新高考物理一轮复习基础练习第11章磁场第6讲　专题提升 带电粒子在组合场和交变电、磁场中的运动（含答案解析）

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题组一 带电粒子在组合场的运动
1.如图所示,坐标系xOy的第一象限内有一条平行于x轴的虚线,虚线与x轴的距离为L,在虚线与x轴之间的区域(包括x轴上)分布有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B,在虚线上方足够大的区域内分布有竖直向下的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从坐标原点O沿x轴正向以某一速度射入磁场,从P(3L,L)点第一次射入电场,当粒子在电场中的速度方向第一次沿x轴正方向时到达Q点(图中未标出),Q点到y轴的距离为23L。不计粒子的重力。求:

(1)粒子从O点射入时的速度大小v;
(2)电场强度的大小E。
2.在如图所示的直角坐标系xOy中,x轴上方存在大小为E、方向与x轴负方向成45°角的匀强电场,x轴下方存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从y轴上的点P(0,2L)由静止释放,从x轴上的A点第一次进入匀强磁场,不计粒子受到的重力。
(1)求粒子第一次进入磁场的速度大小vA。
(2)若第一次进入磁场后经第三象限垂直穿过y轴进入第四象限,求匀强磁场的磁感应强度大小B1。
(3)若第一次进入磁场后从x轴上的C点第一次离开匀强磁场,恰好又从A点第二次进入匀强磁场,求匀强磁场的磁感应强度大小B2。
题组二 带电粒子在交变电、磁场中的运动
3.(2024河南焦作模拟)如图甲所示,在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场,磁场方向垂直坐标平面,磁感应强度大小B随时间变化的关系如图乙所示,在t=0时刻有一比荷为1×104 C/kg的带正电粒子从坐标为335 m,0的P点以初速度v0=2×103 m/s且与x轴正方向成60°的方向垂直磁场射入。开始时,磁场方向垂直坐标平面向里,不计粒子重力,求:
(1)粒子在磁场中做圆周运动的半径;
(2)在时间43π×10-4~2π×10-4 s内和时间0~43π×10-4 s内,粒子运动轨迹对应的圆心角之比;
(3)粒子到达y轴时与O点的距离s。
综合提升练
4.(2024山西晋城模拟)如图所示,水平虚线与竖直虚线交于O点,将空间分成四个区域,区域Ⅰ中存在垂直纸面向外的匀强磁场B1(未画出),区域Ⅱ中存在水平向左的匀强电场E(未画出),区域Ⅲ中有一垂直纸面向外、边界为圆形的匀强磁场B2(未画出),B1∶B2=1∶4。比荷为k的带负电的粒子从O点正上方的P点,沿与竖直虚线成α角方向以速度v0射入区域Ⅰ,经过一段时间粒子垂直水平虚线由Q点射入区域Ⅱ;粒子经O点正下方的M点后,最终由水平虚线上的N点沿竖直向上的方向离开区域Ⅲ,忽略粒子的重力。点Q、M、N均未画出,已知OP=3L,OQ=L,OM=233L,ON=4L,上述v0、k、L为已知量。求:
(1)角度α及电场强度E、磁感应强度B1的大小;
(2)区域Ⅲ中圆形磁场面积的最小值。
5.(2023安徽合肥一模)如图所示,在平面直角坐标系xOy内,x轴上方有垂直于坐标平面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,x轴下方有沿y轴正方向的匀强电场,电场强度大小为3qB2d2m。x轴上S(d,0)处有一粒子源,在坐标平面内先后向磁场中与x轴正方向夹角为30°~150°范围内发射带正电的粒子,所有粒子第一次经磁场偏转后均可同时从O点进入电场。已知粒子的质量为m、电荷量为q,不计粒子重力及粒子间相互作用。
(1)求由S处最先发射的粒子与最后发射的粒子的发射时间差。
(2)求由S处发射的速度最小的粒子,从发射到第二次经过O点的时间。
(3)若仅电场强度大小变为23qB2dm,最小速度的粒子从S处发射后第2 023次经过x轴的位置为P点,最先发射的粒子从S处发射后第2 023次经过x轴的位置为Q点,求PQ间的距离。
参考答案
第6讲 专题提升:带电粒子在组合场和交变电、磁场中的运动
1.答案 (1)2BqLm
(2)qLB2m
解析 (1)粒子的运动轨迹如图所示,由几何关系可知粒子在磁场中运动半径为
R=2L
粒子在磁场中运动,由牛顿第二定律有
qvB=mv2R
解得v=2BqLm。
(2)粒子进入电场以后,竖直方向做匀减速直线运动,水平方向做匀速直线运动,进入电场时,水平方向的初速度vx和竖直方向的初速度vy分别为
vx=vcs 60°
vy=vsin 60°
设粒子在电场中运动的时间为t,水平方向的位移为
x=23L-3L=vxt
竖直方向的速度满足
0=vy+at
由牛顿第二定律有qE=-ma
联立解得E=qLB2m。
2.答案 (1)2EqLm (2)EmqL
(3)14EmqL
解析 (1)粒子先在电场中加速,由动能定理得
Eq2Lcs45°=12mvA2
故第一次进入磁场的速度vA=2EqLm。
