2026年中考数学真题完全解读（江苏省苏州卷）

这是一份2026年中考数学真题完全解读（江苏省苏州卷），共9页。试卷主要包含了15 等内容，欢迎下载使用。

试题分析
2026 年江苏省苏州市中考数学试卷整体难度适中，延续苏州卷“基础扎实、能力分层、素养导向”的命
题风格。全卷共 27 题，考试时间 120 分钟，总分 130 分；其中选择题 8 题（24 分）、填空题 8 题（24
分）、解答题 11 题（82 分）。试卷在题型结构、分值比例上保持稳定，基础题占比超过六成，中档题与压轴题梯度明显。数与式、函数、图形的性质三大模块分值接近，统计与概率稳定在第 4 、11 、20 、22 题， 综合实践意识在第 14 、20 、24 、26 题中均有渗透。整卷注重对运算能力、推理能力、几何直观与模型观念的考查，尤其第 8、15 、16、25 、26、27 题需要学生在熟悉知识方法的基础上进行转化、构造与分类讨论。
试题亮点
苏州元素与人文情境有机融入，彰显江南文化育人底色：第 2 题以苏州市统计局公布的常住人口约 1305
万人为素材，考查科学记数法；第 14 题以苏州园林中的“月洞门”为背景，将“框景”美学抽象为圆与垂径定
理问题；第 20 题以学校团委“青春荟萃·追光少年”红色主题活动为情境设置概率问题。三题分别对应数据意识、几何直观与随机观念，体现数学与本土文化、时代主题的结合。
函数主线贯穿中高档题，数形结合与分类讨论要求更高：第 8 题在矩形动点情境下利用相似三角形建立
二次函数模型求最值；第 15 题将抛物线与正方形性质结合，考查二次函数图象特征；第 23 题把一次函数
与反比例函数置于同一坐标系，通过等腰直角三角形条件确定点的坐标；第 26 题以道路红绿灯为背景，建
立不等式组分析车辆能否连续通过路口；第 27 题新定义“吸收函数”，将二次函数与一次函数叠加，考查函数最值、图象交点与面积问题。函数思想成为贯穿全卷的核心工具。
几何推理稳中有新，传统文化与物理情境拓宽考查视角：第 5 题结合平行线与三角形外角定理；第 13 题
以尺规作垂直平分线为基础，融合直角三角形斜边中线与勾股定理；第 21 题在平行四边形中嵌入解直角三
角形求面积；第 24 题以光的反射定律为情境，通过等边三角形与解直角三角形分析光点移动距离；第 25题围绕圆的切线、相似三角形与三角函数展开多方法探究。几何题既保持传统证明与计算，又引入物理光学情境，拓展了学生的建模视野。
命题趋势
苏州地方情境与人文素材将持续入题，应用意识考查常态化：第 2 题引用苏州市常住人口数据、第 14 题
以苏州园林月洞门为原型、第 20 题取材学校红色主题活动，均体现命题对本土素材的偏好。未来苏州卷仍将选取具有城市辨识度或时代背景的素材，引导学生在真实情境中提取数量关系、建立数学模型。
函数与几何深度融合，中高档题成为区分主战场：第 8 、15 、23 、26 、27 题均涉及函数与几何的综合，其中第 27 题“吸收函数”新定义、第 26 题红绿灯不等式组、第 15 题抛物线与正方形综合，要求学生既能进行代数运算，又能结合图形性质进行分类讨论。预计函数与几何交叉题目将继续占据压轴与次压轴位置。
传统文化与跨学科情境拓宽命题视野，综合实践比重可能提升：第 7 题《九章算术》“雀燕集称之衡”、
第 14 题苏州园林月洞门、第 24 题光的反射定律，分别融合数学文化、地方建筑与物理光学。未来试卷可能进一步增加传统文化、科技成就、地方产业等跨学科素材，考查学生将陌生情境转化为数学问题的能力。
基础题“送分到位”但概念理解要求更深，反套路设计值得警惕：第 1 题相反数、第 3 题长方体展开图、
第 9 题二次根式有意义等题看似常规，但第 6 题平方差公式与不定方程结合、第 12 题分式条件求值需要整
体代入、第 18 题不等式组求解需细致处理边界，均体现“基础题不基础”的倾向。备考应回归概念本质，避免机械刷题。
考点细目表
题号
题型
分值
具体考点
关键能力
1
单选
3
数与式→有理数→相反数的
概念
运算能力
2
单选
3
数与式→科学记数法→大数的科学记数
法表示
运算能力、数据观念
3
单选
3
图形的性质
→立体图形与展开图→长方体表面展
开图判断
空间观念、几何直观
4
单选
3
统计与概率
→数据的集中趋势→平均数的计算与应用
运算能力、数据观念
5
单选
3
图形的性质
→平行线与三角形→平行线性质与三角形外角定
理
推理能力、几何直观
6
单选
3
数与式→因式分解→平方差公式与不定
分析
运算能力、推理能力
7
单选
3
方程与不等式→二元一次方程组→古代数学问题中的方程组建
模
模型观念、运算能力
8
单选
3
函数→二次函数的应用→相似三角形与二次函数最
值
推理能力、几何直观
9
填空
3
数与式→二次根式→二次根式有意义的
条件
运算能力
10
填空
3
函数→一次函数→一次函数图象上点的
坐标特征
运算能力
11
填空
3
统计与概率
→概率→可能性大小与简
单概率
数据观念
12
填空
3
数与式→分式与代数式求值→整体代入法求代数式
的值
运算能力
13
填空
3
图形的性质
→三角形与尺规作图→垂直平分线、直角三角形斜
边中线与勾
推理能力、几何直观
股定理
14
填空
3
图形的性质
→圆→垂径定
理与勾股定理的应用
模型观念、几何直观
15
填空
3
函数→二次函数综合→抛物线与正方形
性质综合
推理能力、几何直观
16
填空
3
图形的变化
→ 图形的对称与最值→等边三角形折叠与线段最
值
推理能力、几何直观
17
解答
5
数与式→实数运算→实数的
混合运算
运算能力
18
解答
5
方程与不等式→一元一次不等式组→解一元一次不
等式组
运算能力
19
解答
6
数与式→整式与分式的化简→先化简再
求值
运算能力
20
解答
6
统计与概率
→概率→列表
法或树状图求概率
数据观念、模型观念
21
解答
6
图形的性质
→平行四边形与解直角三角形→平行四边形的判定与性质、解
直角三角形
推理能力、几何直观
22
解答
8
统计与概率
→统计图表与数据分析
→频数分布
表、扇形统计图与样本估
数据分析、数据观念
考点模块占比分析
数与式模块（约 26%，34 分）：含方程与不等式，重点考查第 1 、2、6 、7 、9、12、17、18、19 题，涵盖相反数、科学记数法、二次根式、分式化简、实数运算、解不等式组等核心内容，体现对基础运算能力与概念理解的重视。
函数模块（约 28%，37 分）：重点考查第 8 、10 、15、23、26、27 题，覆盖一次函数、反比例函数、二次函数及其综合应用，最值问题、新定义“吸收函数”与红绿灯方案选择均体现函数建模与数形结合思想。
计总体
23
解答
8
