叠为背景，但核心求解仍以函数或几何推理为主。
统计与概率模块（约 20%，30 分）：重点考查第 3、11、21、22、25 题，包括调查方式选择、频率估计概率、统计量计算、概率计算、样本估计总体及数据拟合，强调数据观念与统计思维。
核心复习策略
夯实数与式、方程不等式基础
系统梳理绝对值、科学记数法、幂的运算、因式分解、二次根式、分式等核心概念与运算法则，确保第 1、2、9、10、19 题等基础题得分稳定。
强化一元一次不等式组、二元一次方程组、分式方程的解法训练，特别注意第 20 题整数解、第 23 题分式方程检验等易错环节。
强化函数主线，提升数形结合与建模能力
将一次函数、反比例函数、二次函数的图象性质与几何图形结合训练，重点突破第 8、12、25、28 题，理解函数参数对图象位置的影响。
通过第 25 题等实际数据拟合问题，培养“描点—观察—建模型—解不等式—解释”的完整应用意识，学会把文字与图表信息转化为函数关系。
重视几何推理与尺规作图，积累模型与探究经验
系统复习平行线、三角形、四边形、圆的性质与判定，熟练掌握第 14、15、16、24、26 题中的常用定理与辅助线。
针对第 17 题剪拼、第 18 题旋转、第 26 题尺规作图、第 27 题折叠最值进行专题训练，培养“遇折叠思对称、遇旋转思全等、遇切线连半径”的解题直觉。
避坑提醒（考试最易踩的雷）
×只刷难题忽视基础：基础题失分最不划算。
×只背模板不理解原理：新情境下必须依靠理解迁移。
×做题不复盘：错题复盘的价值远大于机械刷题。
×表达不规范：步骤、依据、单位或答语缺失都会造成失分。
单选题
数轴上表示下列各数的点中，最接近原点的是（）
A．+3B．+2C．−1D．−4
命题透视
核心考点：绝对值与数轴上点到原点的距离
命题分析：
情境创设：以数轴上几个数的位置为背景，考查最接近原点的点对应的数。
问题设计：题目给出四个数，要求比较它们到原点的距离，选项设置围绕绝对值大小展开，考查学生对绝对值几何意义的理解。
考查目标：考查学生对绝对值概念的理解与直接应用，属于基础层次的信息提取与运算能力。
答案与解析
【答案】C
【分析】数轴上一个数对应的点到原点的距离等于这个数的绝对值，要找最接近原点的点，只需比较各数的绝对值，绝对值最小的即为所求．
【详解】解：∵ 数轴上点到原点的距离等于该数的绝对值，| + 3| = 3，| + 2| = 2，| − 1| = 1，| − 4| = 4
∵1 < 2 < 3 < 4
∴−1 对应的点到原点的距离最小，最接近原点．
知识总结
① 核心概念：数轴上一个数对应的点到原点的距离等于这个数的绝对值。② 解题方法：比较各数绝 对值的大小，绝对值最小的数对应的点最接近原点。③ 易错点：不要混淆“最接近原点”与“数值最小”。
命题透视
核心考点：整式的运算
命题分析：
情境创设：以纯数学运算题为背景，考查整式加减与幂的运算。
问题设计：题目给出四个运算式，要求判断哪一个正确，选项设置覆盖合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方等常见错误。
考查目标：考查运算能力，要求学生熟练掌握整式运算与幂的运算法则。
答案与解析
【答案】B
【详解】解：选项 A，∵ 2与3不是同类项，不能合并，故 A 错误；选项 B，2·3 = 2+3 = 5，故 B 正确；
选项 C，10 ÷ 2 = 10−2 = 8 ≠ 5，故 C 错误；
选项 D，(2)3 = 2×3 = 6 ≠ 5，故 D 错误．
知识总结
① 合并同类项：字母及指数相同的项才能合并。② 同底数幂相乘：底数不变，指数相加；幂的乘方：底数不变，指数相乘。③ 注意符号与系数变化，避免把加法与乘法法则混淆。
下列调查中，适合采用普查的是（）
调查一批电视机的使用寿命
调查全省中学生最喜爱的体育运动项目 C．调查江苏卫视“苏超”直播节目的全国收视率
调查神舟二十三号载人飞船零部件的合格情况
命题透视
核心考点：普查与抽样调查的适用场景
命题分析：
2．下列运算正确的是（
）
A．2 + 3 = 5
B．2 ⋅ 3 = 5
C．10 ÷ 2 = 5
D．(2)3 = 5
情境创设：以“苏超”直播收视率、电视机使用寿命、全省中学生运动项目、飞船零部件合格情况等为现实情境。
问题设计：题目给出四个调查情境，要求选择适合普查的一项，考查学生对两种调查方式适用条件的理解。
考查目标：考查数据观念，要求学生能根据调查范围、破坏性、精确度要求选择合适的调查方式。
答案与解析
【答案】D
【分析】一般来说，范围过大、具有破坏性、对精确度要求不高的调查适合抽样调查，精确度要求高、事关重大的调查适合采用普查，根据这个原则逐一判断选项即可．
【详解】解：A、调查电视机使用寿命具有破坏性，不适合采用普查，故选项不符合题意；
B、调查全省中学生范围广，调查对象数量大，不适合采用普查，故选项不符合题意； C、调查全国收视率范围广，调查对象数量大，不适合采用普查，故选项不符合题意；
D、神舟载人飞船零部件合格情况直接影响飞行安全，要求每个零件都合格，结果必须准确，因此适合采用
普查，故选项符合题意．
知识总结
① 普查：对总体中每一个个体进行调查，适用于范围小、精确度高、事关重大的情况。② 抽样调查：从总体中抽取部分个体调查，适用于范围广、具有破坏性、对精确度要求不高的情况。③ 飞船零部件、人口普查等事关安全的场景常采用普查。