(2)第一次进入磁场后做匀速圆周运动轨迹如图中图线1所示,由几何关系得轨迹半径
R1=2L
由牛顿第二定律得
B1qvA=mvA2R1
解得B1=EmqL。
(3)若粒子从A进入磁场经C又回到A的运动轨迹如图中图线2所示,由几何关系可知在C点速度大小仍为vA,方向与x轴负方向成45°角,出磁场后做类平抛运动,垂直电场线方向
LACcs 45°=vAt
沿电场线方向
LACsin 45°=12Eqmt2
解得LAC=82L
由几何关系得轨迹半径
R2=LACsin 45°=8L
由牛顿第二定律得
B2qvA=mvA2R2
解得B2=14EmqL。
3.答案 (1)0.4 m
(2)1∶2
(3)1 m
解析 (1)粒子进入磁场后在磁场中做匀速圆周运动,设轨迹半径为R,由洛伦兹力提供向心力有
qv0B=mv02R
解得R=mv0qB=0.4 m。
(2)粒子在磁场中做圆周运动的周期为T,则
T=2πRv0=2πmqB=4π×10-4 s
43π×10-4~2π×10-4 s内,粒子运动的周期数为
N2=2π3×10-4 s4π×10-4 s=16
运动轨迹对应的圆心角为60°
0~43π×10-4 s内,粒子运动的周期数为
N2=4π3×10-4 s4π×10-4 s=13
运动轨迹对应的圆心角为120°
在43π×10-4~2π×10-4 s内和0~43π×10-4 s内,粒子运动轨迹对应的圆心角之比为1∶2。
(3)粒子运动轨迹如图所示
粒子恰好在t=83π×10-4 s时到达y轴,由图可知粒子到达y轴时与O点的距离为
s=R+Rcs 60°+2R(1-cs 60°)=1 m。
4.答案 (1)60° 3v022kL v02kL (2)3πL24
解析 (1)由题意画出粒子轨迹如图所示
由几何关系得
(R-L)2+(3L)2=R2
sin α=3LR
解得R=2L,α=60°
粒子在区域Ⅰ中做匀速圆周运动,由牛顿第二定律有
qv0B1=mv02R
又k=qm
联立得B1=v02kL
粒子在区域Ⅱ中做类平抛运动,设粒子运动的时间为t,则竖直方向
233L=v0t
水平方向
L=12at2,Eq=ma
联立得E=3v022kL。
(2)设粒子在M点的速度为v,与竖直虚线的夹角为θ,M点水平方向速度
v1=at,v1=3v0
由v=v02+v12,tan θ=v1v0
得v=2v0,θ=60°
设粒子在区域Ⅲ中做匀速圆周运动的半径为r,由牛顿第二定律有
qB2v=mv2r
又k=qm
B1∶B2=1∶4
得r=L
如图所示,粒子在区域Ⅲ中运动的轨迹与磁场边界交于C点和D点,粒子在磁场中做圆周运动的轨迹为弧CD,圆心角
∠CO2D=180°-θ=120°
则CD=2Rsin 60°
得CD=3L
当磁场边界是以CD为直径的圆时,磁场有最小面积
S=π3L22=3πL24。
5.答案 (1)4πm3qB
(2)mqBπ+233
(3)1 0114d
解析 (1)粒子在磁场中做圆周运动,有qvB=mv2r
周期T=2πrv=2πmqB
设粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为θ,则粒子在磁场中的运动时间为
t=θ2πT=θmqB
所以t与θ成正比。由几何知识可知,发射粒子运动方向与x轴正方向夹角为150°时,θ角最小为θ=π3,粒子发射时间最晚;发射粒子运动方向与x轴正方向夹角为30°时,θ角最大为θ=5π3,粒子发射时间最早。所以最先发射的粒子与最后发射的粒子的发射时间差为
t=mqB5π3-π3=4πm3qB。
(2)粒子在磁场中运动时,有
qvB=mv2r
解得v=qBrm
可知发射速度越小的粒子,其圆周运动半径越小。由几何知识得,粒子圆周运动半径最小为
r1=d2
则粒子最小速度为
v1=qBd2m
速度最小的粒子在磁场中运动的时间为
t1=12T=πmqB
粒子在电场中运动时有
a1=qE1m=3q2B2d2m2
粒子在电场中先减速,再反向加速返回O点,在电场中运动的时间为
t1'=2v1a1=23m3qB
所以粒子从发射到第二次经过O点的时间为
t总=t1+t1'=mqBπ+233。
(3)最小速度的粒子,在磁场中偏转半个圆周,垂直x轴方向进入电场,然后在电场中做直线运动,先减速到0,然后再反向加速返回到x轴,返回到x轴时,位置会向左移动2r,此后不断重复相同的运动过程,所以从S处发射后第2 023次经过x轴时的位置坐标为
xP=-2 0222×2r1=-1 011d
由几何知识得,最先发射的粒子在磁场中做圆周运动的半径为
r2=d
则粒子速度为
v2=qBdm
电场强度大小变为23qB2dm时,最先发射的粒子经过x轴进入电场,然后再返回到x轴的过程中,在y轴方向有
a2=qE2m=23q2B2dm2
0=-v2sin 30°·t2+12a2t22
在x轴方向有
x=v2cs 30°·t2
解得t2=3m6qB,x=d4
最先发射的粒子,先在磁场中偏转,然后进入电场做类平抛运动,并返回到x轴,返回到x轴时,位置会向左移动
Δx=d-d4=34d
此后不断重复相同的运动过程,所以最先发射的粒子从S处发射后第2 023次经过x轴时的位置坐标为
xQ=-2 0222×34d=-3 0334d
则PQ间的距离为
xPQ=xQ-xP=1 0114d。