函数→一次函数与反比例函数→一次函数与反比例函数综合、等腰直角三角
形
推理能力、几何直观
24
解答
8
图形的性质
→三角形与三角函数→等边三角形判定、光的反射定律与解直
角三角形
模型观念、几何直观
25
解答
10
图形的性质
→圆的综合→圆的切线、相似三角形与锐角三角函
数
推理能力、几何直观
26
解答
10
函数→一次函数与不等式应用→一次函数模型、不等式组与方案
选择
模型观念、应用意识
27
解答
10
函数→二次函数新定义
→“ 吸收函数”新定义、二次函数最值与
面积问题
创新意识、推理能力
图形的性质模块（约 28%，36 分）：重点考查第 3、5 、13、14、21、24、25 题，涉及长方体展开图、平行线与三角形、垂直平分线、圆与垂径定理、平行四边形、解直角三角形与圆的综合，强调几何推理与空间想象。
图形的变化与综合实践模块（约 2% ，3 分）：主要考查第 16 题等边三角形折叠中的轴对称变换与线段最值；第 14 、24 、26 、27 题虽以地方文化、物理光学、交通信号、新定义为情境，但核心求解仍以几何或函数为主，综合实践意识贯穿其中。
统计与概率模块（约 15% ，20 分）：重点考查第 4 、11 、20、22 题，包括平均数、可能性大小、列表法或树状图求概率、频数分布表与扇形统计图分析，突出数据观念与样本估计总体的统计思想。
核心复习策略
回归教材，夯实数与式、方程不等式基础
系统梳理有理数、实数、整式、分式、二次根式的概念与运算法则，确保第 1 、9 、12、17 、19 题等基础题得分稳定。
强化一元一次不等式组、二元一次方程组的解法训练，特别关注含参数与边界条件的处理，提升第 7、 18 题的准确性。
强化函数主线，提升数形结合与建模能力
将一次函数、反比例函数、二次函数的图象性质、最值问题与几何图形结合训练，重点突破第 8 、15、
23、26、27 题。
通过新定义、实际情境题培养“翻译”能力，学会把文字信息、图象信息转化为函数关系式或不等式组。
重视几何推理，积累常用辅助线与模型
归纳平行线、三角形、四边形、圆中的常用性质与判定，熟练运用相似、全等、勾股定理、三角函数解决第 13、14、21、24、25 题。
针对折叠、旋转、最值、新情境几何题进行专题训练，培养“遇折思对称、遇圆思半径与切线、遇最值思函数或轨迹”的解题直觉。
避坑提醒（考试最易踩的雷）
×只刷难题忽视基础：基础题失分最不划算。
×只背模板不理解原理：新情境下必须依靠理解迁移。
×做题不复盘：错题复盘的价值远大于机械刷题。
×表达不规范：步骤、依据、单位或答语缺失都会造成失分。
单选题
．−2的相反数为()
A．2B ．−2C．D ．−
命题透视
核心考点： 相反数的概念
命题分析：
情境创设：以具体数字为背景，直接考查相反数的定义，属于纯数学概念情境。
问题设计：题目给出单一数字，要求判断其相反数，选项设置围绕符号变化展开，考查学生对概念的精确理解。
考查目标：考查学生对相反数概念的记忆与直接应用，属于基础层次的信息提取与运算能力。
答案与解析
【答案】A
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可直接得出结果.
【详解】解： —2的相反数是2.
知识总结
① 核心概念：只有符号不同的两个数互为相反数，0 的相反数是 0。② 解题方法：求一个数的相反数，只需改变其符号。③ 易错点：不要与倒数、绝对值混淆。
．根据苏州市统计局公报显示，截止 2025 年末，苏州市常住人口约 1305 万人，比上年末增长0.5% ，常住人口城镇化率达82.9% ，比上年提高0.2 个百分点．数据“13050000 ”用科学记数法可表示为()
A ．1.305 × 106B ．13.05 × 106C ．1.305 × 107D．13.05 × 107
命题透视
核心考点： 科学记数法
命题分析：
情境创设：以苏州市统计局公布的常住人口数据为情境，将地方统计公报中的大数抽象为数学问题。
问题设计：给出带单位“万人”的实际数据，要求用科学记数法表示，考查单位换算与科学记数法的规范表达。
考查目标：考查数据观念与运算能力，要求学生能从真实数据中提取有效数字并正确表示。
答案与解析
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为 × 10 ，其中1 ≤< 10 ，n 为整数，确定 a 和 n 的值即可求解．
【详解】解：数据“13050000”用科学记数法可表示为1.305 × 107．
知识总结
① 科学记数法形式为 a×10^n，其中 1≤|a|＜10，n 为整数。② 大数表示时 n 等于整数位数减 1；含单位时先统一单位。③ 注意保留有效数字，避免将“万人”误作个位处理。
．下列硬纸片可以沿虚线折叠成长方体纸盒的是()
A．B．
C．D．
命题透视
核心考点： 长方体表面展开图
命题分析：
情境创设：以硬纸片折叠成长方体纸盒为操作性情境，考查空间想象能力。
问题设计：给出四个平面图形，判断哪一个能沿虚线折叠成长方体，选项设置典型，要求学生识别相对面与相邻面的位置关系。
考查目标：考查空间观念与几何直观，要求学生能在平面展开图与立体图形之间建立联系。
答案与解析
【答案】B
【详解】解：选项 A，C ，D 都不能折叠成长方体盒子，选项 B 可以折叠成长方体盒子．
知识总结
① 长方体展开图共 11 种基本类型，判断关键是“相对面不相邻，相邻面共棱”。② 常用方法：想象折叠过程，或寻找“ 田”“凹”等不能折叠的结构。③ 可借助实际剪纸模型加深理解。
一组数据2 ， ，3 ，3 ，5 的平均数为3 ，则 的值为()
A．5B ．4C ．3D．2
命题透视
核心考点： 平均数的计算
命题分析：
情境创设：以一组含未知数的数列为背景，通过平均数条件建立方程。
问题设计：题目给出数据与平均数，要求反求未知数的值，属于平均数定义的逆用。
考查目标：考查运算能力与数据观念，要求学生能根据平均数公式列方程求解。
答案与解析
【答案】D
【分析】本题考查平均数的基础计算，根据平均数的定义列出关于的一元一次方程，解方程即可得到结果．
【详解】解：∵ 这组数据共5 个，平均数为3 ，
∴ 这组数据的总和为 5 × 3 = 15 ，
可得方程 2 ++ 3 + 3 + 5 = 15 ，
化简得 13 += 15 ，解得= 2．
知识总结
① 平均数公式：x̄=(x1+x2+…+xn)/n。② 已知平均数求未知数据时，常先求总和，再列方程。③ 注意数据个数，避免漏加或重复。
5 ．如图， △ 中，∠ = 55° , ∠ = 65°,延长至 D ，过 C 作 ∥ ,则∠的度数是()
