2025-2026学年安徽省安庆市桐城市杨公中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年安徽省安庆市桐城市杨公中学高二（下）期中数学试卷，共3页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知f（x）是定义在R上的可导函数，若，则f′（2）=（ ）
A. B. -1C. D. 1
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则=（ ）
A. 15B. C. D. 7
3.（x+y+z）5的展开式共（ ）
A. 15项B. 21项C. 25项D. 31项
4.各项均为正数的等比数列{an}满足lg2a1+lg2a2+…+lg2a10=15，则a5a6的值为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
5.已知直线y=x是函数f（x）=（x+a）ex和函数g（x）=lnx+b图象的公切线，则2a+3b=（ ）
A. eB. 3C. 4D. e2
6.已知定义在R上的连续函数f（x）为奇函数，f（x）的导函数为f′（x）.若对任意x＞0，都有2f（x）+xf′（x）＞0，且，则关于x的不等式的解集为（ ）
A. （-2，0）B. （-2，0）∪（0，2）
C. （0，2）D. （-∞，0）∪（0，2）
7.徽风皖韵，山水入怀，江淮毓秀名人辈出，安徽山水人文皆是胜景.7个人到安徽省的7个不同地方旅游，一人只去一个地方，甲不去A地，乙不去B地，丙不去C地，丁不去D地，其余3人无限制，则不同的旅游方案共有（ ）种
A. 7!-4×6!+6×5!-4×4!+3!B. 7!-4×6!+6×5!-4×4!
C. 7!-3×6!+3×5!-4!D. 7!-4×6!+4×5!-4!
8.如果存在x∈（0，+∞），使得不等式成立，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. （-∞，1]D. （-∞，e]
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.对于1≤m≤n,m,n∈N*关于下列排列组合数关系式，结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，d为公差，且S8＜0，S9＞0，则下列说法正确的是（ ）
A. d＞0B. 当n=8时，Sn取最小值
C. a8＜0D. a9＞0
11.已知定义域为R的奇函数f（x）满足f（2-2x）=f（2x+2），f（x）不恒为零，f′（x）为函数f（x）的导函数且f′（x）的定义域为R，则下列结论正确的有（ ）
A. f（2）=0B. f（x+4）=-f（x）
C. f′（x）是偶函数D. f′（2）=0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数在上的最小值为 .
13.某校安排3名男生和2名女生分两组去甲、乙两地参加社会调研.已知每组至多3人，且至少有1名男生，则不同的安排方案共有 种（用数字作答）.
14.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里给出了杨辉三角，书中是用汉字来表示的，如图1.研究发现，杨辉三角可以由组合数来表示，如图2.杨辉三角有很多有趣的性质，如杨辉三角的两个腰上的数字都是1，用组合数表示为..请仔细观察杨辉三角，从杨辉三角蕴含的规律可知：= .（用数字作答）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知（且.求：
（1）n和a0；
（2）；
（3）.
16.(本小题15分)
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞0，且a1=1，.
（1）求公比q的值；
（2）设bn=Sn-2，求证：{bn}是等比数列.
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=（aex-a-x）ex（a≥0，e=2.718…，e为自然对数的底数），若f（x）≥0对于x∈R恒成立．
（1）求实数a的值；
（2）证明：f（x）存在唯一极大值点x0，且​．
18.(本小题17分)
已知数列{an}满足a1=1，当n≥2时，.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，记数列bn的前n项和为Tn，求Tn；
（3）证明：，n∈N+.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ex+sinx.
（Ⅰ）求f（x）在上的零点个数；
（Ⅱ）若∀x∈R，都有f（x）≥ax+1成立，求实数a的值；
（Ⅲ）对于任意x1∈R，当f（x1）≠0时，都存在x2∈R，使得成立，其中b∈R，直接写出b的值.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】ABD
10.【答案】AD
11.【答案】BCD
12.【答案】1
13.【答案】18
14.【答案】19600
15.【答案】n=6，a0=1 64 729
16.【答案】 由（1）可知，
==2-，
，=，
所以{bn}是等比数列
17.【答案】（1）解：f（x）=ex（aex-a-x）≥0，因为ex＞0，所以aex-a-x≥0恒成立，
即a（ex-1）≥x恒成立，
x=0时，显然成立，
x＞0时，ex-1＞0，
故只需a≥在（0，+∞）恒成立，
令h（x）=，（x＞0），
h′（x）=＜0，
故h（x）在（0，+∞）递减，
而==1，
故a≥1，
x＜0时，ex-1＜0，
故只需a≤在（-∞，0）恒成立，
令g（x）=，（x＜0），
g′（x）=＞0，
故h（x）在（-∞，0）递增，
而==1，
故a≤1，
综上：a=1；
（2）证明：由（1）f（x）=ex（ex-x-1），
故f'（x）=ex（2ex-x-2），令h（x）=2ex-x-2，h'（x）=2ex-1，
所以h（x）在（-∞，ln）单调递减，在（ln，+∞）单调递增，
h（0）=0，h（ln）=2eln-ln-2=ln2-1＜0，h（-2）=2e-2-（-2）-2=＞0，
∵h（-2）h（ln）＜0由零点存在定理及h（x）的单调性知，
方程h（x）=0在（-2，ln）有唯一根，
设为x0且2ex0-x0-2=0，从而h（x）有两个零点x0和0，
所以f（x）在（-∞，x0）单调递增，在（x0，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，
从而f（x）存在唯一的极大值点x0即证，
由2ex0-x0-2=0得ex0=，x0≠-1，
∴f（x0）=ex0（ex0-x0-1）=（-x0-1）=（-x0）（2+x0）≤（）2=，
取等不成立，所以f（x0）＜得证，
又∵-2＜x0＜ln，f（x）在（-∞，x0）单调递增
所以f（x0）＞f（-2）=e-2[e-2-（-2）-1]=e-4+e-2＞e-2＞0得证，
从而0＜f（x0）＜成立．
18.【答案】 ，
计算前四项和：，
所以当n=1，2，3，4时不等式成立，下证当n≥5时成立，
当k≥5时，，




=

19.【答案】f（x）在[-，+∞）上恰有一个零点 a=2 b=-1