一个几何体的主视图是等腰三角形，这个几何体可能是（）
长方体B．圆柱C．圆锥D．球
命题透视
核心考点：常见几何体的主视图
命题分析：
情境创设：以主视图是等腰三角形为条件，反向推断可能的几何体。
问题设计：题目给出四个常见几何体，要求选择主视图可能是等腰三角形的一个，考查三视图与几何体的对应关系。
考查目标：考查空间观念与几何直观，要求学生熟悉常见几何体的三视图。
答案与解析
【答案】C
【分析】分别判断各选项几何体的主视图，即可判断．
【详解】解：A、长方体的主视图是长方形，故选项不符合题意；
B、圆柱的主视图是长方形或圆，故选项不符合题意； C、圆锥的主视图可能是等腰三角形，故选项符合题意； D、球的主视图是圆，故选项不符合题意；
知识总结
① 主视图是从正面观察几何体得到的平面图形。② 长方体主视图为矩形，圆柱主视图为矩形或圆，圆锥主视图可能为等腰三角形，球主视图为圆。③ 可通过实物观察或模型想象加深理解。
关于 x 的一元二次方程2 + − 1 = 0 根的情况是（）
有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
没有实数根D．无法判断根的情况
命题透视
核心考点：一元二次方程根的判别式
命题分析：
情境创设：以含参数的一元二次方程为背景，判断方程根的情况。
问题设计：题目给出具体方程，要求学生计算判别式并判断根的情况，选项设置覆盖两种不同实根、相等实根、无实根等情形。
考查目标：考查运算能力与推理能力，要求学生掌握判别式与根情况的对应关系。
答案与解析
【答案】A
【分析】计算根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况．
【详解】解：对于一元二次方程2 + − 1 = 0，可得 = 1， = ， =− 1，
∵ Δ = 2 − 4 = 2 − 4 × 1 × ( − 1) = 2 + 4，
又∵无论取任意实数，都有2 ≥ 0，
∴ 2 + 4 > 0，即Δ > 0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
知识总结
① 对于一元二次方程 ax²+bx+c=0，判别式Δ=b²-4ac。② Δ>0 时有两个不等实根，Δ=0 时有两个相等实根，Δ 0与反比例函数 = > 0的部分图象如图所示，M 是它们的一个交点，N
是它们所围成的区域（不含边界）内的一点．过点 M 作 ⊥ 轴， ⊥ 轴，垂足分别为 A，B；过点 N
作? ⊥ 轴， ⊥ 轴，垂足分别为 C，D．记矩形的面积为1，周长为?1，记矩形?的面积为2，周长为?2，下列结论正确的是（）
A．1 < 2，?1 < ?2B．1 < 2，?1 > ?2
C．1 > 2，?1 < ?2D．1 > 2，?1 > ?2
命题透视
核心考点：一次函数与反比例函数图象综合
命题分析：
情境创设：以平面直角坐标系中两个函数图象及交点区域为背景。
问题设计：题目给出一个交点 M 和区域内部一点 N，分别作坐标轴垂线形成两个矩形，要求比较矩形面积与周长，需结合函数解析式与不等式分析。
考查目标：考查推理能力与几何直观，要求学生能利用函数图象上点的坐标特征和函数不等式判断几何量大小。
答案与解析
【答案】B
【分析】设点坐标为(1, 1)，点坐标为(2, 2)，根据点在反比例函数图象上可得1的值，根据点在反比例函数图象上方可得2与1的关系；根据点在一次函数图象上可得?1的值，根据点在一次函数图象下方可得?2与?1的关系．
【详解】设(1, 1)，(2, 2)
∵点在反比例函数 = 图象上
∴ 11 =
∴ 1 = 11 =
∵点在反比例函数图象的上方
∴ 2 > ，即22 >
2
∴ 2 = 22 >
∴ 1 < 2
∵点在一次函数 =− + 图象上
∴ 1 =− 1 + ，即1 + 1 =
∵矩形
∴ = , = ，
∴ ?1 = 2(1 + 1) = 2
∵点在一次函数图象的下方
∴ 2 ?2
综上所述，1 < 2，?1 > ?2．
知识总结
① 点在反比例函数 y=k/x 图象上，则 xy=k。② 点在函数图象上方或下方可转化为函数值不等式。③ 矩形面积与周长用横纵坐标表示后，结合不等式比较大小。
填空题
“红军不怕远征难，万水千山只等闲”．数据看长征，从 1934 年 10 月至 1936 年 10 月，历时 735 天，中
央红军行程二万五千里，主力红军总行程超六万五千里．数据 65 000 用科学记数法表示为．
命题透视
核心考点：科学记数法
命题分析：
情境创设：以红军长征历时与行程数据为红色教育情境。
问题设计：题目给出“二万五千里”等数据，要求用科学记数法表示，考查单位换算与科学记数法规范表达。
考查目标：考查运算能力，要求学生能从史料数据中提取有效数字并正确表示。
答案与解析
【答案】6.5 × 104
【详解】解：65000 = 6.5 × 104．
知识总结
① 科学记数法形式为 a×10^n，其中 1≤|a| 2
【分析】根据一次函数 = − 2 + 3 得 − 2 ≠ 0；图象经过第一、二、三象限，得到 − 2 > 0，解答即可;
【详解】解：根据题意，得 − 2 ≠ 0；且 − 2 > 0，
解得 > 2．
知识总结