A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°
命题透视
核心考点： 平行线性质与三角形外角定理
命题分析：
情境创设：以三角形一边延长后作平行线为几何情境，考查角度计算。
问题设计：题目给出三角形内角与平行线条件，要求求出某角的度数，需综合运用平行线性质与外角定理。
考查目标：考查推理能力与几何直观，要求学生能识别平行线带来的同位角、内错角关系。
答案与解析
【答案】C
【分析】根据平行线的性质求出∠= 55°,然后根据∠= 180° — ∠— ∠求解即可.
【详解】解：∵∠ = 55°,∥,
∴∠= ∠ = 55°,
又∠= 65°,
∴∠= 180° — ∠— ∠= 60°.
知识总结
① 两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。② 三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和。③ 角度计算常需设未知数，利用等量关系求解。
6 ．若( + 4)2 −1 = ( + )( + )，其中 > ，则−的值为()
A ． 1B．2C．3D．4
命题透视
核心考点： 平方差公式与因式分解
命题分析：
情境创设：以等式左边因式分解后对比右边形式为纯数学情境。
问题设计：题目给出 a²-b²=ma+nb 型等式，要求学生通过平方差公式分解后比较系数，确定 m、n 的值。
考查目标：考查运算能力与推理能力，要求学生能灵活运用公式并进行系数比较。
答案与解析
【答案】B
【分析】先对等式左边用平方差公式因式分解，对比右边的因式形式，结合 > 得到 和 的值，即可计算出 — 的结果．
【详解】解：( + 4)2 — 12 = [( + 4) — 1][( + 4) + 1] = ( + 3)( + 5)
又∵( + 3)( + 5) = ( +)( + )，且 > ，
∴= 5， = 3，
∴—= 5 — 3 = 2．
知识总结
① 平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。② 多项式恒等对应项系数相等。③ 注意符号与系数化简，避免漏项。
7 ．《九章算术》中有一道“雀燕集称之衡”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问雀、燕一枚各重几何？”题意是：现有 5 只雀，6 只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重．聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻．若将其中 1 只雀和 1 只燕互换位置，则二者轻重
相同．已知 5 只雀和 6 只燕总重 1 斤（注：中国古代 1 斤 = 16两）．则 1 只雀和 1 只燕分别重多少？若假设每只雀、燕的重量分别为 x，y 两，根据题意，可列出的方程组为( )
4 + = 5 +
5 + = 6 +
4 += 5 +
5 + 6 = 165 + 6 = 16+= 16
.
D5 + = 6 +
+= 16
命题透视
核心考点： 二元一次方程组的应用
命题分析：
情境创设：以《九章算术》中“雀燕集称之衡”为数学文化情境，体现中国古代数学成就。
问题设计：题目给出雀燕重量、互换后平衡、总重三个条件，要求学生设未知数并列出二元一次方程组。
考查目标：考查模型观念与运算能力，要求学生能从古题中提取两个等量关系。
答案与解析
【答案】A
【分析】只需从题干提取两个等量关系，结合单位换算列出方程即可得到答案．
【详解】解：设每只雀重量为 两，每只燕重量为 两
∵5 只雀和 6 只燕总重 1 斤，且 1 斤=16 两，
∴可得方程5 + 6 = 16
将 1 只雀和 1 只燕互换位置后，两边重量相等，此时一边为 4 只雀加 1 只燕，另一边为 5 只燕加 1 只雀，
∴可得方程 4 += 5 + ,
因此可列方程组为
知识总结
① 列方程组的关键是找两个独立等量关系。② 注意单位统一，题中 1 斤=16 两。③ 古代数学问题常需先“翻译”为现代数学语言。
如图，在矩形中， = 3 ， = 2 ，E 是边上的动点（点 E 在 A ，B 之间运动，不与 A ，B 重合），过 E 作的垂线交边于点 F，则 + 的最大值是()
A ．B ．3C．D．
∽△
∴=
∴= 2
∴=
∴+=+
= −
2 +
，
∵− < 0，0 < < 3，
∴当 = −
5
2
2 × −
= 时，+取得最大值，
将 = 代入+= −
2 +
得，(+)max = − ×+ ×=．
∴ △
= ∠= 90°−∠
∴∠
∴∠ = ∠ = 90°
∵⊥
是矩形，
∵四边形
【详解】解：设= ，则=−= 3−
，再由二次函数的性质求解即可．
2 +
= −
+=+
,表示出
∽△
【答案】C
【分析】设= ，则=−= 3− ,然后证明 △
命题透视
核心考点： 相似三角形与二次函数最值
命题分析：
情境创设：以矩形中动点 E、F 形成线段为几何情境，考查动态几何中的最值问题。
问题设计：题目设定动点 E 在 AB 上运动，过 E 作垂线交 CD 于 F，要求求出某线段乘积或长度的最大值，需通过相似建立函数关系。
考查目标：考查推理能力、几何直观与函数建模能力，要求学生能将几何动态问题转化为二次函数最值问题。
答案与解析
知识总结
① 识别相似三角形，利用对应边成比例建立函数关系。② 二次函数在闭区间上的最值需结合对称轴与自变量取值范围。③ 动点问题常设一个变量，用它表示其他相关线段。
填空题
9 ．若 −3有意义，则 的取值范围是．
命题透视
核心考点： 二次根式有意义的条件
命题分析：
情境创设：以二次根式为背景，直接考查被开方数的非负性。
问题设计：题目给出一个含字母的二次根式，要求确定字母的取值范围。
考查目标：考查运算能力，要求学生掌握二次根式有意义的条件。
答案与解析
【答案】 ≥ 3
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于 x 的一元一次不等式，求解即可得到 x
的取值范围．
【详解】解：∵二次根式有意义的条件为被开方数是非负数． −3有意义，
∴ −3 ≥ 0．解得 ≥ 3．
知识总结
① 二次根式 √a 有意义的条件是a≥0。② 若被开方数是代数式，则需解对应的不等式。③ 注意分母不能为零等附加限制。
点(−2,)在一次函数 = 2 + 1的图像上，则 a 的值为．
命题透视
核心考点： 一次函数图象上点的坐标特征
命题分析：
情境创设：以一次函数图象为背景，考查函数解析式与点坐标的关系。
问题设计：题目给出点在一次函数图象上，要求将横坐标代入解析式求参数 a 的值。
考查目标：考查运算能力，要求学生理解函数图象上的点满足函数解析式。
答案与解析
【答案】−3
【分析】点在一次函数图象上时，点的坐标满足函数解析式，将点 的横坐标代入函数解析式即可求出 的值．
【详解】解： ∵ 点 ( —2, )在一次函数 = 2 + 1的图象上，
∴ 将 = —2代入 = 2 + 1，得 = 2 × ( —2) + 1 = —4 + 1 = —3．
知识总结
① 函数图象上的点坐标满足函数解析式。② 已知横坐标可求纵坐标，反之亦然。③ 点在图象上是“代入等式成立”的等价条件。
一只不透明的袋子中装有 4 个白球、3 个黄球和 n 个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的可能性最小，n 的值可以是．（填写一个符合要求的正整数即可）
命题透视
核心考点： 可能性大小与简单概率
命题分析：
情境创设：以不透明袋子摸球为经典概率情境。
问题设计：题目给出白球、黄球、红球数量，要求确定使摸出红球可能性最小的正整数 n。
考查目标：考查数据观念，要求学生理解可能性大小与数量多少的关系。
答案与解析
【答案】1（答案不唯一）
【分析】根据可能性大小的判断规则，某种颜色球的数量越少，摸出该颜色球的可能性越小，因此要使摸出红球可能性最小，红球数量需小于袋中其他任一颜色球的数量，结合 n 为正整数即可求解．
【详解】解： ∵ 白球数量为4 ，黄球数量为 3 ，红球数量为 n，
∴ 要使摸出红球的可能性最小，需满足 < 3，又 n 是正整数，
∴ n 的值为 1 或 2（答案填写一个即可）．
知识总结
① 在总球数固定时，某种颜色球数量越少，摸出该球的可能性越小。② 要使红球可能性最小，需让红球数量小于其他各色球数量。③ 注意题目要求填写“一个”符合要求的值。
12 ．若2 + + 2 = 0，则代数式 + + 3的值为．
命题透视
核心考点： 整体代入法求代数式的值
命题分析：
情境创设：以分式等式为条件，求另一个代数式的值。
问题设计：题目先给出关于 x、y 的等式，再要求用整体代入法求目标代数式的值，避免分别求 x、y。
考查目标：考查运算能力，要求学生能观察式子结构，灵活运用整体代入。
答案与解析
【答案】2
【分析】本题先对已知等式变形，得到 +的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值．
【详解】解：2 ++ 2 = 0
可得：2 += —2
等式两边同乘 得： += —1 将 += —1代入 ++ 3得：原式 = —1 + 3 = 2．
知识总结
① 整体代入法：将已知等式变形后整体代入目标式。② 常用技巧：通分、倒数、齐次式化简。③ 不要盲目求解单个字母，先观察式子结构。
如图，Rt △ 中，∠ = 90°, = 6 ，分别以点 ，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点 ， ．过 ，两点作直线，分别交 ，于点 ，，连接 ．若 = 5，则 = ．
命题透视
核心考点： 垂直平分线 、直角三角形斜边中线与勾股定理
命题分析：
情境创设：以尺规作图（作垂直平分线）为背景，结合直角三角形进行线段计算。
问题设计：题目通过作图得到垂直平分线，要求学生利用垂直平分线性质、直角三角形斜边中线性质与勾股定理求线段长度。
考查目标：考查推理能力与几何直观，要求学生熟悉尺规作图的几何意义及相关性质。
答案与解析
【答案】
【分析】连接，由作图可得是的垂直平分线，则点 F 是
的中点， =
．根据直角三角形斜
边上中线的性质得到 = 2 = 10，由勾股定理求出 ， =
= ，在Rt △
中根据勾股定理构造
方程，求解即可．
【详解】解：连接，
由作图可得是的垂直平分线，
∴点 F 是的中点， = ，
∵∠ = 90°, = 5，
∴ = 2 = 10，
∴在Rt △ 中， = 2−2 = 102 −62 = 8．
设 = = ，则 = − = 8− ,
∵在Rt △
中，
2 +
2 =2，
∴62 + (8− )2 =
2，
解得 =
∴=．
知识总结
① 垂直平分线上的点到线段两端距离相等；其逆命题也成立。② 直角三角形斜边中线等于斜边的一半。
③ 勾股定理是求线段长度的核心工具，常通过设未知数列方程。
．苏州园林中的月洞门（如图①), 形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是 “圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由 ，线段 ， ，四部分构成， , 分别垂直于地面 ．经测量，该月洞门的最高点到地面的距离为21分米， = = 3分米，
= 12分米，则所在圆的半径为分米．
命题透视
核心考点： 垂径定理与勾股定理的应用
命题分析：
情境创设：以苏州园林月洞门为地方文化情境，将圆弧形门洞抽象为圆与弦的问题。
问题设计：题目给出月洞门的最高点到地面距离、相关线段长度，要求求出圆弧所在圆的半径，需构造垂径定理模型。
考查目标：考查模型观念与几何直观，要求学生能将实际物体抽象为圆与弦的几何模型。
答案与解析
【答案】10
【分析】连接，过点 B 作⊥于点 H，交 于点 F，设所在圆的圆心为点 O，连接 ，则
∴62 + (18− )2 = 2，解得 = 10 ，
∴所在 ⊙ 的半径为 10 分米．
2 =2，
2 +
中，
∵在Rt △
=× 12 = 6，
∴=
∴== 3，== 12，⊥,
设 ⊙ 的半径为 r，则== ，
∴=−−= 21− −3 = 18− ,
∵过圆心 O，且⊥,
都是矩形，
，四边形
由题意可得= 21，四边形
【详解】解：连接，过点 B 作⊥于点 H，交 于点 F，设所在圆的圆心为点 O，连接 ，
中根据勾股定理构造方程，求解即可．
垂径定理求出 ，进而在Rt △
= 21，== 3，== 12，⊥, 设 ⊙ 的半径为 r，则== ，= 18− , 根据
知识总结
① 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及其所对的两条弧。② 常与勾股定理结合，构造直角三角形求半径。③ 实际问题中需先识别圆心、弦、弦心距等基本元素。
．如图，关于 的二次函数 = 2 −2 + 2 + 1的图像为抛物线，直线 = 与抛物线交于 ，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过 ，分别作的垂线，垂足为 ，．若四边形为正方形，则 =
.