① 一次函数 y=kx+b 中，k 决定增减与倾斜方向，b 决定 y 轴截距。② 图象过一、二、三象限需 k>0且 b>0。③ 注意题目给出的解析式形式，准确识别 k 与 b。
《九章算术》是中国古代算经之首，其中“方程”章中有“甲乙持钱”问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲乙持钱各几何．”大意是：甲、乙二人带的钱不知道数目，若甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲所带钱的三分之二也有五十钱，问甲、乙各带了多 少钱．设甲带的钱数为 x，乙带的钱数为 y，可以列出二元一次方程组．
命题透视
核心考点：二元一次方程组的应用
命题分析：
情境创设：以《九章算术》“甲乙持钱”为数学文化情境。
问题设计：题目给出古代算题，要求设未知数并列出二元一次方程组，考查从文言文描述中提取等量关系。
考查目标：考查模型观念与运算能力，要求学生能将古文条件转化为现代数学语言。
答案与解析
+ 1 = 50
【答案】
2
+ 2 = 50
3
【分析】设甲带的钱数为 x，乙带的钱数为 y，根据若甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲
所带钱的三分之二也有五十钱，列出二元一次方程组即可．
【详解】解：设甲带的钱数为 x，乙带的钱数为 y，
+ 1 = 50
根据题意：
2
+ 2 = 50
．
3
知识总结
① 列方程组关键是找两个独立等量关系。② “甲得乙半而钱五十”即 x+y/2=50；“乙得甲太半而亦钱五十”即 y+2x/3=50。③ 注意“太半”指三分之二。
扬州漆器造型雅致，做工精巧，色彩和谐，光泽腴润．如图，扬州漆器作品《春山畅游》的轮廓是一个正八边形，它的每个内角为°．
命题透视
核心考点：正多边形内角和
命题分析：
情境创设：以扬州漆器作品《春山畅游》的正八边形轮廓为地方文化情境。
问题设计：题目给出正八边形，要求求每个内角的度数，考查多边形内角和公式与正多边形性质。
考查目标：考查几何直观与运算能力，要求学生能将非遗工艺品抽象为正多边形并计算内角。
答案与解析
【答案】135
【分析】根据多边形内角和公式 − 2 × 180°求出正八边形的内角和，再根据正多边形的性质，用内角和除以边数即可求出每个内角的度数．
【详解】解：正八边形的边数 = 8 根据多边形内角和公式，该正八边形的内角和为
8 − 2 × 180° = 6 × 180° = 1080°，
∵正八边形的每个内角都相等，
∴每个内角的度数为 1080° ÷ 8 = 135°．
知识总结
① n 边形内角和公式：(n-2)×180°。② 正 n 边形每个内角相等，为(n-2)×180°/n。③ 也可利用外角和 360°求每个外角，再用 180°减去外角得到内角。
⏜
如图，C 是以为直径的⊙ 上一点，点 D 在?上，∠? = 20°，则∠? =°．
命题透视
核心考点：直径所对圆周角、圆内接四边形
命题分析：
情境创设：以圆中直径与圆内接四边形为几何情境。
问题设计：题目给出直径所对圆周角与圆内接四边形对角关系，要求求某角的度数。
考查目标：考查推理能力与几何直观，要求学生熟练运用圆的相关性质。
答案与解析
【答案】110
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得出∠? = 90°，利用三角形内角和定理求出∠?的度数，再根据圆内接四边形对角互补，即可求解．
【详解】解：∵ 是⊙ 的直径，
∴ ∠? = 90°，
∵ ∠? = 20°，
∴ ∠? = 90° − ∠? = 70°，
∵四边形?内接于⊙ ，
∴ ∠? + ∠? = 180°，
∴ ∠? = 180° − 70° = 110°．
知识总结
① 直径所对的圆周角是直角。② 圆内接四边形对角互补。③ 三角形内角和定理常与上述性质结合使
用。
如图，在△ ? 中，D，E 分别是，? 的中点，点 F 在 的延长线上．若△ 的面积是 3，则△ ?? 的面积是．
命题透视
核心考点：三角形中线与中位线
命题分析：
情境创设：以三角形中点连线与延长线为几何情境。
问题设计：题目给出三角形两边中点及延长线上的点，要求利用中线分面积相等与中位线平行且等于第三边一半求某三角形面积。
考查目标：考查推理能力与几何直观，要求学生灵活运用三角形中线与中位线性质。
答案与解析
【答案】6
【分析】连接?，利用三角形中线的性质先后求得△? = 2△ = 6，△? = △? = 6，再利用三角形中位线的性质求得∥?，即可得到△ ?? 的面积是 6．
【详解】解：连接?，
∵点 E 是? 的中点，
∴△? = 2△ = 6，
∵点 D 是的中点，
∴△? = △? = 6，
∵D，E 分别是，? 的中点，
∴∥?，
∴△?? = △? = 6，即△ ?? 的面积是 6．
知识总结
① 三角形中线将三角形分成面积相等的两部分。② 三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。③ 面积比常等于底边比或高的比。
如何将两个大小不等的正方形剪拼成一个大正方形？现有如下方案：将正方形?和正方形??按 如图所示的方式摆放，在边上取点 M，使 = ，沿，?剪开，可拼成正方形?．若 = 9，
= 10，则△ 的面积是．
命题透视
核心考点：正方形性质、完全平方公式与面积计算