整理得， 2−6 + 5 = 0，
解得 1 = 5 ， 2 = 1（舍），
∴ = 5．
2
−+ 1 = ，
+, 代入 = ( − )2 + 1，则+
将点
+, ，
∴
∴== −1 ， , 关于抛物线的对称轴对称，
为正方形，过抛物线 的顶点作 轴的平行线，过 ， 分别作的垂线，垂足为 ， ，
∵四边形
的表达式解方程即可．
【详解】解： = 2−2+2 + 1 = ( − )2 + 1，
∴顶点为( ,1)，
, ，然后代入抛物线
+
【答案】5
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出
命题透视
核心考点： 抛物线与正方形性质综合
命题分析：
情境创设：以二次函数图象与直线交点为几何背景，引入正方形条件。
问题设计：题目给出抛物线与直线交于 A、B 两点，过顶点作 x 轴平行线，A、B 向该线作垂线形成正方形，要求求参数 m 的值。
考查目标：考查推理能力与几何直观，要求学生能结合抛物线对称性、正方形边长相等等条件列方程。
答案与解析
知识总结
① 抛物线顶点式可快速确定顶点与对称轴。② 正方形四边相等、四角为直角，常转化为坐标差相等。
③ 联立抛物线与直线方程求交点坐标是常用策略。
′
如图，在等边 △ 中， ，分别是 ，边上的点， = 2．将△ 沿翻折得到△,若点 ′恰好落在边上，则线段长度的最小值为．
【答案】4 3−6/ —6 + 4 3
【分析】过点 D 作⊥于点 H，则∠
= 90°. 设= ，则=−= 2− ,
=
⋅ sin = 3− 3
2
，根据 ′≥列出不等式，求解即可．
【详解】解：过点 D 作⊥于点 H，则∠
= 90° .
设= ，则=−= 2− ,
由折叠可得 ′== ，
∵ △是等边三角形，
∴∠ = 60°,
∴在Rt △
中，=
⋅ sin = (2− ) ⋅ sin60° = 3−,
2
3
命题透视
核心考点： 等边三角形折叠与线段最值
命题分析：
情境创设：以等边三角形中沿某线折叠为几何变换情境。
问题设计：题目在等边三角形中给出线段关系，将三角形某部分折叠后使点落在边上，要求求另一线段长度的最小值。
考查目标：考查推理能力与几何直观，要求学生能利用折叠对称性、等边三角形性质与最值思想。
答案与解析
∵在Rt △ ′中， ′≥,
∴ ≥ 3−,解得 ≥ 4 3−6，
∴≥ 4 3−6，
∴的最小值为4 3−6．
知识总结
① 折叠是一种轴对称变换，对应线段相等、对应角相等。② 等边三角形三边相等、三角均为 60°。③求线段最值常转化为点到直线的距离或利用不等式、二次函数。
解答题
17 ．计算：(π−1)0 + 9 + |−5|．
命题透视
核心考点： 实数的混合运算
命题分析：
情境创设：以纯数学计算题为背景，考查实数运算综合能力。
问题设计：题目给出一个包含乘方、开方、绝对值、三角函数值等的综合算式，要求计算结果。
考查目标：考查运算能力，要求学生熟练掌握实数运算顺序与特殊角的三角函数值。
答案与解析
【答案】9
【详解】解：原式 = 1 + 3 + 5
= 9.
知识总结
① 实数混合运算顺序：先乘方开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号。② 熟记特殊角三角函数值。
③ 注意符号变化与分母有理化。
2 −1 > 3 −5
解不等式组：− >
命题透视
核心考点： 解一元一次不等式组
命题分析：
情境创设：以纯数学计算题为背景，考查不等式组的解法。
问题设计：题目给出一个一元一次不等式组，要求写出解集，并注意数轴表示。
考查目标：考查运算能力，要求学生能正确求解每个不等式并确定公共解集。
答案与解析
【答案】−2 3 −5，得 < 4．解不等式−> ，得 > −2．
∴不等式组的解集是−2 240
6
问题设计：题目给出频数分布表与扇形统计图的部分信息，要求学生补全数据、计算圆心角，并用样本估计总体。
考查目标：考查数据分析与数据观念，要求学生能从统计图表中提取信息并进行合理推断。
答案与解析
【答案】(1)9 ，10 (2)150
(3)680 人
【分析】（1）将 B 组人数除以其百分比，得到本次调查的总人数，将总人数减去已知其他各组的人数，即可求出 m 的值，将 E 组人数除以总人数，即可求出 n 的值；
将 C 组人数所占比例乘以360° ,即可解答；
将全校人数乘以调查的学生中一周累计时长超过 120 分钟的学生比例，即可解答．
【详解】（1）解：本次调查的总人数为12 ÷ 20% = 60（人），
D 组的人数 = 60−8−12−25−6 = 9，
E 组所占百分比为6 ÷ 60 × 100% = 10%，即 = 10．
解：“C 组”所对应的扇形的圆心角为 × 360° = 150°.