命题分析：
情境创设：以两个大小不等的正方形剪拼成一个大正方形为数学文化情境。
问题设计：题目给出两个小正方形边长及剪拼方式，要求求某三角形面积，需结合正方形性质、完全平方公式与几何构造。
考查目标：考查推理能力与几何直观，要求学生能在剪拼过程中发现边长关系并计算面积。
答案与解析
【答案】31
4
【分析】设 = = ， = = ，则 + = 9，利用正方形的性质可得2 + 2 = 2，2 + 2 =
22 = 102，进而可得2 + 2 = 50，利用完全平方公式求得 = 31，然后利用三角形的面积公式求解即
2
可．
【详解】解：在正方形?和正方形??中，∠ = ∠ = 90°， = ， = ，设 = = ， = = ，则2 + 2 = 2，
∵ = 9，
∴ + = 9，即 + = 9；
∵四边形?是正方形，
∴ = ，∠ = 90°，又 = 10，
∴2 + 2 = 2，即 22 = 102，
∴2 = 50，则2 + 2 = 50，
∵ + 2 = 2 + 2 + 2，即92 = 50 + 2，
解得 = 31，
2
∴△ = 1 ⋅ = 1 = 31．
2
2
4
知识总结
① 剪拼前后面积守恒，大正方形面积等于两个小正方形面积之和。② 利用正方形性质与角度关系可证三角形全等或相似。③ 完全平方公式常用于求线段长度。
如图，在△ ?中， = ? ，∠? = 120°．将线段绕点 A 按逆时针方向旋转至（∠是旋转角，且 0° < ∠ < 120° ），连接，? ，作 ⊥ ? ，垂足为 N．用等式表示线段，? ，之间的数量关系为．
命题透视
核心考点：旋转、特殊角三角函数与线段关系
命题分析：
情境创设：以直角三角形中绕顶点旋转线段为几何变换情境。
问题设计：题目给出旋转角为特殊角，要求用等式表示三条线段之间的数量关系，需构造垂线、利用特殊角三角函数进行推导。
考查目标：考查推理能力与几何直观，要求学生能通过旋转构造全等或特殊直角三角形。
答案与解析
【答案】? + 2 = 2 3
【分析】过点 A 作? ⊥ 于点 H，延长交延长线于点 E，可推得∠? = 60°，则∠ = 30°， 分别在 Rt △ 和 Rt △ ?中，利用特殊角三角函数关系，找到, 与关系，?与之间的关系，再利用等腰三角形的性质，转化成，?，之间的数量关系．
【详解】解：过点 A 作? ⊥ 于点 H，延长交延长线于点 E，由题意， = = ?，
∵? ⊥ ， ⊥ ?，
∴∠? = 1 ∠, ∠ = 1 ∠?，? = 1 , = 1 ?，
2
2
2
2
∴∠? = ∠? + ∠ = 1 ∠ + ∠? = 1 ∠? = 60°，
2
2
∴在 Rt △ 中，∠ = 30°，
∴ =
tan30°
= 3 = 3 ?， =
2
sin30°
= 2 = ?，
同理，在 Rt △ ?中，∠ = 30°，
cs30° = ? = ?+ =
+2
3，
∴2? + 2 = 3 + 3，
∴2 × 1 + 2? = 3 + 3 ?，
2
2
整理，得? + 2 = 2 3．
知识总结
① 旋转保持线段长度与夹角不变。② 特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值常用于求线段比例。
③ 构造垂线可将斜线段转化为直角三角形的直角边进行研究。
三、解答题
计算：
18
− π − 30 − 4sin45° ；
(2)9 + − 3 2．
命题透视
核心考点：实数混合运算
命题分析：
情境创设：以纯数学计算题为背景，分两小问考查实数运算。
问题设计：第（1）（2）问分别给出包含乘方、开方、绝对值、三角函数值等的综合算式，要求计算结果。
考查目标：考查运算能力，要求学生熟练掌握实数运算顺序与特殊角三角函数值。
答案与解析
【答案】(1) 2 − 1
(2)
【详解】（1）解：原式= 3 2 − 1 − 4 ×
2
2
= 3 2 − 1 − 2 2
= 2 − 1；
（2）解：原式= 92 + − 92
= ．
知识总结
① 运算顺序：先乘方开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号。② 熟记特殊角三角函数值。③ 注
意符号与分母有理化。
2 − 1 < + 1
解不等式组
命题透视
−5 ≤ 2并求它的所．有．整．数．解．的．和．．
3
核心考点：解一元一次不等式组及整数解
命题分析：
情境创设：以纯数学计算题为背景，考查不等式组的解法及整数解求和。
问题设计：题目给出一个一元一次不等式组，要求写出解集并求所有整数解的和。
考查目标：考查运算能力，要求学生能正确求解不等式组并准确找出整数解。
答案与解析
【答案】−1 ≤ < 2，它的所有整数解的和为 0
2 − 1 < + 1①
【详解】解：
−5 ≤ 2②
3
由①得， < 2；由②得， ≥− 1
∴原不等式组的解集为：−1 ≤ < 2
∴它的所有整数解为−1，0，1，
∴所有整数解的和为：−1 + 0 + 1 = 0．
知识总结
① 分别求出每个不等式的解集，再取公共部分。② 在数轴上表示解集有助于找整数解。③ 注意端点是否取等号，避免漏算或多算整数。
某中学为了解七年级学生本学期的课外阅读情况，随机调查了 20 名七年级学生，调查结果如图所示；
被调查的 20 名学生课外阅读图书数量的众数为本，中位数为本，平均数为本；