解：1020 ×= 1020 ×= 680（人），
答：估计该校八年级课外阅读一周累计时长超过 120 分钟的学生有 680 人．
知识总结
① 频数=总数×频率，频率=频数/总数。② 扇形圆心角=360°×频率。③ 样本估计总体时，用样本比例乘以总体容量。
23．如图，一次函数 = + 的图像经过点(−4,0)，(0,2)，点 P 在一次函数的图像上，过点 P 分别作 x
轴和y 轴的平行线交反比例函数 =( > 0, > 0)的图像于 M，N 两点，连接．
== 3，
∴
∵点 P 在一次函数 =+ 2的图像上，
∴设点 的坐标为 ,+ 2 ．
∵△是腰长为 3 的等腰直角三角形，
（2）解：由（1）有 = ， = 2，
∴一次函数为 =+ 2，
= 2
2 ．
=
, 解得
—4 += 0，
= 2．
∴
−3,+ 2 ，点 的坐标为 ,−1 ，把它们代入反比例函数 = ，即可求出 t 的值，进而得到点 P 的坐
标与 k 的值．
【详解】（1）解： ∵ 一次函数 =+ 的图像经过点 (−4,0), (0,2)，
1
是腰长为 3 的等腰直角三角形得到点 的坐标为
（2）解：设点 的坐标为 ,+ 2 ，根据 △
【答案】(1) = ， = 2
(2)点 的坐标为(4,4) ， = 4
【分析】（1）将点 (−4,0), (0,2)代入一次函数 =+ ，即可求解；
求 a，b 的值；
若 △ 是腰长为 3 的等腰直角三角形，求点 P 的坐标和 k 的值．
命题透视
核心考点： 一次函数与反比例函数综合
命题分析：
情境创设：以平面直角坐标系中一次函数与反比例函数图象交点为函数情境。
问题设计：第（1）问用待定系数法求一次函数解析式中的参数；第（2）问在反比例函数图象上构造等腰直角三角形，求点坐标与反比例系数 k。
考查目标：考查推理能力与几何直观，要求学生能结合函数图象性质与几何图形特征进行综合分析。
答案与解析
∴点 的坐标为 −3,+ 2 ，点 的坐标为 ,−1 ．
∵点 ， 在反比例函数 = ( > 0, > 0)的图像上，
∴= ( −3)+ 2 =
−1 ．
解得 = 4．
∴点 的坐标为(4,4)，点 的坐标为(1 ，4)．
∴= 4．
知识总结
① 待定系数法求函数解析式：代入已知点坐标列方程。② 反比例函数图象上的点满足 xy=k。③ 等腰直角三角形可利用“横纵坐标差相等”或“旋转 90°”建立关系。
24 ．如图① , 点位于竖直墙面上，平面镜与墙面平行，从点射出一束激光，经过平面镜的反射，在墙面上形成一个光点 ，所在直线垂直于水平面．入射光线与平面镜的夹角∠ = 60° . （根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角）
求证： △ 是等边三角形；
如图②,将图①中的平面镜绕点顺时针旋转7.5°到 ′ ′位置，入射光线经过平面镜的反射后，在墙面上形成光点，点在直线上．
①∠ = ° ;
②若 = 60厘米，求光点向下移动的距离的长．（结果保留根号）
命题透视
核心考点： 等边三角形判定 、光的反射定律与解直角三角形
命题分析：
情境创设：以物理光学中的光的反射为跨学科情境，将反射定律转化为几何角度关系。
②过点 P 作⊥于 F，首先，根据已知条件得到∠
②解：如图②, 过点 P 作⊥于 F，
= 15°,然后，再证得∠
= ∠= 30° ,
=
= 30(厘米) ，进而证得 △
是等腰直角三角形，得=，再由∠的余弦值得到 的长，
最后，由=—可得结果．
【详解】（1）略
（2）①解：∵∠
= 60°,平面镜绕点 顺时针旋转7.5°到 ′ ′位置，
∴根据光的反射定律可知∠′ = ∠′ = ∠— 7.5° = 52.5°,
∴∠
= 180° — ∠
′ — ∠
′ = 75°;
′ = ∠— 7.5° = 52.5°,再根据平角的定义得到
′ = ∠
(2)①首先根据题意及光的反射原理得到∠
∠= 75°;
= ∠= 60°即可证的结论；
平行线的性质得∠
= 60°,再由
= 60°,然后，再由平角的定义得∠
= ∠
(2)①75②的长为 30 3−30 厘米
【分析】(1)首先根据光的反射原理得到∠
是等边三角形；
∴△
∵∥ ,
∴ ∠= ∠= 60°.
= 60°.
∴ ∠= 180°−∠−∠
= ∠= 60°.
【答案】(1)
证明： ∵ ∠= 60°,
∴根据光的反射定律可知∠
问题设计：第（1）问利用反射定律证明某三角形为等边三角形；第（2）问在平面镜旋转后求特定角度及光点移动距离。
考查目标：考查模型观念与几何直观，要求学生能将物理规律翻译为几何条件并运用三角函数求解。
答案与解析
∴=—= 30 3 — 30(厘米)，即光点向下移动的距离 的长为 30 3−30 厘米．
= 60 × cs30° = 60 × 3 = 30 3(厘米)，
2
∴==·cs∠
=，
中，cs∠
在Rt△
∴=，
是等腰直角三角形，
∴ △
+ ∠= 45°,
= ∠
∴∠
= 30(厘米)，
=
= 30°,
= ∠
∴∠
∴=== 60(厘米)，
又∵⊥,
是等边三角形，又知= 60厘米，
由(1)知 △
— ∠= 15°.
= ∠
∴∠
= 75° ,
= 60°,由①知∠
由(1)知∠
知识总结
① 光的反射定律：反射角等于入射角。② 等边三角形判定：三边相等、三角均为 60°或两边相等且夹角为 60° 。③ 解直角三角形时常用 30°-60°-90°与 45°-45°-90°的边长比例。
如图，是以为直径的 ⊙ 外一点，为 ⊙ 上的一点，是 ⊙ 的切线， ∥ , 为的中点，连接交于．
∵是 ⊙ 的半径，
∴为 ⊙ 的切线．
= 90°.