该中学七年级共有 400 名学生，学校决定对本学期课外阅读图书数量达到 5 本以上（含 5 本）的学生给予表彰，请估计七年级获得表彰的学生人数．
命题透视
核心考点：众数、中位数、平均数与样本估计总体
命题分析：
情境创设：以学校七年级学生课外阅读情况调查为统计情境。
问题设计：第（1）问根据统计图求众数、中位数、平均数；第（2）问用样本比例估计总体中获得表彰的人数。
考查目标：考查数据分析与数据观念，要求学生能从统计图中提取信息并进行合理推断。
答案与解析
【答案】(1)3，4，3.8
(2)估计七年级获得表彰的学生人数为 120 人
【分析】（1）根据众数、中位数、平均数的定义求解即可；
（2）根据样本估计总体，用 400 乘以课外阅读图书数量达到 5 本以上（含 5 本）的学生的占比，即可求解．
【详解】（1）解：根据统计图可知：课外阅读图书数量为 3 本的人数最多，则被调查的 20 名学生课外阅读
图书数量的众数为 3 本，
课外阅读图书数量从小到大排列，第 11，12 名学生的课外阅读图书数量为：4，4，则中位数为4+4 = 4 本，
2
平均数为： 1 1 × 1 + 2 × 2 + 3 × 6 + 4 × 5 + 5 × 3 + 6 × 3 = 3.8（本）；
20
（2）解：400 × 6 = 120（人），
20
答：估计七年级获得表彰的学生人数为 120 人．
知识总结
① 众数是出现次数最多的数据；中位数是将数据排序后位于中间位置的数；平均数是所有数据之和除以数据个数。② 样本估计总体时，用样本中某类比例乘以总体容量。③ 注意统计图横纵坐标代表的含义。 22．为促进学生营养均衡，学校在午餐时为学生提供了三种粗粮：A．红薯，B．玉米，C．山药，每名学 生随机选择其中一种．
小慧选择玉米的概率是；
请用画树状图或列表的方法，求小慧和小敏选择不．同．品种粗粮的概率．
命题透视
核心考点：画树状图或列表法求概率
命题分析：
情境创设：以学校午餐选择粗粮为实际情境，两位学生随机选择品种。
问题设计：第（1）问直接用概率公式求单人选中某品种的概率；第（2）问要求用树状图或列表法求两人选择不同品种的概率。
考查目标：考查数据观念，要求学生能列举所有等可能结果并计算概率。
答案与解析
【答案】(1)1
3
(2)2
3
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解： 由题意可知，共有 3 种等可能的选择结果，小慧选择玉米的结果只有 1 种
因此小慧选择玉米的概率为1；
3
（2）解：画树状图为：
由树状图可知一共有 9 种等可能性的结果，其中小慧和小敏选择不同品种粗粮的结果有 6 种，
∴小慧和小敏选择不同品种粗粮的概率是6 = 2．
93
知识总结
① 概率=所求事件发生的结果数/所有可能结果数。② 两步试验常用列表法或树状图列举。③ 区分 “相同”与“不同”对应的结果数。
用甲、乙两种型号的机器人搬运货物．已知乙型机器人比甲型机器人搬运效率高 50%，且乙型机器人搬运 1500kg 货物比甲型机器人搬运 1200kg 货物少用 10 分钟．求这两种机器人每分钟分别搬运多少货物．
命题透视
核心考点：分式方程应用（工程效率问题）
命题分析：
情境创设：以甲、乙两种型号机器人搬运货物为科技应用情境。
问题设计：题目给出效率关系与时间差，要求列分式方程求解两种机器人每分钟搬运货物的数量，需检验解的合理性。
考查目标：考查模型观念与运算能力，要求学生能将工程效率问题转化为分式方程。
答案与解析
【答案】甲型机器人每分钟搬运 20kg 货物，乙型机器人每分钟搬运 30kg 货物
【分析】设甲型机器人每分钟搬运kg 货物，根据效率关系表示出乙型机器人的搬运效率，再结合题目给出的时间差关系列分式方程求解，最后检验得到结果．
【详解】解：设甲型机器人每分钟搬运kg 货物，根据题意，乙型机器人效率比甲型高 50%，
∴乙型机器人每分钟搬运 1 + 50% = 1.5 kg ，
∴甲型搬运 1200kg 货物的时间为1200分钟，乙型搬运 1500 kg 货物的时间为1500分钟，
1.5
∵乙型搬运比甲型少用 10 分钟，
∴1200 − 1500 = 10
1.5
200 = 10
解得 = 20，
经检验， = 20 是原方程的解，
∴1.5 = 1.5 × 20 = 30（千克），
答：甲型机器人每分钟搬运 20kg 货物，乙型机器人每分钟搬运 30kg 货物．
知识总结
① 工程问题基本关系：工作量=工作效率×工作时间。② 分式方程解完后必须检验，确保分母不为零且符合实际意义。③ 注意单位统一。
如图，在▱?中，是?的中点．分别延长 ，? 交于点，连接?，．
求证：四边形?是平行四边形；
(2)若 = 8，∠ = 90°，求四边形?的周长．
命题透视
核心考点：平行四边形的判定与性质
命题分析：
情境创设：以平行四边形中延长线交点为几何情境。
问题设计：第（1）问证明四边形为平行四边形；第（2）问在给定边长与角度条件下求平行四边形周长。
考查目标：考查推理能力与几何直观，要求学生熟练运用平行四边形性质与判定。
答案与解析
【答案】(1)证明：∵四边形?是平行四边形，
∴ ∥ ?，即 ∥ ?，
∴∠ = ∠?，∠ = ∠?，
∵是?的中点，
∴ = ?，
在△ 与△ ?中，
∠ = ∠?
∠ = ∠? ，
= ?
∴△ ≌△ ? AAS ，
∴ = ?，又∵ ∥ ?，
∴四边形?是平行四边形
(2)16
【分析】（1）由四边形?是平行四边形得 ∥ ?，进而推出两组内错角相等，再结合是?中点即 =
?，证明△ ≌△ ? AAS ，得 = ?，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可证明四边形?是平行四边形；
（2）由四边形?是平行四边形得? = ，结合（1）中 = ?得? = ?，即?为中点，由此求出?，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出?，最后根据平行四边形周长公式计算四边形?的周长即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵四边形?是平行四边形，
∴? = ，
由（1）得 = ?，
∴? = ?，即?为的中点，
∵ = 8，∠ = 90°，
∴? = 1 = 4，? = 1 = 4，
2
2
∵四边形?是平行四边形，
∴四边形?的周长= 2 + ? = 2 × 4 + 4 = 16．
知识总结
平行四边形判定：两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分。
平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分。③ 求周长常需先求出边长。
“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试．
【数据收集】下表是测试所得的数据：
根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点．
【数学表达】
行车速度
（km h）
40
45
55
70
80
100
视野角度
（度）
100
89
73
57
50
40
请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（kmℎ）之间关系的函数表达式．
【问题解决】
在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于 80 度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？
命题透视
核心考点：反比例函数模型、描点作图与不等式应用
命题分析：
情境创设：以汽车驾驶员视野角度与行车速度关系的测试研究为交通安全情境。
问题设计：第（1）问根据表格数据描点连线；第（2）问判断函数关系并写出近似表达式；第（3）问根据视野角度要求求速度控制范围。
考查目标：考查模型观念与应用意识，要求学生能根据实测数据建立反比例函数模型并解决实际问题。
答案与解析
【答案】(1)
(2) = 4000 > 0
(3)车辆的行驶速度应控制在不超过 50km/h，即 0 < ≤ 50km/h
【分析】（1）根据表格数据在坐标系中描出对应点，按自变量从小到大的顺序用平滑曲线顺次连接各点即可；
观察数据得行车速度与视野角度的乘积近似为定值 4000，判断为反比例函数，写出近似函数表达式并标注自变量取值范围即可；
根据视野角度的要求列不等式，代入反比例函数解析式，结合实际意义求解，即可得到行驶速度的控
制范围．
【详解】（1）略
（2）解：观察表格数据，每组行车速度 v 与视野角度的乘积近似等于 4000，符合反比例函数的特征，因
此近似函数表达式为： = 4000 > 0 ；
（3）解：由题意，要求视野角度不小于 80 度，即 ≥ 80，代入函数表达式得：
4000 ≥ 80，
因为行车速度 > 0，不等式两边同时乘，不等号方向不变： 4000 ≥ 80，
解得 ≤ 50，
结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过 50km/h，即 0 < ≤ 50km/h．
知识总结
① 判断函数关系可计算各组数据的乘积是否近似为常数，若近似为常数则为反比例函数。② 描点作图需按自变量从小到大顺次连接。③ 实际问题中需注意自变量取值范围与实际意义。
如图，在△ ?中，∠? = 90°，∠? > ∠?．以边上的点为圆心，长为半径的⊙ 与?
边的另一交点为，为⊙ 的切线．
请用无刻度的直尺和圆规作出符合条件的⊙ （保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
(2)若? = 4，tan∠? = 1，求⊙ 的半径．
2
命题透视
核心考点：尺规作图、切线判定与勾股定理
命题分析：
情境创设：以圆中尺规作图并证明切线为几何情境。
问题设计：第（1）问要求用无刻度直尺和圆规作出满足条件的圆并保留痕迹；第（2）问在给定边长条件下求圆的半径。
考查目标：考查几何直观与推理能力，要求学生掌握尺规作图步骤与切线判定方法。
答案与解析
【答案】(1)解：⊙ 如下图所示．
作法：（1）作∠? = ∠，边交?于点；
（2）作的垂直平分线?，交于点；
（3）连接，则 = ；（4）以为半径作⊙ ．
(2)3 5
4
【分析】（1）先作∠? = ∠交?于点，再作的垂直平分线，交于点，以为半径作⊙ 即可；
（2）由已知条件先求?，进一步可求?长度，长度，?, ?均可求，最后借助勾股定理可求半径
长度．
【详解】（1）作图见答案，证明：∵ ∠? = 90°，
∴ ∠? + ∠? = 90°，
∵ ?为垂直平分线，
∴ = ，
∴ ∠ = ∠，
∵ ∠? = ∠，
∴ ∠ = ∠?，
∴ ∠ + ∠? = 90°，
∴ ∠ = 90°，
∴ ⊥ ，
∵ 为⊙ 半径，点在圆上，
∴ 为⊙ 切线．
（2）∵ ? = 4, tan∠? = 1，
2
4
即⊙ 半径为3 5．
164
45 = 3 5，
416
9 + 9 =
4
2
3 2 + 3 2 =
∴ =
4
∴ ? = 3，
?2
∵ tan∠? = ? = 1，
2
∴ ? = ? = 3，
∴ ? = 1，
∴ = 3，
?2
∴ ? = 1，
2
∴ tan∠? = tan∠? = 1，
∴ ? = 2，
∵ ∠? = ∠，
?42
∴ tan∠? = ? = ? = 1，
知识总结
① 尺规作图需保留痕迹并写出简要作法。② 切线判定：连半径，证垂直。③ 求半径常构造直角三角形，利用勾股定理列方程。
如图 1，在边长为 1 的正方形?中，E 是边上的动点（不与点 A，D 重合）．将△ 沿翻折，得到△ ?．过点 F 作? ⊥ ，? ⊥ ?，垂足分别为 M，N．
如图 2，若? = ?，求? + ?的值；
如图 3，若 E 为中点，则?的长为，?的长为；
求点 E 运动过程中? + ?的最大值．
命题透视
核心考点：正方形折叠、相似三角形与最值
命题分析：
情境创设：以正方形中沿某线折叠为几何变换情境。
问题设计：题目分三问：第（1）问在特殊角度下求比值；第（2）问在 E 为中点时求两条线段长；第（3）问求某线段长度的最大值，需综合利用折叠对称性、相似与二次函数最值。
考查目标：考查推理能力与几何直观，要求学生能在折叠变换中保持对应关系，并通过相似与函数求最值。
答案与解析
2
2
∠?? = 30°，进而可得? = 1 ? = 1，即可求出? + ?的值；
【分析】（1）根据翻折可得∠ = ∠?，根据角平分线定理可得?平分∠?，可得∠ = ∠? =
8
(3)9
55
(2) 5，3
【答案】(1)1
根据翻折可得△ ≌△ ?，计算直角三角形斜边上的高，根据等面积法△? = 1 ⋅ ? = 1 ? ⋅
22
?计算即可，再证得四边形??为矩形，△ ?? ∽△ ?，得到? = ?? = ?，即可解出?的长；
??