= ∠
∴∠
(SAS)，
≌ △
∴ △
=
= ∠
=
∠
中，
和△
∵在 △
= ∠.
∴∠
∵=，
∴∠ = ∠,
= ∠ ,∠= ∠.
∴∠
∵∥,
= 90°,
∴∠
【答案】(1)证明： ∵为 ⊙ 的切线，
∴⊥,
求证：是 ⊙ 的切线；
若 = 2， = 4．
①求的长；
②求tan∠的值．
命题透视
核心考点： 圆的切线 、相似三角形与锐角三角函数
命题分析：
情境创设：以圆外一点引切线、连接中点的几何情境。
问题设计：第（1）问证明某直线为圆的切线；第（2）问在已知边长与三角函数值条件下求线段长与三角函数值，提供多种解法。
考查目标：考查推理能力与几何直观，要求学生熟练运用切线判定、全等相似、解直角三角形等知识。
答案与解析
(2)① = 5 ；②tan∠ =
【分析】（1）由 为 ⊙ 的切线，得到∠ = 90°. 根据平行线的性质得到∠ = ∠ ,∠ = ∠ ,结合∠ = ∠ ,得到∠ = ∠ ,从而证明 △ ≌ △ (SAS)，因此∠ = ∠ = 90°,即可得证结论；
（2）①连接 ，通过解直角三角形得到cs∠ = = 5，因此cs = cs∠ = 5 ,由 是 ⊙ 的
55
直径得到∠ = 90°,在Rt △ 中解直角三角形即可求解；
②方法一：取 的中点 ，连接，则=== 1，根据 △ ≌ △得到== 4，根据三角形中位线的性质得到 ∥,==．证明△∽△, 得出== ，进而可求出
,从而在Rt △中，根据正切的定义即可求解；
方法二：过点作∥ ,交的延长线于点 ．证明 △ ∽△ ,根据相似三角形的对应边成比例求出 , ，进而求出．再证明 △ ∽△ , 求出 ，即可求出 ，从而在Rt △ 中，根据正切的定义即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：①连接．
∵在Rt △ 中， = 2， = 4，
∴ =2 + 2 = 2 5，
cs∠ = == ．
∵∠ = ∠ ,
∴cs = cs∠ =
∵ 是 ⊙ 的直径，
∴ = 2 = 4，∠ = 90°.
∴ = ⋅ cs = 4 × 5= 4 5．
55
②方法一：取 的中点 ，连接，则===× 2 = 1．
∵△≌ △,
∴== 4．
∵点 , 分别为 ,的中点，
∴是 △的中位线，
∴∥,==．
∵∥,
∴∥,
∴ △∽△,
1
∴=== ，
2 55
∴== ，
∴=+= ．
∴在Rt △中，tan∠===．
方法二：过点 作∥,交的延长线于点 ．
∴ ∠= ∠.
∵∥,
∴∠= ∠ ,
∴ △∽△,
∴===
∴==5,== 1，
===．
中，tan∠
∴在Rt △
∴== 4．
≌ △,
∵△
∴= ，
∴=−= 2−= ．
5
，即1 5 =，
∴=
∽△,
∴ △
∵∥,
= 12 5．
5
∴=+= 2 5 +
知识总结
① 切线判定：连半径，证垂直。② 证明线段相等常考虑全等三角形。③ 求三角函数值可构造直角三角形，或利用相似三角形对应边成比例。
如图①, 对某条笔直道路的三个路口的红绿灯情况进行观测发现：路口A，C 的绿灯持续时间为 40 秒，红灯持续时间为 40 秒；路口 B 的绿灯持续时间为 30 秒，红灯持续时间为 30 秒．各路口红绿灯随时间
（秒）的变化情况如图②所示，例如当 = 10 时，路口 A 为绿灯，路口 B 为红灯，路口 C 为绿灯．已知路口A 到路口B，C 的距离分别为 600 米和 1000 米．（为了研究方便，黄灯时间和路口宽度忽略不计）
请根据上述信息，解决下列问题：
甲驾驶汽车在道路上以 15 米/秒的速度匀速行驶，且恰好在绿灯刚亮起时（即 = 0 ）通过 A 路口，请判断其是否能不停车通过 B 路口，并说明理由；
乙驾驶汽车在道路上以速度 （米/秒）匀速行驶，且恰好在绿灯亮起 10 秒时（即 = 10 ）通过 A 路口，若其能在 100 秒前（含 100 秒，即 ≤ 100 ）不停车连续通过 B，C 两个路口，求其行驶速度 的取值范围；
对于匀速行驶的汽车，是否存在速度 （米/秒），使得该车在0∼ 20 秒内（含 0 秒和 20 秒）任意时刻通过A 路口后，都能在 180 秒前（含 180 秒，即 ≤ 180 ）不停车连续通过 B，C 两个路口．若存在，请直接写出 的取值范围；若不存在，请说明理由．
（说明：不停车通过路口是指到达路口时，路口为绿灯状态．）
命题透视
核心考点： 一次函数模型 、不等式组与方案选择
命题分析：
情境创设：以道路红绿灯控制为实际应用情境，将车辆通过路口问题抽象为函数与不等式组问题。
问题设计：题目给出三路口红绿灯周期与距离，第（1）问判断特定速度下能否不停车通过；第（2）问求速度取值范围；第（3）问探究存在性问题。
考查目标：考查模型观念与应用意识，要求学生能将实际时间窗口转化为不等式组并求解。
答案与解析
【答案】(1)能不停车通过 B 路口，理由如下：甲到达 B 路口的时间是600 ÷ 15 = 40（秒），由图②可知，路口 B 处于绿灯状态，
∴甲驾驶汽车能不停车通过 B 路口；
12 ≤ ≤ 20
≤≤或15 ≤≤
【分析】（1）求出甲到达 B 路口的时间，根据图②判断即可；
设乙驾驶汽车离开 A 路口的路程为 s ，要使其在 100 秒前能不停车连续通过 B ，C 两个路口，则要求汽车在 30 秒到 60 秒之间通过 B 路口，60 秒到 100 秒之间通过 C 路口，据此列出不等式组，求解即可；
分汽车在 B 路口第 1 个绿灯时经过 B 路口，且不停车连续通过 B，C 两个路口；和在 B 路口第 2 个绿
灯时经过 B 路口，且不停车连续通过 B，C 两个路口，两种情况，分别列出不等式组求解即可．
【详解】（1）略
解：设乙驾驶汽车离开 A 路口的路程为 s，
∴ = ( — 10)．
∵要使其在 100 秒前能不停车连续通过 B，C 两个路口，则要求汽车在 30 秒到 60 秒之间通过 B 路口，60 秒到 100 秒之间通过 C 路口，
(
∴( 3010)600 ，且
— 10 )1000 ，
(60 — 10 )
600
—10 )
1000
解得12 ≤ ≤ 30 且 ≤ ≤ 20 ，
∴满足条件的行驶速度 v 的取值范围为12 ≤ ≤ 20；
解：当汽车在 0 秒时经过 A 路口，且在 B 路口第 1 个绿灯时经过 B 路口，且不停车连续通过 B，C 两
个路口，则
30 ≤ 600
60 ≥ 600
60 ≤ 1000
100 ≥ 1000
,解得10 ≤ ≤;
当汽车在 20 秒时经过 A 路口，且在 B 路口第 1 个绿灯时经过 B 路口，且不停车连续通过 B ，C 两个路口，
则
(30 — 20) ≤ 600
(60 — 20) ≥ 600
,解得15 ≤≤ 25 ；
(60 — 20) ≤ 1000
(100 — 20) ≥ 1000
∴汽车在 B 路口第 1 个绿灯时经过 B 路口，且不停车连续通过 B，C 两个路口，速度 v 应满足
15 ≤ ≤ .