如图，延长?交于?，连接，证明△ ?? ∽△ ，得到?? = ?，设? = ，? = ，表示
出，??，?，然后代入求出 =− 22 + 1，然后表示出? + ?后利用二次函数的性质求解．
【详解】（1）解：∵? ⊥ ，? ⊥ ?，且? = ?，
∴?平分∠?，
∴∠? = ∠??，
∵△ 沿翻折得到△ ?，
∴∠ = ∠?，
∴∠ = ∠? = ∠??，
∵∠ + ∠? + ∠?? = ∠? = 90°，
∴3∠ = 90°，
∴∠ = ∠?? = 30°，在 Rt △ ?中，? = 1，
∴? = 1 ? = 1，
22
又∵? = ?，
∴? + ? = 1 + 1 = 1；
22
解：延长?交于?，
∵正方形?的边长为 1，且 E 为中点，
∴ = 1， = 1 = 1， ∥ ?，∠ = ∠ = ∠? = 90°，
22
∵△ 沿翻折得到△ ?，
∴△ ≌△ ?，
∴ = ? = 1， = ? = 1，∠? = ∠ = 90°，
2
在 Rt △ 中， = 2 + 2 =1
2
2 + 12 = 5，
2
∵? ⊥ ，
∴△? = 1 ⋅ ? = 1 ? ⋅ ?
22
∴1 × 1 = 5 × ?
22
∴? = 5，
5
∵? ⊥ ?， ∥ ?，
∴?? ⊥ ，
∴∠?? = ∠? = ∠? = 90°，
∵∠ = ∠? = 90°，
∴四边形??为矩形，
∴? = ?, ? = ? = 1，
∴∠?? + ∠? = 90°, ∠? + ∠? = 90°，
∴∠?? = ∠?，
∴△ ?? ∽△ ?，
∴? = ?? = ?，
??
设 = ，则? = 1 − , ? = 1 − 1 − = − 1，
1
∴ 2 =
1
??
22
−1
= 2，
?
∴?? = 1 , ? = 2 − 1
= 2 − 1，
22
∵?? + ? = ? = 1，
∴2 − 1 + 1 = 1，
2
解得 = 4，
5
∴? = 2 × 4 − 1 = 3；
55
解：如图，延长?交于?，连接
8
4
∴当 = 1时，? + ?取得最大值9．
∵−2 < 0
48
∴? + ? = + = − 22 + 1 =− 2 − 1 2 + 9
整理得， =− 22 + 1
1
∴1− = 2
设? = ，? =
∴ = ? = ，?? = ? − ? = 1 − ，
∴? = + ? = 2
∴?? = ?
由翻转得，点 A，M，F 三点共线，
∴∠ = 90°
由（2）得，?? ⊥
∴∠?? = 90° = ∠
∴∠?? + ∠?? = 90°
∵∠ = 90°
∴∠?? + ∠ = 90°
∴∠?? = ∠
∴△ ?? ∽△
知识总结
① 折叠是一种轴对称变换，对应线段相等、对应角相等。② 正方形中常构造“一线三垂直”相似模型。③ 求最值常将目标线段表示为变量的函数，利用二次函数性质求解。
28．在平面直角坐标系中，已知抛物线 = 2 + + 1 经过点2,1和4, − 7．
求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点坐标．
抛物线上有两动点 M，N，横坐标分别为 m，n（ < ），记抛物线在 M，N 之间的部分（包括 M，N 两点）为图象 G．过图象 G 的左右两端 M，N 分别作 x 轴的垂线，过图象 G 的最高点和最低点分别作 y 轴的垂线，四条直线围成的矩形记为矩形 R．
①若 =− 2，矩形 R 的垂直高度ℎ = 9，则矩形 R 的水平宽度 p 的取值范围是；
②若矩形 R 的水平宽度 = 5，则矩形 R 的垂直高度 h 的取值范围是；
③若矩形 R 为正方形且边长为 3，求点 M 的坐标．
命题透视
核心考点：二次函数表达式、动点矩形与分类讨论
命题分析：
情境创设：以抛物线上两动点之间图象构造“矩形 R”为新定义情境。
问题设计：第（1）问用待定系数法求抛物线表达式及顶点坐标；第（2）问分三小问，分别探究矩形水平宽度、垂直高度及正方形条件下的点坐标，需要进行多情况分类讨论。
考查目标：考查创新意识与推理能力，要求学生能理解新定义、将矩形几何条件转化为代数方程并分类讨论。
答案与解析
【答案】(1)抛物线的函数表达式为 =− 2 + 2 + 1，顶点坐标为 1,2
(2)①3 ≤ ≤ 6 ②ℎ ≥ 25
4
③点 M 的坐标为 1 − 3, − 1 或 −2 + 3, 6 3 − 10
【分析】（1）将点 2,1 和 4, − 7 分别代入 = 2 + + 1，即可求得抛物线的表达式，再将抛物线的表达式转换为顶点式即可得出顶点坐标；
（2）①根据题意知点 , − 2 + 2 + 1 ，可得 −2, − 7 ，再分当点 N 在点 M 上方的抛物线上时，当点
N 在点 M 下方的抛物线上时，两种情况分别求得矩形宽度的最小、最大值即可得出取值范围；
②根据题意得到矩形 R 的垂直高度 h 取最小值时，点, 关于抛物线对称轴直线 = 1 对称，再由矩形 R 的
水平宽度 = 5，得 =− 3，进而得 − 3 , − 17
，可得矩形 R 的垂直高度 h 的取值范围；
224
③根据题意设 , − 2 + 2 + 1 ，则 + 3, − 2 − 4 − 2 ，然后，再分四种情况：第一种情况：当
+ 3 ≤ 1，即 ≤− 2 时，
< 1 < + 31 < 1 < + 31
第二种情况：当
++3 ≤ 1，即−2 < ≤− 2时，第三种情况：当 2
++3 > 1，即− 2 < < 1
2
时，第四种情况：当 ≥ 1 时，分别进行分类讨论，最后得出结论即可．
【详解】（1）解：将点 2,1 和 4, − 7 分别代入 = 2 + + 1，得
4 + 2 + 1 = 1
16 + 4 + 1 =− 7
，解得 =− 1 ，
= 2
∴抛物线的函数表达式为 =− 2 + 2 + 1，
∵ =− 2 + 2 + 1 =− − 1 2 + 2，
∴它的顶点坐标为 1,2 ；
（2）①解：根据题意知点 , − 2 + 2 + 1 ，
当 =− 2 时， =− 2 + 2 + 1 =− −2 2 + 2 × −2 + 1 =− 7，
∴ −2, − 7 ，
当点 N 在点 M 上方的抛物线上时，
∵矩形 R 的垂直高度ℎ = 9，
∴−7 + 9 = 2，
∴点 N 的纵坐标为 2，即 1,2 ，此时，矩形宽度的最小值为 1 − −2 = 3；
当点 N 在点 M 下方的抛物线上时，
∵矩形 R 的垂直高度ℎ = 9，
∴2 − 9 =− 7，
当 =− 7 时，− 2 + 2 + 1 =− 7，解得 =− 2(舍去)或 = 4，
∴ 4, − 7 ，此时，矩形宽度的最大值为 4 − −2 = 6．综上，矩形 R 的水平宽度 p 的取值范围是 3 ≤ ≤ 6 ；
②解：根据题意知，矩形 R 的垂直高度 h 取最小值时，点, 关于抛物线对称轴直线 = 1 对称，
∵矩形 R 的水平宽度 = 5，
∴ = 1 − 5 =− 3，
22
当 =− 3时， =− 2 + 2 + 1 =− − 3
2 + 2 × − 3
+ 1 =− 17，
2
∴ − 3 , − 17 ，
224
24
∴ℎ = 2 −
− 17 = 25，
44
∴矩形 R 的垂直高度 h 的取值范围是ℎ ≥ 25；
4
③解：根据题意设 , − 2 + 2 + 1 ，则 + 3, − 2 − 4 − 2 ，
第一种情况：当 + 3 ≤ 1，即 ≤− 2 时，ℎ = − = − 2 − 4 − 2 − − 2 + 2 + 1 =− 6 − 3 = 3，
∴ =− 1(舍去)；
< 1 < + 3
第二种情况：当，即−2 < ≤− 1时，ℎ = 2 − = 2 − − 2 + 2 + 1 = 2 − 2 + 1 =
++3 ≤ 1
2
2
3，
∴ = 1 − 3或 = 1 + 3(舍去)，
当 = 1 − 3时，− 2 + 2 + 1 =− 1 − 3 2 + 2 × 1 − 3 + 1 =− 1，
∴ 1 − 3, − 1 ；
< 1 < + 3
第三种情况：当，即− 1 < < 1 时，ℎ = 2 − = 2 − − 2 − 4 − 2 = 2 + 4 + 4 = 3，
++3 > 1
2
2
∴ =− 2 + 3或 =− 2 − 3(舍去)，
当 =− 2 + 3时，− 2 + 2 + 1 =− −2 + 3 2 + 2 × −2 + 3 + 1 = 6 3 − 10，
∴ −2 + 3, 6 3 − 10 ；
第四种情况：当 ≥ 1 时，ℎ = − = − 2 + 2 + 1 − − 2 − 4 − 2 = 6 + 3 = 3，
∴ = 0(舍去)；
综上，点 M 的坐标为 1 − 3, − 1 或 −2 + 3, 6 3 − 10 ．
知识总结
① 待定系数法求抛物线表达式：代入已知点坐标列方程组。② 矩形高度与宽度用纵坐标差与横坐标差表示。③ 正方形条件即相邻边相等，需结合点 M、N 相对位置分情况讨论。④ 注意抛物线开口方向与对称轴对最值位置的影响。