当汽车在 0 秒时经过 A 路口，且在 B 路口第 2 个绿灯时经过 B 路口，且不停车连续通过 B，C 两个路口，
则
90 ≤ 600
120 ≥ 600
140 ≤ 1000
180 ≥ 1000
,解得5 ≤≤;
当汽车在 20 秒时经过 A 路口，且在 B 路口第 2 个绿灯时经过 B 路口，且不停车连续通过 B ，C 两个路口，
则
(90 — 20) ≤ 600
—20 )600
，解得 ≤ ≤ ;
(— 20 )1000
(180 — 20) ≥ 1000
∴汽车在 B 路口第 1 个绿灯时经过 B 路口，且不停车连续通过 B，C 两个路口，速度 v 应满足 ≤ ≤.
综上所述，v 的取值范围为 ≤≤或15 ≤≤.
知识总结
① 建立路程=速度×时间模型。② 不停车通过意味着到达路口时刻落在绿灯窗口内。③ 多路口连续通过需同时满足多个不等式，注意端点是否取等。④ 存在性问题常需分类讨论不同绿灯周期。
将一个二次函数 = 2 + + 与一个一次函数 = + 求和，可以得到一个新的二次函数
= 2 + ( + ) + ( + )，我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次函数的“吸收” ．“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”．
若二次函数 = 2对一次函数 = + “吸收”，所吸收函数”的图像与x 轴的交点坐标为(−2,0)，(4,0)，求 m，n 的值；
已知二次函数 = 2 + 2−3对一次函数 = + “吸收”．
①若所得“吸收函数”的最小值与 = 2 + 2−3的最小值相等，求 n 的取值范围；
②若所得“吸收函数”的图像顶点为 M，且与一次函数 = + 的图像交于 A ，B 两点．当 △ 的面积为 4 时，求 m 的值．
命题透视
核心考点：“吸收函数 ”新定义 、二次函数最值与面积问题
命题分析：
情境创设：以“二次函数对一次函数的吸收”为新定义情境，属于创新型函数综合题。
问题设计：第（1）问根据新定义写出吸收函数表达式，利用与 x 轴交点求参数；第（2）问探究吸收函数最值与一次函数交点形成的三角形面积问题。
考查目标：考查创新意识与推理能力，要求学生能理解新定义、进行代数变形并结合二次函数性质与面积公式求解。
答案与解析
【答案】(1)= −2, = −8
【分析】（1）根据吸收函数定义写出表达式，然后把(−2,0)，(4,0)代入求解即可；
（2）①先求出 = 2 + 2 −3的最小值为−4，根据吸收函数定义写出表达式为 = 2 + (+ 2) + −3 ，
根据二次函数的性质得出= −4，化简得 =−1，最后根据非负数的性质和不等式的性
(2)①
≥ −1；②
1 = 2
2,
2 = −2
2,
3 = 2
6,
4 = −2
6
质求解即可；
,
②过点作 轴平行线交于点，过点
分别作的垂线段，垂足为
．联立吸收函数表达式和一次函
,
数表达式，并化简得出2 + 2−3 = 0 ，解方程求出 A 、B 两点的横坐标分别是1 = 1､ = −3.则
| − | = 4，根据为“吸收函数”的顶点，得出 = = −, 根据可求出 =
的面积为 4 得出|8− 2 |= 4，即可求解．
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【详解】（1）解：由题意，吸收函数的表达式为 = 2 + + ．根据题意，得 4
4−2 , 结合△
解得
（2）解：① ∵ = 2 + 2−3 = ( + 1)2−4，
∴ = 2 + 2−3的最小值为−4．
由题意，吸收函数的表达式为 = 2 + ( + 2) + −3．根据题意，得 = −4．
∴ = −1．
∵ ≠ 0，
∴ ≥ −1；
②如图，过点作 轴平行线交于点，过点
,
,
分别作的垂线段，垂足为．
根据题意，列出方程组为 = 2 + — 3①,把②代入①得： + = 2 + ( + 2) + −3，
即2 + 2−3 = 0．
解得1 = 1,2 = −3．
,
∴点
的横坐标分别是1 = 1､ = −3.
解得 1 = 2 2, 2 = −2 2, 3 = 2 6, 4 = −2 6．
= 4，
2
∴ 8−
的面积为4，
∵△
2 .
|−| =4−2 × 4 = 8−
的面积 =
∴△
.
2
+ 3 = 4−
+ 2
2
−2 −
+ 2 2
2
= − −
∴
+ )−[+ (+ 2)+ −3]| = |−−2+ 3|．
= |−| = |(
∵
,
∴== −
∴ |−| = 4，
∵为“吸收函数”的顶点，
知识总结
① 新定义题要严格按照定义写出函数表达式。② 二次函数最值问题注意开口方向与对称轴位置。③ 两函数图象交点坐标通过联立方程求解。④ 三角形面积常用“铅垂高×水平宽÷2”或分割法计算。